7. 我们称能完全覆盖某平面图形的圆(即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上)为该平面图形的覆盖圆.其中,能完全覆盖平面图形的最小的圆(即直径最小)称为该平面图形的最小覆盖圆.
（1）如图①,线段AB＝3,则线段AB的最小覆盖圆的半径为.
（2）如图②,在Rt△ABC中,∠A＝90°.用直尺和圆规作出Rt△ABC的最小覆盖圆(保留作图痕迹,不写作法).
（3）如图③,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,则矩形ABCD的最小覆盖圆的半径为.

（1）$\dfrac{3}{2}$
（2）图略(提示:作以BC为直径的圆)
（3）$\dfrac{5}{2}$

【分析】
（1）求解线段的最小覆盖圆时，最小的圆需恰好让线段的两个端点都在圆上，此时线段就是圆的直径，半径等于线段长度的一半，代入AB的长度即可计算。
（2）直角三角形的三个顶点都要在覆盖圆上，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此直角三角形的最小覆盖圆的直径就是斜边，作图时先找到斜边的中点作为圆心，再以斜边长的一半为半径画圆即可。
（3）矩形的四个顶点都要在覆盖圆上，矩形对角线相等且互相平分，因此矩形的对角线就是最小覆盖圆的直径，先利用勾股定理算出对角线长度，再除以2即可得到半径。
【解析】
（1）线段的最小覆盖圆是以该线段为直径的圆，已知AB=3，即圆的直径为3，因此半径为$\dfrac{3}{2}$。
（2）Rt△ABC中，∠A=90°，该三角形的最小覆盖圆是以斜边BC为直径的圆：作BC的垂直平分线得到BC的中点O，以O为圆心，OB长为半径作圆即为所求，作图保留垂直平分线和圆的痕迹即可。
（3）矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为矩形的对角线。在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，因此覆盖圆的半径为$\dfrac{5}{2}$。
【答案】
（1）$\dfrac{3}{2}$
（2）作以BC为直径的圆，图略
（3）$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
1. 最小覆盖圆定义
2. 直角三角形外接圆性质
3. 勾股定理
【点评】
本题结合线段、直角三角形、矩形三种图形，考查最小覆盖圆的求解，解题关键是准确判断不同图形的最小覆盖圆的直径，注重对基础几何性质的理解与应用。
【难度系数】
0.8

8. 如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字形轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5.现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，求r的最小值.

如图,设$BE=x$.在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$AC=2x$,$BC=\dfrac{3}{2}x$,$\therefore (2x)^2+(\dfrac{3}{2}x)^2=5^2$.解得$x=2$(负值舍去).$\therefore EH=4$,$DH=1$.设$OE=a$,$OD=OB=r$,则$\begin{cases}a^2+2^2=r^2,\\(4-a)^2+1^2=r^2,\end{cases}$解得$r=\dfrac{5}{8}\sqrt{17}$(负值舍去)

【分析】
要得到完全覆盖图案的最小圆形，首先利用图形的轴对称性可知，最小覆盖圆的圆心必然在图案的对称轴上，且圆需经过图案外侧最远的顶点。解题分为两步：第一步先根据AB的长度，结合勾股定理求出正方形的边长；第二步设出圆心在对称轴上的位置，利用圆心到两个最远顶点的距离均等于半径，列方程组即可求解得到最小半径r。
【解析】
设正方形的边长为$x$，由轴对称性可知，过图形中心的竖直直线为对称轴。点A到BC的垂直距离为$2x$，点A到点B的水平距离为$\dfrac{3}{2}x$，在$\mathrm{Rt}△ACB$中，由勾股定理得：
$(2x)^2+(\dfrac{3}{2}x)^2=5^2$
解得$x=2$（负值舍去），即正方形边长为2。
设对称轴与下方正方形上边交于E，与上方正方形上边交于H，可得$EH=4$，点D到对称轴的水平距离为1。设圆心O在对称轴上，$OE=a$，且$OD=OB=r$，分别对$△ OEB$和$△ OHD$应用勾股定理得：
$\begin{cases}a^2+2^2=r^2\\(4-a)^2+1^2=r^2\end{cases}$
联立解得$r=\dfrac{5}{8}\sqrt{17}$（负值舍去）。
【答案】
$r$的最小值为$\dfrac{5}{8}\sqrt{17}$
【知识点】
勾股定理，轴对称性质，确定圆的条件
【点评】
本题为几何覆盖类问题，解题核心是利用轴对称性简化圆心位置的判定，再结合勾股定理构造方程求解，能有效锻炼数形结合思想和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6