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例1 如图3.3.1，将一个圆分割成甲、乙、丙、丁四个扇形，使它们的圆心角的度数比为1:2:3:4，分别求出这四个扇形的圆心角的度数。
答案
∵甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角的度数比为1:2:3:4,
∴甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角的度数分别$\frac{1}{10}×360°=36°,360°×\frac{1}{5}=72°,360°×\frac{3}{10}=108°,360°×\frac{2}{5}=144°$
解析
【分析】
解题时首先明确周角的度数为360°，题目已知四个扇形的圆心角度数比为1:2:3:4，因此可采用按比例分配的方法求解：第一步先计算比例的总份数，第二步分别求出每个扇形圆心角占周角总度数的分率，第三步用周角总度数乘对应分率，即可得到每个扇形的圆心角度数。
【解析】
已知甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角的度数比为1:2:3:4，
首先计算总份数：$1+2+3+4=10$，
∵ 周角的度数为$360°$，
∴ 甲扇形圆心角：$360°×\frac{1}{10}=36°$，
乙扇形圆心角：$360°×\frac{2}{10}=72°$，
丙扇形圆心角：$360°×\frac{3}{10}=108°$，
丁扇形圆心角：$360°×\frac{4}{10}=144°$。
【答案】
甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数分别为$36°$、$72°$、$108°$、$144°$。
【知识点】
周角的性质；按比例分配；扇形圆心角
【点评】
本题是扇形相关的基础题型，核心考查周角性质和按比例分配方法的应用，解题逻辑清晰，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确周角的度数为360°，题目已知四个扇形的圆心角度数比为1:2:3:4，因此可采用按比例分配的方法求解：第一步先计算比例的总份数，第二步分别求出每个扇形圆心角占周角总度数的分率，第三步用周角总度数乘对应分率，即可得到每个扇形的圆心角度数。
【解析】
已知甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角的度数比为1:2:3:4，
首先计算总份数：$1+2+3+4=10$，
∵ 周角的度数为$360°$，
∴ 甲扇形圆心角：$360°×\frac{1}{10}=36°$，
乙扇形圆心角：$360°×\frac{2}{10}=72°$，
丙扇形圆心角：$360°×\frac{3}{10}=108°$，
丁扇形圆心角：$360°×\frac{4}{10}=144°$。
【答案】
甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数分别为$36°$、$72°$、$108°$、$144°$。
【知识点】
周角的性质；按比例分配；扇形圆心角
【点评】
本题是扇形相关的基础题型，核心考查周角性质和按比例分配方法的应用，解题逻辑清晰，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
例2 如图3.3.2，点A,B,C,D在$\odot O$上，$AD=BC$.求证:$AB=CD$. 
答案
$\because AD=BC,\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}.$
$\therefore\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC},即\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}.\therefore AB=CD$
$\therefore\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC},即\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}.\therefore AB=CD$
解析
【分析】
要证明$AB=CD$，可利用同圆中弧与弦的对应关系推导：首先回忆同圆的性质，相等的弦所对的劣弧相等，已知$AD=BC$，可先得到$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；再通过给两段等弧同时加上公共弧$\overset{\frown}{AC}$，即可推导出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，最后根据相等的弧所对的弦相等，就能得到$AB=CD$的结论。
【解析】
证明：
$\because$在$\odot O$中，$AD=BC$，
$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$（同圆中相等的弦所对的劣弧相等），
$\therefore\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，
即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，
$\therefore AB=CD$（同圆中相等的弧所对的弦相等）。
【答案】
$\because AD=BC,\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}.$
$\therefore\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC},即\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}.$
$\therefore AB=CD$
【知识点】
同圆弦弧对等关系、弧的和差运算
【点评】
本题是圆的对称性的基础应用题，解题核心是掌握同圆中弦与弧的互相转换规律，借助公共弧构造等弧是解题的关键，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要证明$AB=CD$，可利用同圆中弧与弦的对应关系推导：首先回忆同圆的性质，相等的弦所对的劣弧相等，已知$AD=BC$，可先得到$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；再通过给两段等弧同时加上公共弧$\overset{\frown}{AC}$，即可推导出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，最后根据相等的弧所对的弦相等，就能得到$AB=CD$的结论。
【解析】
证明：
$\because$在$\odot O$中，$AD=BC$，
$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$（同圆中相等的弦所对的劣弧相等），
$\therefore\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，
即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，
$\therefore AB=CD$（同圆中相等的弧所对的弦相等）。
【答案】
$\because AD=BC,\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}.$
$\therefore\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC},即\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}.$
$\therefore AB=CD$
【知识点】
同圆弦弧对等关系、弧的和差运算
【点评】
本题是圆的对称性的基础应用题，解题核心是掌握同圆中弦与弧的互相转换规律，借助公共弧构造等弧是解题的关键，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
1. 已知弦AB把圆周分成1：3的两部分，则弦AB所对的圆心角为 （
A.$45°$
B.$90°$
C.$135°$
D.$270°$
B
）A.$45°$
B.$90°$
C.$135°$
D.$270°$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆相关知识点：圆心角的度数等于它所对弧的度数，整个圆周对应的角度为360°。已知弦AB把圆周分成1:3的两部分，说明两段弧的度数比为1:3，先按比例求出两段弧的度数；注意弦对应两条弧，无特殊说明时，弦所对的圆心角默认指劣弧对应的圆心角（度数≤180°），据此即可得出结果。
【解析】
解：
∵整个圆周的度数为$360°$，弦AB把圆周分成度数比为1:3的两段弧，
∴劣弧AB的度数为：$360° × \frac{1}{1+3} = 90°$，
又
∵圆心角的度数与它所对弧的度数相等，
∴弦AB所对的劣弧对应的圆心角为$90°$，即题目所求的弦AB所对的圆心角为$90°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
弧与圆心角的关系；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确圆心角和弧的对应关系，注意弦对应优弧、劣弧两条弧，无特殊说明时默认取劣弧对应的圆心角，避免误选大于180°的选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相关知识点：圆心角的度数等于它所对弧的度数，整个圆周对应的角度为360°。已知弦AB把圆周分成1:3的两部分，说明两段弧的度数比为1:3，先按比例求出两段弧的度数；注意弦对应两条弧，无特殊说明时，弦所对的圆心角默认指劣弧对应的圆心角（度数≤180°），据此即可得出结果。
【解析】
解：
∵整个圆周的度数为$360°$，弦AB把圆周分成度数比为1:3的两段弧，
∴劣弧AB的度数为：$360° × \frac{1}{1+3} = 90°$，
又
∵圆心角的度数与它所对弧的度数相等，
∴弦AB所对的劣弧对应的圆心角为$90°$，即题目所求的弦AB所对的圆心角为$90°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
弧与圆心角的关系；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确圆心角和弧的对应关系，注意弦对应优弧、劣弧两条弧，无特殊说明时默认取劣弧对应的圆心角，避免误选大于180°的选项。
【难度系数】
0.8
2. 下列说法中，正确的是 （
A.等弦所对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.相等的圆心角所对的弦也相等
D.相等的弦所对的圆心角也相等
B
）A.等弦所对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.相等的圆心角所对的弦也相等
D.相等的弦所对的圆心角也相等
答案
2. B
解析
【分析】
这道题考查圆心角、弧、弦三者的对应关系，解题时首先要明确：除等弧之外，其余关于圆心角、弧、弦相等的结论，都必须在“同圆或等圆”的前提条件下才成立；另外一条弦对应优弧、劣弧两条弧，我们只需逐个排查选项是否满足结论成立的条件即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 等弦所对的弧相等：一方面没有说明在同圆或等圆中，另一方面一条弦对应优弧、劣弧两条弧，即使在同圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧也不一定对应相等，因此A错误；
B. 等弧所对的弦相等：等弧的定义是能够完全重合的弧，本身就隐含了“在同圆或等圆中”的条件，因此等弧所对的弦必然相等，因此B正确；
C. 相等的圆心角所对的弦也相等：缺少“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的圆里，圆心角相等时所对的弦长度不相等，因此C错误；
D. 相等的弦所对的圆心角也相等：缺少“在同圆或等圆中”的前提，且同圆内一条弦对应两个圆心角（分别对应优弧、劣弧），因此相等的弦所对的圆心角不一定相等，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆心角弧弦的关系 2. 等弧的定义
【点评】
本题易错点是忽略“同圆或等圆”这个前提条件，要注意等弧自带同圆或等圆的属性，其余三者相等的推导都必须先满足前提条件才能成立。
【难度系数】
0.7
这道题考查圆心角、弧、弦三者的对应关系，解题时首先要明确：除等弧之外，其余关于圆心角、弧、弦相等的结论，都必须在“同圆或等圆”的前提条件下才成立；另外一条弦对应优弧、劣弧两条弧，我们只需逐个排查选项是否满足结论成立的条件即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 等弦所对的弧相等：一方面没有说明在同圆或等圆中，另一方面一条弦对应优弧、劣弧两条弧，即使在同圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧也不一定对应相等，因此A错误；
B. 等弧所对的弦相等：等弧的定义是能够完全重合的弧，本身就隐含了“在同圆或等圆中”的条件，因此等弧所对的弦必然相等，因此B正确；
C. 相等的圆心角所对的弦也相等：缺少“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的圆里，圆心角相等时所对的弦长度不相等，因此C错误；
D. 相等的弦所对的圆心角也相等：缺少“在同圆或等圆中”的前提，且同圆内一条弦对应两个圆心角（分别对应优弧、劣弧），因此相等的弦所对的圆心角不一定相等，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆心角弧弦的关系 2. 等弧的定义
【点评】
本题易错点是忽略“同圆或等圆”这个前提条件，要注意等弧自带同圆或等圆的属性，其余三者相等的推导都必须先满足前提条件才能成立。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$\odot O$中，$AB=AC$，$∠ C =75°$，$∠ A$的度数为
（第3题） （第4题）
30
°。（第3题） （第4题）答案
3. 30
解析
【分析】
解题时先观察已知条件，AB=AC且A、B、C三点均在⊙O上，可先判定△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B=∠C，再结合三角形内角和为180°的定理，代入已知的∠C的度数，就能计算出∠A的度数。也可结合圆的性质：同圆中相等的弦所对的圆周角相等，得到∠B=∠C后再计算角度。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C=75°，
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-75°-75°=30°。
【答案】
30
【知识点】
等边对等角；三角形内角和定理；同圆弦与圆周角关系
【点评】
本题结合圆的背景考查基础几何性质的应用，解题关键是识别出等腰三角形，熟练掌握等腰三角形性质和内角和定理即可快速求解，推导过程简单。
【难度系数】
0.9
解题时先观察已知条件，AB=AC且A、B、C三点均在⊙O上，可先判定△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B=∠C，再结合三角形内角和为180°的定理，代入已知的∠C的度数，就能计算出∠A的度数。也可结合圆的性质：同圆中相等的弦所对的圆周角相等，得到∠B=∠C后再计算角度。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C=75°，
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-75°-75°=30°。
【答案】
30
【知识点】
等边对等角；三角形内角和定理；同圆弦与圆周角关系
【点评】
本题结合圆的背景考查基础几何性质的应用，解题关键是识别出等腰三角形，熟练掌握等腰三角形性质和内角和定理即可快速求解，推导过程简单。
【难度系数】
0.9
4. 如图，AB，CD是$\odot O$的直径，弦$CE // AB$，$\overset{\frown}{CE}$的度数为$70°$，则$∠ AOC$的度数为
55
°。答案
4. 55
解析
【分析】
解题时首先明确弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此先由$\overset{\frown}{CE}$的度数得到对应的圆心角$∠ COE$的度数；再结合同圆半径相等，可知$△ OCE$是等腰三角形，可求出底角$∠ OCE$的度数；最后利用平行线的内错角相等的性质，即可求出$∠ AOC$的度数。
【解析】
连接$OE$。
1. 因为$\overset{\frown}{CE}$的度数为$70°$，所以它所对的圆心角$∠ COE=70°$。
2. 因为$OC$、$OE$都是$\odot O$的半径，所以$OC=OE$，$△ OCE$为等腰三角形。
根据等腰三角形内角和性质，$∠ OCE=\frac{180°-∠ COE}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$。
3. 又因为$CE// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ AOC=∠ OCE=55°$。
【答案】
55
【知识点】
弧的度数定义；等腰三角形性质；平行线性质
【点评】
本题是圆的基础性质和几何基础定理结合的常规考题，解题的核心是将弧的度数转化为对应圆心角的度数，再结合等腰三角形、平行线的性质推导角度，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此先由$\overset{\frown}{CE}$的度数得到对应的圆心角$∠ COE$的度数；再结合同圆半径相等，可知$△ OCE$是等腰三角形，可求出底角$∠ OCE$的度数；最后利用平行线的内错角相等的性质，即可求出$∠ AOC$的度数。
【解析】
连接$OE$。
1. 因为$\overset{\frown}{CE}$的度数为$70°$，所以它所对的圆心角$∠ COE=70°$。
2. 因为$OC$、$OE$都是$\odot O$的半径，所以$OC=OE$，$△ OCE$为等腰三角形。
根据等腰三角形内角和性质，$∠ OCE=\frac{180°-∠ COE}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$。
3. 又因为$CE// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ AOC=∠ OCE=55°$。
【答案】
55
【知识点】
弧的度数定义；等腰三角形性质；平行线性质
【点评】
本题是圆的基础性质和几何基础定理结合的常规考题，解题的核心是将弧的度数转化为对应圆心角的度数，再结合等腰三角形、平行线的性质推导角度，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
