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例1 如图3.3.3，$\odot O$的直径$AB=12$，$CD$是$\odot O$的弦，$CD ⊥ AB$，垂足为$P$，且$BP:AP=1:5$.求$CD$的长.
答案
连接OC.
∵$\odot O$的直径$AB=12$,$\therefore OB=\frac{1}{2}AB=6$.$\therefore OC=6$.$\because BP:AP=1:5$,$\therefore BP=\frac{1}{6}AB=\frac{1}{6}×12=2$.$\therefore OP=OB-BP=6-2=4$.$\because CD⊥ AB$,$\therefore CD=2PC$.在$\mathrm{Rt}△ OPC$中,$OC=6$,$OP=4$,$\therefore PC=\sqrt{OC^2-OP^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$.$\therefore CD=2PC=4\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题要求弦CD的长度，首先观察到直径AB垂直于弦CD，可联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此只需先求出CD的一半PC的长度，再乘2即可得到CD的长。要求PC，可连接半径OC构造直角三角形OPC，先根据直径AB的长度求出圆的半径，再结合BP:AP=1:5算出OP的长度，最后在Rt△OPC中利用勾股定理求出PC的长度，即可得到最终结果。
【解析】
连接OC。
∵$\odot O$的直径$AB=12$，
∴$OB=\frac{1}{2}AB=6$，即圆的半径$OC=6$。
∵$BP:AP=1:5$，且$AP+BP=AB=12$，
∴$BP=\frac{1}{1+5}AB=\frac{1}{6}×12=2$，
∴$OP=OB-BP=6-2=4$。
∵$CD⊥AB$，根据垂径定理可得$CD=2PC$。
在$\mathrm{Rt}△ OPC$中，$OC=6$，$OP=4$，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{OC^2-OP^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴$CD=2PC=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。
【答案】
连接OC.
∵$\odot O$的直径$AB=12$,$\therefore OB=\frac{1}{2}AB=6$.$\therefore OC=6$.$\because BP:AP=1:5$,$\therefore BP=\frac{1}{6}AB=\frac{1}{6}×12=2$.$\therefore OP=OB-BP=6-2=4$.$\because CD⊥ AB$,$\therefore CD=2PC$.在$\mathrm{Rt}△ OPC$中,$OC=6$,$OP=4$,$\therefore PC=\sqrt{OC^2-OP^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$.$\therefore CD=2PC=4\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，解题的关键是连接半径构造直角三角形，结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长求解问题，这类构造半径作辅助线的方法是解决圆相关计算问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题要求弦CD的长度，首先观察到直径AB垂直于弦CD，可联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此只需先求出CD的一半PC的长度，再乘2即可得到CD的长。要求PC，可连接半径OC构造直角三角形OPC，先根据直径AB的长度求出圆的半径，再结合BP:AP=1:5算出OP的长度，最后在Rt△OPC中利用勾股定理求出PC的长度，即可得到最终结果。
【解析】
连接OC。
∵$\odot O$的直径$AB=12$，
∴$OB=\frac{1}{2}AB=6$，即圆的半径$OC=6$。
∵$BP:AP=1:5$，且$AP+BP=AB=12$，
∴$BP=\frac{1}{1+5}AB=\frac{1}{6}×12=2$，
∴$OP=OB-BP=6-2=4$。
∵$CD⊥AB$，根据垂径定理可得$CD=2PC$。
在$\mathrm{Rt}△ OPC$中，$OC=6$，$OP=4$，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{OC^2-OP^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴$CD=2PC=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。
【答案】
连接OC.
∵$\odot O$的直径$AB=12$,$\therefore OB=\frac{1}{2}AB=6$.$\therefore OC=6$.$\because BP:AP=1:5$,$\therefore BP=\frac{1}{6}AB=\frac{1}{6}×12=2$.$\therefore OP=OB-BP=6-2=4$.$\because CD⊥ AB$,$\therefore CD=2PC$.在$\mathrm{Rt}△ OPC$中,$OC=6$,$OP=4$,$\therefore PC=\sqrt{OC^2-OP^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$.$\therefore CD=2PC=4\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，解题的关键是连接半径构造直角三角形，结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长求解问题，这类构造半径作辅助线的方法是解决圆相关计算问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
例2 如图3.3.4,是一个圆拱形模型.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）若弦AB的长为8 cm，圆拱形的最大高度为8 cm，则圆拱形所在圆的半径为
图3.3.4
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）若弦AB的长为8 cm，圆拱形的最大高度为8 cm，则圆拱形所在圆的半径为
5
cm.图3.3.4
答案
(1) 点O即为所求
(2) 5解析
【分析】
（1）要确定圆拱形的圆心，依据圆的性质：弦的垂直平分线经过圆心，且圆心到圆上各点距离相等，因此只需选取圆弧上两条不平行的弦，分别作它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心O。
（2）求圆的半径可结合垂径定理分析：过圆心作弦AB的垂线会平分AB，再设半径为r，用r表示出圆心到弦AB的距离，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）在弧AB上另取一点C，连接AC、BC，分别作线段AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆心O，作图痕迹符合要求即可。
（2）设圆拱形所在圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，过圆心O作$OD⊥ AB$于点D，延长DO交弧AB于最高点E。
根据垂径定理，D是AB的中点，因此$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
由题意得圆拱形最大高度$DE=8\ \mathrm{cm}$，因为$OE=OA=r\ \mathrm{cm}$，所以圆心到AB的距离$OD=DE-OE=(8-r)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，代入数据：
$r^2=4^2+(8-r)^2$
展开得$r^2=16+64-16r+r^2$，
化简得$16r=80$，解得$r=5$。
【答案】
(1) 点O即为所求 (2) 5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，确定圆心的方法
【点评】
本题结合圆拱形实际模型，考查尺规作图确定圆心的方法，以及垂径定理和勾股定理结合求解圆半径的应用，属于圆的性质的基础常规题型，需要熟练掌握弦的垂直平分线过圆心这一核心性质。
【难度系数】
0.7
（1）要确定圆拱形的圆心，依据圆的性质：弦的垂直平分线经过圆心，且圆心到圆上各点距离相等，因此只需选取圆弧上两条不平行的弦，分别作它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心O。
（2）求圆的半径可结合垂径定理分析：过圆心作弦AB的垂线会平分AB，再设半径为r，用r表示出圆心到弦AB的距离，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）在弧AB上另取一点C，连接AC、BC，分别作线段AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆心O，作图痕迹符合要求即可。
（2）设圆拱形所在圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，过圆心O作$OD⊥ AB$于点D，延长DO交弧AB于最高点E。
根据垂径定理，D是AB的中点，因此$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
由题意得圆拱形最大高度$DE=8\ \mathrm{cm}$，因为$OE=OA=r\ \mathrm{cm}$，所以圆心到AB的距离$OD=DE-OE=(8-r)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，代入数据：
$r^2=4^2+(8-r)^2$
展开得$r^2=16+64-16r+r^2$，
化简得$16r=80$，解得$r=5$。
【答案】
(1) 点O即为所求
(2) 5【知识点】
垂径定理，勾股定理，确定圆心的方法
【点评】
本题结合圆拱形实际模型，考查尺规作图确定圆心的方法，以及垂径定理和勾股定理结合求解圆半径的应用，属于圆的性质的基础常规题型，需要熟练掌握弦的垂直平分线过圆心这一核心性质。
【难度系数】
0.7
1. 如图，AB，CD是$\odot O$的直径，弦$CE ⊥ AB$，连接$OE$.若$∠ BOD = 32°$，则$∠ COE$的度数为（
A.$32°$
B.$48°$
C.$60°$
D.$64°$
（第1题）
D
）A.$32°$
B.$48°$
C.$60°$
D.$64°$
（第1题）答案
D
解析
【分析】
解题时先从已知条件∠BOD=32°入手，首先直径AB与CD相交于圆心O，根据对顶角相等可得到∠AOC的度数；再结合弦CE⊥AB的条件，根据垂径定理可知直径AB平分CE所对的弧，进而得到∠AOE与∠AOC相等，最后将两个角相加即可求出∠COE的度数。
【解析】
解：
∵AB、CD是$\odot O$的直径，∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴$∠ AOC=∠ BOD=32°$，
∵$CE⊥ AB$，AB为$\odot O$的直径，
根据垂径定理，AB平分$\overset{\frown}{CE}$，
∴$∠ AOE=∠ AOC=32°$，
∴$∠ COE=∠ AOC+∠ AOE=32°+32°=64°$。
【答案】
D
【知识点】
对顶角相等；垂径定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的基本性质与对顶角性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，找到相等的圆心角。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件∠BOD=32°入手，首先直径AB与CD相交于圆心O，根据对顶角相等可得到∠AOC的度数；再结合弦CE⊥AB的条件，根据垂径定理可知直径AB平分CE所对的弧，进而得到∠AOE与∠AOC相等，最后将两个角相加即可求出∠COE的度数。
【解析】
解：
∵AB、CD是$\odot O$的直径，∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴$∠ AOC=∠ BOD=32°$，
∵$CE⊥ AB$，AB为$\odot O$的直径，
根据垂径定理，AB平分$\overset{\frown}{CE}$，
∴$∠ AOE=∠ AOC=32°$，
∴$∠ COE=∠ AOC+∠ AOE=32°+32°=64°$。
【答案】
D
【知识点】
对顶角相等；垂径定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的基本性质与对顶角性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，找到相等的圆心角。
【难度系数】
0.8
2. 如图，CD为$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$，垂足为E，$CE=1$，$AB=10$，则CD的长为 （
A.26
B.25
C.24
D.20
A
）A.26
B.25
C.24
D.20
答案
A
解析
【分析】
遇到直径垂直于弦的问题，首先想到垂径定理，可得到弦长的一半。要求直径，可设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形的各边长，再利用勾股定理列方程求解半径，进而得到直径长度。具体步骤：1.连接半径OA构造直角三角形；2.根据垂径定理求出AE的长度；3.用r表示OE的长度；4.代入勾股定理列方程计算半径，再求直径。
【解析】
连接OA，设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OC=r$。
因为$CE=1$，所以$OE=OC-CE=r-1$。
因为$CD$是$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$，根据垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入得：$r^2=(r-1)^2+5^2$，
展开计算：$r^2=r^2-2r+1+25$，
移项化简得：$2r=26$，
所以直径$CD=2r=26$。
【答案】
A
【知识点】
1.垂径定理 2.勾股定理 3.圆的基本性质
【点评】
本题是圆的对称性的典型应用题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理设未知数列方程求解，掌握垂径定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
遇到直径垂直于弦的问题，首先想到垂径定理，可得到弦长的一半。要求直径，可设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形的各边长，再利用勾股定理列方程求解半径，进而得到直径长度。具体步骤：1.连接半径OA构造直角三角形；2.根据垂径定理求出AE的长度；3.用r表示OE的长度；4.代入勾股定理列方程计算半径，再求直径。
【解析】
连接OA，设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OC=r$。
因为$CE=1$，所以$OE=OC-CE=r-1$。
因为$CD$是$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$，根据垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入得：$r^2=(r-1)^2+5^2$，
展开计算：$r^2=r^2-2r+1+25$，
移项化简得：$2r=26$，
所以直径$CD=2r=26$。
【答案】
A
【知识点】
1.垂径定理 2.勾股定理 3.圆的基本性质
【点评】
本题是圆的对称性的典型应用题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理设未知数列方程求解，掌握垂径定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
3.如图，AB是半圆O的直径，OD⊥AC，垂足为D，OD=2，则弦BC的长为
4
。答案
4
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：1.AB是半圆O的直径，可得O是AB的中点；2.OD⊥AC，结合垂径定理可推出D是AC的中点。由此可知OD是△ABC的中位线，再利用三角形中位线的性质即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵AB是半圆O的直径，
∴点O是AB的中点，
又
∵OD⊥AC，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴BC=2OD，
∵OD=2，
∴BC=2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何题，将圆的性质和三角形中位线知识结合考查，解题的突破口是判断出OD为△ABC的中位线，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：1.AB是半圆O的直径，可得O是AB的中点；2.OD⊥AC，结合垂径定理可推出D是AC的中点。由此可知OD是△ABC的中位线，再利用三角形中位线的性质即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵AB是半圆O的直径，
∴点O是AB的中点，
又
∵OD⊥AC，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴BC=2OD，
∵OD=2，
∴BC=2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何题，将圆的性质和三角形中位线知识结合考查，解题的突破口是判断出OD为△ABC的中位线，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，将半径为 2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为
$2\sqrt{3}$
cm.答案
$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解决本题首先结合折叠的性质分析：折叠后圆弧过圆心O，说明圆心O到折痕AB的距离等于半径的一半。接下来过O作AB的垂线，根据垂径定理可知该垂线平分AB，再结合勾股定理即可求出半弦长，进而得到AB的总长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
∵ 圆形纸片折叠后圆弧恰好经过圆心O，
∴ 点O到折痕AB的距离$OC=\frac{1}{2}OA$，
已知圆的半径$OA=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $OC=1\ \mathrm{cm}$。
根据垂径定理，$OC⊥AB$，可得$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=2AC=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，折叠的性质
【点评】
本题是圆与折叠结合的基础题型，解题的核心是通过折叠的性质得到圆心到折痕的距离，再利用垂径定理将求弦长的问题转化为直角三角形边长计算问题，需要熟练掌握垂径定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
解决本题首先结合折叠的性质分析：折叠后圆弧过圆心O，说明圆心O到折痕AB的距离等于半径的一半。接下来过O作AB的垂线，根据垂径定理可知该垂线平分AB，再结合勾股定理即可求出半弦长，进而得到AB的总长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
∵ 圆形纸片折叠后圆弧恰好经过圆心O，
∴ 点O到折痕AB的距离$OC=\frac{1}{2}OA$，
已知圆的半径$OA=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $OC=1\ \mathrm{cm}$。
根据垂径定理，$OC⊥AB$，可得$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=2AC=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，折叠的性质
【点评】
本题是圆与折叠结合的基础题型，解题的核心是通过折叠的性质得到圆心到折痕的距离，再利用垂径定理将求弦长的问题转化为直角三角形边长计算问题，需要熟练掌握垂径定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
