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5. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,$∠ ACB=60°$.求证:$∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC$. 
(第5题)
(第5题)答案
5. $\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC},\therefore AB = AC$.又$\because ∠ACB = 60°,\therefore △ ABC$ 是等边三角形.
$\therefore AB=BC=CA.\therefore ∠AOB = ∠BOC = ∠COA$
$\therefore AB=BC=CA.\therefore ∠AOB = ∠BOC = ∠COA$
解析
【分析】
要证明三个圆心角相等，可通过证明它们所对的弦相等推导。首先由已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据同圆中等弧对等弦可得$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，再结合$∠ ACB=60°$，可判定$△ ABC$为等边三角形，得到三条边相等，最后根据同圆中等弦对等圆心角，即可推出三个圆心角相等。
【解析】
证明：
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore AB = AC$（同圆中相等的弧所对的弦相等），
又$\because ∠ ACB = 60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore AB=BC=CA$，
根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，可得$∠ AOB = ∠ BOC = ∠ AOC$。
【答案】
$\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC},\therefore AB = AC$.又$\because ∠ACB = 60°,\therefore △ ABC$ 是等边三角形.
$\therefore AB=BC=CA.\therefore ∠AOB = ∠BOC = ∠COA$
【知识点】
1. 弧与弦的关系
2. 等边三角形判定
3. 弦与圆心角的关系
【点评】
本题是基础类证明题，主要考查圆的基本性质和特殊三角形的判定，解题的关键是熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角之间的等量转换规则，结合等腰、等边三角形的性质完成推导。
【难度系数】
0.85
要证明三个圆心角相等，可通过证明它们所对的弦相等推导。首先由已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据同圆中等弧对等弦可得$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，再结合$∠ ACB=60°$，可判定$△ ABC$为等边三角形，得到三条边相等，最后根据同圆中等弦对等圆心角，即可推出三个圆心角相等。
【解析】
证明：
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore AB = AC$（同圆中相等的弧所对的弦相等），
又$\because ∠ ACB = 60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore AB=BC=CA$，
根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，可得$∠ AOB = ∠ BOC = ∠ AOC$。
【答案】
$\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC},\therefore AB = AC$.又$\because ∠ACB = 60°,\therefore △ ABC$ 是等边三角形.
$\therefore AB=BC=CA.\therefore ∠AOB = ∠BOC = ∠COA$
【知识点】
1. 弧与弦的关系
2. 等边三角形判定
3. 弦与圆心角的关系
【点评】
本题是基础类证明题，主要考查圆的基本性质和特殊三角形的判定，解题的关键是熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角之间的等量转换规则，结合等腰、等边三角形的性质完成推导。
【难度系数】
0.85
6. 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，垂足分别为$D$，$E$。求证：$CD=CE$。
答案
6. $\because$在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,
$\therefore ∠AOC=∠BOC$,即 OC 是$∠AOB$的角平分线.又$\because CD⊥OA,CE⊥OB$,
$\therefore CD=CE$
$\therefore ∠AOC=∠BOC$,即 OC 是$∠AOB$的角平分线.又$\because CD⊥OA,CE⊥OB$,
$\therefore CD=CE$
解析
【分析】
要证明$CD=CE$，可按以下思路推导：首先观察到$CD$、$CE$分别是点$C$到$OA$、$OB$的垂线段，若能证明$OC$是$∠ AOB$的角平分线，即可利用角平分线的性质得到两条垂线段相等；结合已知条件$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可推出$∠ AOC=∠ BOC$，即$OC$为$∠ AOB$的角平分线，即可完成证明。
【解析】
$\because$在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$，即$OC$是$∠ AOB$的角平分线。
又$\because CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，
$\therefore CD=CE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
【答案】
$\boxed{CD=CE}$
【知识点】
弧与圆心角的关系；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，将圆的基本性质和角平分线性质结合考查，解题关键是通过弧相等推出对应的圆心角相等，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明$CD=CE$，可按以下思路推导：首先观察到$CD$、$CE$分别是点$C$到$OA$、$OB$的垂线段，若能证明$OC$是$∠ AOB$的角平分线，即可利用角平分线的性质得到两条垂线段相等；结合已知条件$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可推出$∠ AOC=∠ BOC$，即$OC$为$∠ AOB$的角平分线，即可完成证明。
【解析】
$\because$在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$，即$OC$是$∠ AOB$的角平分线。
又$\because CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，
$\therefore CD=CE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
【答案】
$\boxed{CD=CE}$
【知识点】
弧与圆心角的关系；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，将圆的基本性质和角平分线性质结合考查，解题关键是通过弧相等推出对应的圆心角相等，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7. 如图，以$□ ABCD$的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交$\odot A$于点G.
（1）求证：$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
（2）若$\overset{\frown}{BF}$的度数为$70°$，求$∠ C$的度数.
（1）求证：$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
（2）若$\overset{\frown}{BF}$的度数为$70°$，求$∠ C$的度数.
答案
7. (1) 连接AF.在$\odot A$中,$AB=AF,\therefore ∠ABF=∠AFB.$$\because$四边形 ABCD 为平行四边形,$\therefore AD// BC.\therefore ∠AFB=∠DAF,∠GAD=∠ABF.$
$\therefore ∠DAF=∠GAD.\therefore\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$
(2) $\because\overset{\frown}{BF}$的度数为$70°,\therefore ∠BAF=70°.$
$\because AB=AF,\therefore ∠B=∠AFB=\frac{1}{2}(180°-∠BAF)=55°.$$\because$四边形 ABCD 为平行四边形,$\therefore AB// CD.\therefore ∠C=180°-∠B=125°$
解析
【分析】
（1）要证明弧相等，依据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，只需证$\overset{\frown}{GE}$和$\overset{\frown}{EF}$所对的圆心角相等即可。我们可以连接辅助线AF，利用同圆半径相等得到等腰$△ ABF$，再结合平行四边形对边平行的性质推导角的等量关系，最终得到两个圆心角相等。
（2）弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此先由$\overset{\frown}{BF}$的度数得到其对应圆心角$∠BAF$的度数，再利用等腰三角形内角和性质计算$∠B$的度数，最后根据平行四边形邻角互补的性质求出$∠C$的度数。
【解析】
（1）证明：连接AF，如图所示。
$\because$在$\odot A$中，$AB=AF$，
$\therefore ∠ABF=∠AFB$。
$\because$四边形ABCD为平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠AFB=∠DAF$，$∠GAD=∠ABF$，
$\therefore ∠DAF=∠GAD$，
$\therefore\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
（2）解：$\because\overset{\frown}{BF}$的度数为$70°$，
$\therefore ∠BAF=70°$。
$\because AB=AF$，
$\therefore ∠B=∠AFB=\frac{1}{2}(180°-∠BAF)=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°$。
$\because$四边形ABCD为平行四边形，
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠C=180°-∠B=180°-55°=125°$。
【答案】
(1) 连接AF.在$\odot A$中,$AB=AF,\therefore ∠ABF=∠AFB.$$\because$四边形 ABCD 为平行四边形,$\therefore AD// BC.\therefore ∠AFB=∠DAF,∠GAD=∠ABF.$$\therefore ∠DAF=∠GAD.\therefore\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$
(2) $\because\overset{\frown}{BF}$的度数为$70°,\therefore ∠BAF=70°.$
$\because AB=AF,\therefore ∠B=∠AFB=\frac{1}{2}(180°-∠BAF)=55°.$$\because$四边形 ABCD 为平行四边形,$\therefore AB// CD.\therefore ∠C=180°-∠B=125°$
【知识点】
圆心角与弧的关系、平行四边形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了圆、平行四边形、等腰三角形的相关性质，解题关键是熟练掌握弧与圆心角的对应关系，合理添加辅助线推导角的等量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明弧相等，依据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，只需证$\overset{\frown}{GE}$和$\overset{\frown}{EF}$所对的圆心角相等即可。我们可以连接辅助线AF，利用同圆半径相等得到等腰$△ ABF$，再结合平行四边形对边平行的性质推导角的等量关系，最终得到两个圆心角相等。
（2）弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此先由$\overset{\frown}{BF}$的度数得到其对应圆心角$∠BAF$的度数，再利用等腰三角形内角和性质计算$∠B$的度数，最后根据平行四边形邻角互补的性质求出$∠C$的度数。
【解析】
（1）证明：连接AF，如图所示。
$\because$在$\odot A$中，$AB=AF$，
$\therefore ∠ABF=∠AFB$。
$\because$四边形ABCD为平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠AFB=∠DAF$，$∠GAD=∠ABF$，
$\therefore ∠DAF=∠GAD$，
$\therefore\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
（2）解：$\because\overset{\frown}{BF}$的度数为$70°$，
$\therefore ∠BAF=70°$。
$\because AB=AF$，
$\therefore ∠B=∠AFB=\frac{1}{2}(180°-∠BAF)=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°$。
$\because$四边形ABCD为平行四边形，
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠C=180°-∠B=180°-55°=125°$。
【答案】
(1) 连接AF.在$\odot A$中,$AB=AF,\therefore ∠ABF=∠AFB.$$\because$四边形 ABCD 为平行四边形,$\therefore AD// BC.\therefore ∠AFB=∠DAF,∠GAD=∠ABF.$$\therefore ∠DAF=∠GAD.\therefore\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$
(2) $\because\overset{\frown}{BF}$的度数为$70°,\therefore ∠BAF=70°.$
$\because AB=AF,\therefore ∠B=∠AFB=\frac{1}{2}(180°-∠BAF)=55°.$$\because$四边形 ABCD 为平行四边形,$\therefore AB// CD.\therefore ∠C=180°-∠B=125°$
【知识点】
圆心角与弧的关系、平行四边形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了圆、平行四边形、等腰三角形的相关性质，解题关键是熟练掌握弧与圆心角的对应关系，合理添加辅助线推导角的等量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在$\odot O$中,$AB=AC$.
(1) 若$∠ BOC=100°$,则$\overset{\frown}{AB}$的度数为$\_\_\_\_\_\_°$;
(2) 若$AB=13$,$BC=10$,求$\odot O$的半径.
(1) 若$∠ BOC=100°$,则$\overset{\frown}{AB}$的度数为$\_\_\_\_\_\_°$;
(2) 若$AB=13$,$BC=10$,求$\odot O$的半径.
答案
8. (1) 130
(2) 如图,连接 AO,延长 AO 交 BC 于点 D.$\because AB=AC,OB=OC,\therefore AD$ 垂直平分 BC.$\because BC=10,\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=5.$在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12.$设$\odot O$的半径为$r$,则$OA=OB=OC=r.$在$\mathrm{Rt}△ OBD$中,由勾股定理,得$OB^2=(12-OB)^2+5^2.\therefore r^2=(12-r)^2+5^2.$解得$r=\frac{169}{24},即\odot O$的半径是$\frac{169}{24}$
解析
【分析】
(1) 求$\overset{\frown}{AB}$的度数，首先明确弧的度数等于它所对圆心角的度数。已知$∠ BOC=100°$，可得$\overset{\frown}{BC}$的度数为$100°$；再根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等，可知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，结合整圆圆周度数为$360°$，即可求出$\overset{\frown}{AB}$的度数。
(2) 求$\odot O$的半径，可构造直角三角形结合勾股定理求解。由$AB=AC$、$OB=OC$，可知点$A$、$O$都在$BC$的垂直平分线上，延长$AO$交$BC$于$D$，可得$AD$垂直平分$BC$，先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中求出$AD$的长度；再设半径为$r$，用含$r$的式子表示$OD$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ OBD$中根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) $\because ∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，$∠ BOC=100°$
$\therefore \overset{\frown}{BC}$的度数为$100°$
又$\because$在$\odot O$中，$AB=AC$
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
$\therefore \overset{\frown}{AB}$的度数$=(360°-100°)÷2=130°$
(2) 如图，连接$AO$，延长$AO$交$BC$于点$D$。
$\because AB=AC,OB=OC$
$\therefore$点$A$、$O$都在$BC$的垂直平分线上，即$AD$垂直平分$BC$
$\because BC=10$
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OB=r$，$OD=AD-OA=12-r$
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OB^2=OD^2+BD^2$
即$r^2=(12-r)^2+5^2$
展开化简得$24r=169$
解得$r=\frac{169}{24}$
【答案】
(1) $130$
(2) $\odot O$的半径是$\frac{169}{24}$
【知识点】
弧弦圆心角的关系；勾股定理；垂直平分线判定
【点评】
本题是圆的基础计算题型，第一问直接考查弧、弦、圆心角的对应关系，难度较低；第二问通过构造垂直平分线得到直角三角形，结合方程思想求半径，是圆中线段计算的典型考法，掌握相关性质和勾股定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 求$\overset{\frown}{AB}$的度数，首先明确弧的度数等于它所对圆心角的度数。已知$∠ BOC=100°$，可得$\overset{\frown}{BC}$的度数为$100°$；再根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等，可知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，结合整圆圆周度数为$360°$，即可求出$\overset{\frown}{AB}$的度数。
(2) 求$\odot O$的半径，可构造直角三角形结合勾股定理求解。由$AB=AC$、$OB=OC$，可知点$A$、$O$都在$BC$的垂直平分线上，延长$AO$交$BC$于$D$，可得$AD$垂直平分$BC$，先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中求出$AD$的长度；再设半径为$r$，用含$r$的式子表示$OD$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ OBD$中根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) $\because ∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，$∠ BOC=100°$
$\therefore \overset{\frown}{BC}$的度数为$100°$
又$\because$在$\odot O$中，$AB=AC$
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
$\therefore \overset{\frown}{AB}$的度数$=(360°-100°)÷2=130°$
(2) 如图，连接$AO$，延长$AO$交$BC$于点$D$。
$\because AB=AC,OB=OC$
$\therefore$点$A$、$O$都在$BC$的垂直平分线上，即$AD$垂直平分$BC$
$\because BC=10$
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OB=r$，$OD=AD-OA=12-r$
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OB^2=OD^2+BD^2$
即$r^2=(12-r)^2+5^2$
展开化简得$24r=169$
解得$r=\frac{169}{24}$
【答案】
(1) $130$
(2) $\odot O$的半径是$\frac{169}{24}$
【知识点】
弧弦圆心角的关系；勾股定理；垂直平分线判定
【点评】
本题是圆的基础计算题型，第一问直接考查弧、弦、圆心角的对应关系，难度较低；第二问通过构造垂直平分线得到直角三角形，结合方程思想求半径，是圆中线段计算的典型考法，掌握相关性质和勾股定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
