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例1 如图3.5.1,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4.
(1) 以B为圆心,BC为半径画⊙B,点A,C及AB的中点E与⊙B有怎样的位置关系?
(2) 以A为圆心,R为半径画⊙A,若B,C,E三点中至少有一点在圆内,至少有一点在圆外,则⊙A的半径R应满足什么条件?
图3.5.1
(1) 以B为圆心,BC为半径画⊙B,点A,C及AB的中点E与⊙B有怎样的位置关系?
(2) 以A为圆心,R为半径画⊙A,若B,C,E三点中至少有一点在圆内,至少有一点在圆外,则⊙A的半径R应满足什么条件?
图3.5.1
答案
(1)
∵∠C=90°,BC=3,AC=4,
∴AB=√(3²+4²)=5＞3.
∴点A在圆外.
∵E是线段AB的中点,
∴BE=5/2＜3.
∴点E在圆内.显然点C在圆上
(2)
∵AB=5,
∴AE=5/2.又
∵AC=4,AB=5,
∴若B,C,E三点中至少有一点在圆内,至少有一点在圆外,则5/2＜R＜5
∵∠C=90°,BC=3,AC=4,
∴AB=√(3²+4²)=5＞3.
∴点A在圆外.
∵E是线段AB的中点,
∴BE=5/2＜3.
∴点E在圆内.显然点C在圆上
(2)
∵AB=5,
∴AE=5/2.又
∵AC=4,AB=5,
∴若B,C,E三点中至少有一点在圆内,至少有一点在圆外,则5/2＜R＜5
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握点与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，若$d＞r$则点在圆外，$d=r$则点在圆上，$d＜r$则点在圆内。
对于(1)，先通过勾股定理计算$AB$的长度，再分别求出点$A、C、E$到圆心$B$的距离，与$⊙B$的半径$BC=3$比较，即可判断三点的位置；
对于(2)，先求出$B、C、E$三点到圆心$A$的距离，要满足至少一点在圆内、至少一点在圆外，说明半径$R$需要大于三个距离的最小值，小于三个距离的最大值，即可得到$R$的取值范围。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°，BC=3，AC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
$⊙B$的半径$r=BC=3$，
∵点$A$到圆心$B$的距离$AB=5＞3$，
∴点$A$在$⊙B$外；
∵点$C$到圆心$B$的距离$BC=3=r$，
∴点$C$在$⊙B$上；
∵$E$是$AB$的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}=2.5＜3$，
∴点$E$在$⊙B$内。
(2) 先计算$B、C、E$三点到圆心$A$的距离：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，$AC=4$，$AB=5$，
三个距离的大小关系为$\frac{5}{2}＜4＜5$，
要使三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，则半径$R$要大于最小距离$\frac{5}{2}$，小于最大距离$5$，即$\frac{5}{2}＜R＜5$。
【答案】
(1) 点$A$在$⊙B$外，点$C$在$⊙B$上，点$E$在$⊙B$内；
(2) $\frac{5}{2}＜R＜5$
【知识点】
点与圆的位置关系；勾股定理；线段中点性质
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题关键是牢记点与圆位置关系的判定规则，先求出对应点到圆心的距离，再与半径比较大小即可，第二问要注意分析半径的边界，避免取值范围出错。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握点与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，若$d＞r$则点在圆外，$d=r$则点在圆上，$d＜r$则点在圆内。
对于(1)，先通过勾股定理计算$AB$的长度，再分别求出点$A、C、E$到圆心$B$的距离，与$⊙B$的半径$BC=3$比较，即可判断三点的位置；
对于(2)，先求出$B、C、E$三点到圆心$A$的距离，要满足至少一点在圆内、至少一点在圆外，说明半径$R$需要大于三个距离的最小值，小于三个距离的最大值，即可得到$R$的取值范围。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°，BC=3，AC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
$⊙B$的半径$r=BC=3$，
∵点$A$到圆心$B$的距离$AB=5＞3$，
∴点$A$在$⊙B$外；
∵点$C$到圆心$B$的距离$BC=3=r$，
∴点$C$在$⊙B$上；
∵$E$是$AB$的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}=2.5＜3$，
∴点$E$在$⊙B$内。
(2) 先计算$B、C、E$三点到圆心$A$的距离：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，$AC=4$，$AB=5$，
三个距离的大小关系为$\frac{5}{2}＜4＜5$，
要使三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，则半径$R$要大于最小距离$\frac{5}{2}$，小于最大距离$5$，即$\frac{5}{2}＜R＜5$。
【答案】
(1) 点$A$在$⊙B$外，点$C$在$⊙B$上，点$E$在$⊙B$内；
(2) $\frac{5}{2}＜R＜5$
【知识点】
点与圆的位置关系；勾股定理；线段中点性质
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题关键是牢记点与圆位置关系的判定规则，先求出对应点到圆心的距离，再与半径比较大小即可，第二问要注意分析半径的边界，避免取值范围出错。
【难度系数】
0.8
例2 A，B两点的距离为4 cm，用图形表示具有下列性质的点的集合，并指出它们是怎样的图形：
（1）到点A的距离等于3 cm的点的集合；
（2）到点B的距离等于3 cm的点的集合；
（3）到A，B两点的距离都等于3 cm的点的集合；
（4）到A，B两点的距离都不大于3 cm的点的集合。
（1）到点A的距离等于3 cm的点的集合；
（2）到点B的距离等于3 cm的点的集合；
（3）到A，B两点的距离都等于3 cm的点的集合；
（4）到A，B两点的距离都不大于3 cm的点的集合。
答案
(1) 如图,图中⊙A 即为与点A 的距离为3 cm 的点的集合
（2）图中⊙B 即为与点B 的距离为3 cm 的点的集合
（3）图中⊙A 与⊙B 的交点C,D 即为符合条件的点的集合
（4）图中阴影部分(含边界)即为符合条件的点的集合
解析
【分析】
解题时首先依据圆的定义思考：平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆，定点为圆心，定长为半径。
(1) 要找到点A距离等于3cm的点的集合，对应就是以A为圆心、3cm为半径的圆；
(2) 同理，到点B距离等于3cm的点的集合是以B为圆心、3cm为半径的圆；
(3) 同时满足到A、B的距离都等于3cm的点，需要同时在上述两个圆上，即两个圆的交点；
(4) “距离都不大于3cm”即距离≤3cm，对应点在圆内或圆上，同时满足两个条件的点就是两个圆的公共区域（含边界）。
【解析】
根据圆的定义及点与圆的位置关系逐一分析：
（1）平面内所有到定点A的距离等于定长3cm的点组成的图形，是以A为圆心，3cm为半径的圆，即图中的⊙A；
（2）平面内所有到定点B的距离等于定长3cm的点组成的图形，是以B为圆心，3cm为半径的圆，即图中的⊙B；
（3）到A、B两点的距离都等于3cm的点，既在⊙A上，又在⊙B上，因此是⊙A和⊙B的两个交点C、D；
（4）到A的距离不大于3cm即点在⊙A内（含边界），到B的距离不大于3cm即点在⊙B内（含边界），同时满足两个条件的点就是两圆的重叠部分，即图中的阴影部分（含边界）。
【答案】
(1) 如图,图中⊙A 即为与点A 的距离为3 cm 的点的集合
（2）图中⊙B 即为与点B 的距离为3 cm 的点的集合
（3）图中⊙A 与⊙B 的交点C,D 即为符合条件的点的集合
（4）图中阴影部分(含边界)即为符合条件的点的集合
【知识点】
圆的定义；点与圆的位置关系；两圆相交的特征
【点评】
本题核心考查对圆的定义的理解与应用，解题时需要准确把握“等于”“不大于”等表述对应的几何含义，明确多个条件同时满足时对应图形的公共部分，注意不要遗漏边界是否包含的判定。
【难度系数】
0.8
解题时首先依据圆的定义思考：平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆，定点为圆心，定长为半径。
(1) 要找到点A距离等于3cm的点的集合，对应就是以A为圆心、3cm为半径的圆；
(2) 同理，到点B距离等于3cm的点的集合是以B为圆心、3cm为半径的圆；
(3) 同时满足到A、B的距离都等于3cm的点，需要同时在上述两个圆上，即两个圆的交点；
(4) “距离都不大于3cm”即距离≤3cm，对应点在圆内或圆上，同时满足两个条件的点就是两个圆的公共区域（含边界）。
【解析】
根据圆的定义及点与圆的位置关系逐一分析：
（1）平面内所有到定点A的距离等于定长3cm的点组成的图形，是以A为圆心，3cm为半径的圆，即图中的⊙A；
（2）平面内所有到定点B的距离等于定长3cm的点组成的图形，是以B为圆心，3cm为半径的圆，即图中的⊙B；
（3）到A、B两点的距离都等于3cm的点，既在⊙A上，又在⊙B上，因此是⊙A和⊙B的两个交点C、D；
（4）到A的距离不大于3cm即点在⊙A内（含边界），到B的距离不大于3cm即点在⊙B内（含边界），同时满足两个条件的点就是两圆的重叠部分，即图中的阴影部分（含边界）。
【答案】
(1) 如图,图中⊙A 即为与点A 的距离为3 cm 的点的集合
（2）图中⊙B 即为与点B 的距离为3 cm 的点的集合
（3）图中⊙A 与⊙B 的交点C,D 即为符合条件的点的集合
（4）图中阴影部分(含边界)即为符合条件的点的集合
【知识点】
圆的定义；点与圆的位置关系；两圆相交的特征
【点评】
本题核心考查对圆的定义的理解与应用，解题时需要准确把握“等于”“不大于”等表述对应的几何含义，明确多个条件同时满足时对应图形的公共部分，注意不要遗漏边界是否包含的判定。
【难度系数】
0.8
1. 已知$\odot O$的半径为4，点A到圆心O的距离为3，点A与$\odot O$的位置关系是 （
A.点A在$\odot O$内
B.点A在$\odot O$上
C.点A在$\odot O$外
D.不能确定
A
）A.点A在$\odot O$内
B.点A在$\odot O$上
C.点A在$\odot O$外
D.不能确定
答案
A
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离$d$和圆的半径$r$的大小：若$d＜r$，点在圆内；若$d=r$，点在圆上；若$d＞r$，点在圆外。本题已直接给出圆的半径和点到圆心的距离，只需对比两个数值的大小，即可对应得出点的位置。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=4$，点$A$到圆心$O$的距离$d=OA=3$。
因为$3＜4$，即$d＜r$，根据点与圆的位置关系判定规则，可得点$A$在$\odot O$内。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础概念类考题，直接考察点与圆位置关系的判定规则，熟练掌握对应判定逻辑即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离$d$和圆的半径$r$的大小：若$d＜r$，点在圆内；若$d=r$，点在圆上；若$d＞r$，点在圆外。本题已直接给出圆的半径和点到圆心的距离，只需对比两个数值的大小，即可对应得出点的位置。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=4$，点$A$到圆心$O$的距离$d=OA=3$。
因为$3＜4$，即$d＜r$，根据点与圆的位置关系判定规则，可得点$A$在$\odot O$内。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础概念类考题，直接考察点与圆位置关系的判定规则，熟练掌握对应判定逻辑即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在$\odot O$中,A为$\overset{\frown}{BC}$的中点,$∠ ABC=30°,AB=2,\odot O$所在的平面内有一点D,若$OD=3$,则点D与$\odot O$的位置关系是 (
A.点D在$\odot O$外
B.点D在$\odot O$上
C.点D在$\odot O$内
D.无法确定
A
)A.点D在$\odot O$外
B.点D在$\odot O$上
C.点D在$\odot O$内
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要判断点D与$\odot O$的位置关系，需先求出$\odot O$的半径$r$，再将点D到圆心的距离$OD$与$r$比较：若$d＞r$则点在圆外，$d=r$则点在圆上，$d＜r$则点在圆内。首先根据A是$\overset{\frown}{BC}$的中点得到等弧，结合圆周角定理求出对应圆心角的度数，进而得到半径长度，最后比较$OD$和半径即可得到结论。
【解析】
连接$OA$、$OB$。
1. 因为A为$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠ ACB=∠ ABC=30°$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角为$∠ ACB$，所对的圆心角为$∠ AOB$，因此$∠ AOB=2∠ ACB=2×30°=60°$。
3. 因为$OA$、$OB$均为$\odot O$的半径，所以$OA=OB$，又$∠ AOB=60°$，因此$△ AOB$是等边三角形，可得$OA=AB=2$，即$\odot O$的半径$r=2$。
4. 已知$OD=3$，因为$3＞2$，即$OD＞r$，所以点D在$\odot O$外。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系；圆周角定理；等边三角形的判定
【点评】
本题属于点与圆位置关系的常规题型，解题核心是先利用圆的相关性质求出圆的半径，再通过比较点到圆心的距离与半径的大小判断位置，需要熟练掌握等弧的性质、圆周角定理等基础知识点。
【难度系数】
0.7
要判断点D与$\odot O$的位置关系，需先求出$\odot O$的半径$r$，再将点D到圆心的距离$OD$与$r$比较：若$d＞r$则点在圆外，$d=r$则点在圆上，$d＜r$则点在圆内。首先根据A是$\overset{\frown}{BC}$的中点得到等弧，结合圆周角定理求出对应圆心角的度数，进而得到半径长度，最后比较$OD$和半径即可得到结论。
【解析】
连接$OA$、$OB$。
1. 因为A为$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠ ACB=∠ ABC=30°$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角为$∠ ACB$，所对的圆心角为$∠ AOB$，因此$∠ AOB=2∠ ACB=2×30°=60°$。
3. 因为$OA$、$OB$均为$\odot O$的半径，所以$OA=OB$，又$∠ AOB=60°$，因此$△ AOB$是等边三角形，可得$OA=AB=2$，即$\odot O$的半径$r=2$。
4. 已知$OD=3$，因为$3＞2$，即$OD＞r$，所以点D在$\odot O$外。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系；圆周角定理；等边三角形的判定
【点评】
本题属于点与圆位置关系的常规题型，解题核心是先利用圆的相关性质求出圆的半径，再通过比较点到圆心的距离与半径的大小判断位置，需要熟练掌握等弧的性质、圆周角定理等基础知识点。
【难度系数】
0.7
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，若以$C$为圆心，以$2\ \mathrm{cm}$为半径作圆，则点$A$在$\odot C$
上
；点$B$在$\odot C$ 外
；若以$AB$为直径作$\odot O$，则点$C$在$\odot O$ 上
。答案
上，外，上
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小关系：若d=r，点在圆上；若d＞r，点在圆外；若d＜r，点在圆内。首先针对以C为圆心的圆，分别计算点A、B到圆心C的距离，和半径2cm比较即可得出位置；针对以AB为直径的⊙O，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，判断点C到圆心O的距离和⊙O半径的大小关系即可。
【解析】
1. 判断点A、B和$\odot C$的位置关系：
已知$\odot C$的半径$r_1=2\ \mathrm{cm}$，
点A到圆心C的距离$AC=2\ \mathrm{cm}=r_1$，因此点A在$\odot C$上；
点B到圆心C的距离$BC=4\ \mathrm{cm}＞2\ \mathrm{cm}$，即$d＞r_1$，因此点B在$\odot C$外。
2. 判断点C和以AB为直径的$\odot O$的位置关系：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，O是AB中点（AB为$\odot O$直径，O为圆心），根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OC=\frac{1}{2}AB$。
而$\odot O$的半径$r_2=\frac{1}{2}AB$，因此$OC=r_2$，故点C在$\odot O$上。
【答案】
上，外，上
【知识点】
点与圆的位置关系判定，直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题是点和圆位置关系的基础应用题，解题关键是熟练掌握点和圆位置关系的判定方法，同时能结合直角三角形的相关性质进行推导，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小关系：若d=r，点在圆上；若d＞r，点在圆外；若d＜r，点在圆内。首先针对以C为圆心的圆，分别计算点A、B到圆心C的距离，和半径2cm比较即可得出位置；针对以AB为直径的⊙O，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，判断点C到圆心O的距离和⊙O半径的大小关系即可。
【解析】
1. 判断点A、B和$\odot C$的位置关系：
已知$\odot C$的半径$r_1=2\ \mathrm{cm}$，
点A到圆心C的距离$AC=2\ \mathrm{cm}=r_1$，因此点A在$\odot C$上；
点B到圆心C的距离$BC=4\ \mathrm{cm}＞2\ \mathrm{cm}$，即$d＞r_1$，因此点B在$\odot C$外。
2. 判断点C和以AB为直径的$\odot O$的位置关系：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，O是AB中点（AB为$\odot O$直径，O为圆心），根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OC=\frac{1}{2}AB$。
而$\odot O$的半径$r_2=\frac{1}{2}AB$，因此$OC=r_2$，故点C在$\odot O$上。
【答案】
上，外，上
【知识点】
点与圆的位置关系判定，直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题是点和圆位置关系的基础应用题，解题关键是熟练掌握点和圆位置关系的判定方法，同时能结合直角三角形的相关性质进行推导，难度较低。
【难度系数】
0.8
