4. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以点D为圆心作圆，使A，B，C三点中有一点在圆内且一点在圆外，$\odot O$的半径r的取值范围是.

3＜r＜5

【分析】
要解决这道题，首先需明确点与圆的位置关系判定规则：设点到圆心的距离为d，若d＜r则点在圆内，d=r则点在圆上，d＞r则点在圆外。解题第一步要先计算出A、B、C三点到圆心D的距离，比较三个距离的大小，再结合“三点中有一点在圆内且一点在圆外”的条件，即可确定半径r的取值范围。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3
∴ AD=BC=3，CD=AB=4，∠BAD=90°
根据勾股定理，对角线BD的长度为：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
可得A、B、C三点到圆心D的距离分别为：AD=3，CD=4，BD=5，大小关系为$3＜4＜5$。
要满足三点中有一点在圆内且一点在圆外：
当$r＞3$时，距离最小的点A（$d=3＜r$）在圆内；
当$r＜5$时，距离最大的点B（$d=5＞r$）在圆外；
若$r≤3$则没有点在圆内，若$r≥5$则没有点在圆外，均不符合要求。
因此圆的半径r的取值范围是$3＜r＜5$。
【答案】
$3＜r＜5$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】
本题侧重考察点与圆位置关系的应用，解题核心是准确计算各点到圆心的距离，结合判定规则确定半径范围，需注意端点值是否符合题意，避免因忽略边界情况出错。
【难度系数】
0.8

5. 在平面直角坐标系内,以原点O为圆心,5为半径作$\odot O$,已知A,B,C三点的坐标分别为$A(3,4),B(-3,-3),C(4,-\sqrt{10})$.试判断A,B,C三点与$\odot O$的位置关系.

∵OA=√(3²+4²)=5，OB=√(3²+3²)=3√2＜5，OC=√(4²+(√10)²)=√26＞5，
∴点A在⊙O上，点B在⊙O内，点C在⊙O外

【分析】
要判断点与圆的位置关系，需先明确判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d=r时点在圆上，d＜r时点在圆内，d＞r时点在圆外。本题中⊙O的圆心为原点，半径r=5，因此只需利用平面直角坐标系中点到原点的距离公式，分别计算A、B、C三点到O点的距离，再与半径5比较大小，即可得出三点与⊙O的位置关系。
【解析】
已知⊙O的半径r=5，根据平面直角坐标系内点(x,y)到原点的距离公式d=√(x²+y²)，分别计算三点到原点的距离：
1. 对于点A(3,4)：OA=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5，即OA=r；
2. 对于点B(-3,-3)：OB=√[(-3)²+(-3)²]=√(9+9)=√18=3√2＜5，即OB＜r；
3. 对于点C(4,-√10)：OC=√[4²+(-√10)²]=√(16+10)=√26＞5，即OC＞r。
根据点与圆的位置关系判定规则可得对应位置关系。
【答案】
点A在⊙O上，点B在⊙O内，点C在⊙O外
【知识点】
点与圆的位置关系判定；两点间的距离计算
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，核心考查判定规则的应用，熟练掌握距离计算方法和大小比较规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85

6. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AD$是$\odot O$的直径，$BC$平分$∠ ABD$，$AC=2$.求$\odot O$的半径. （第6题）

如图,连接CD.
∵BC平分∠ABD,
∴∠ABC=∠DBC.由圆周角定理,得∠ABC=∠ADC,∠DBC=∠DAC.
∴∠ADC=∠DAC.
∴CD=AC=2.
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°.
∴AD=√(AC²+CD²)=√(2²+2²)=2√2.
∴⊙O 的半径为√2

【分析】
解题时先观察已知条件：AD是⊙O的直径，根据直径的性质，直径所对的圆周角为直角，因此优先考虑连接CD，构造直角三角形ACD；已知BC平分∠ABD，结合圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，可将角平分线得到的等角转化为△ACD中的两个内角相等，从而判定△ACD为等腰三角形，得到CD的长度；最后在Rt△ACD中利用勾股定理求出直径AD的长度，除以2即可得到圆的半径。
【解析】
解：如图，连接CD。
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠DBC，
由圆周角定理，得∠ABC=∠ADC，∠DBC=∠DAC，
∴∠ADC=∠DAC，
∴CD=AC=2，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴⊙O的半径为$2\sqrt{2}÷2=\sqrt{2}$。
【答案】
$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是合理构造辅助线，通过圆周角定理完成等角转化，结合等腰三角形性质和勾股定理求解，熟练掌握圆的基本性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7

7. “求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：
（1）如图①，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O外，线段AD，CD与⊙O交于点E，F，猜想：∠B＋∠D 180°.（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）如图②，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明.

(1) ＜
(2) 结论不成立,∠B+∠D＞180°.如图,延长CD 交圆O 于点G,连接AG.
∵四边形ABCG 是圆内接四边形,
∴∠B+∠G=180°.
∵∠ADC是△ADG 的外角,
∴∠ADC＞∠G.
∴∠B+∠ADC＞180°

【分析】
（1）针对图①的问题，我们可以通过构造圆内接四边形结合外角性质推导：先连接EF得到圆内接四边形ABFE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEF=180°；再利用三角形外角的性质，∠AEF是△DEF的外角，因此∠AEF＞∠D，代入即可判断∠B+∠D与180°的大小关系。
（2）针对图②点D在圆内的情况，我们需要构造圆内接四边形转化角度：延长CD交圆于点G，连接AG得到圆内接四边形ABCG，可得∠B+∠G=180°；再利用三角形外角性质，∠ADC是△ADG的外角，因此∠ADC＞∠G，代入即可得到∠B与∠D的和与180°的大小关系。
【解析】
（1）连接EF，
∵四边形ABFE是⊙O的内接四边形，
∴∠B + ∠AEF = 180°，
∵∠AEF是△DEF的外角，
∴∠AEF = ∠D + ∠DFE ＞ ∠D，
∴∠B + ∠D ＜ ∠B + ∠AEF = 180°。
（2）（1）中的猜想结论不成立，正确结论为$\boldsymbol{∠B + ∠D ＞ 180°}$，证明如下：
延长CD交⊙O于点G，连接AG，
∵四边形ABCG是⊙O的内接四边形，
∴∠B + ∠G = 180°，
∵∠ADC是△ADG的外角，
∴∠ADC ＞ ∠G，
∴∠B + ∠ADC ＞ ∠B + ∠G = 180°，即∠B + ∠D ＞ 180°。
【答案】
(1) ＜
(2) 结论不成立,∠B+∠D＞180°.如图,延长CD 交圆O 于点G,连接AG.
∵四边形ABCG 是圆内接四边形,
∴∠B+∠G=180°.
∵∠ADC是△ADG 的外角,
∴∠ADC＞∠G.
∴∠B+∠ADC＞180°
【知识点】
圆内接四边形的性质，三角形外角的性质，角度比较
【点评】
本题围绕圆内接四边形对角互补的核心性质进行拓展探究，通过构造辅助线建立圆内外角度与圆内接四边形内角的关联，结合三角形外角性质完成角度推导，是圆中角度关系探究的典型题型，能有效锻炼辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65

8. 已知$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ABD$，$∠ ACB=∠ ADB=90°$.
（1）求证：$A,B,D,C$四点在同一个圆上.
（2）请用无刻度的直尺和圆规画出上述圆，并标出圆心（保留作图痕迹，不写作法）.
（3）如果$∠ ABC=30°$，$E$是上述圆上任意一点，请直接写出$∠ AEC$的度数.

(1) 如图①,取AB 的中点O,连接OC,OD.
∵在Rt△ABC 和Rt△ABD 中,∠ACB=∠ADB=90°,O 是斜边AB 的中点,
∴OC=1/2 AB=OA=OB,OD=1/2 AB=OA=OB.
∴OC=OD=OA=OB.
∴A,B,D,C四点在同一个圆上
(2) 如图②,⊙O 即为所求
(3) 30°或150°

【分析】
（1）要证明四点共圆，根据圆的定义，只需证明四个点到同一个定点的距离相等即可。结合题中两个直角三角形的条件，联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，取AB中点O，证明O到A、B、C、D四点距离相等即可得证。
（2）所作圆的圆心为AB中点，半径为AB长度的一半，因此用尺规作AB的垂直平分线，与AB的交点即为圆心O，再以O为圆心、OA长为半径画圆即可。
（3）求∠AEC需分情况讨论点E的位置：根据圆周角定理，同弧所对圆周角相等，圆内接四边形对角互补，分别计算E在优弧AC和劣弧AC上时∠AEC的度数即可。
【解析】
（1）证明：如图①，取AB的中点O，连接OC、OD。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，O是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OC=\frac{1}{2}AB=OA=OB$；
同理，在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$∠ ADB=90°$，O是斜边AB的中点，可得$OD=\frac{1}{2}AB=OA=OB$；
因此$OC=OD=OA=OB$，根据圆的定义，A、B、D、C四点在以O为圆心、OA为半径的同一个圆上。
（2）作AB的垂直平分线，与AB交于点O，以O为圆心、OA长为半径作圆，所得⊙O即为所求。
（3）分两种情况：①当点E在优弧AC上时，同弧所对的圆周角相等，$∠ AEC=∠ ABC=30°$；②当点E在劣弧AC上时，圆内接四边形对角互补，$∠ AEC=180°-∠ ABC=150°$。
【答案】
(1) 如图①,取AB 的中点O,连接OC,OD.
∵在Rt△ABC 和Rt△ABD 中,∠ACB=∠ADB=90°,O 是斜边AB 的中点,
∴OC=1/2 AB=OA=OB,OD=1/2 AB=OA=OB.
∴OC=OD=OA=OB.
∴A,B,D,C四点在同一个圆上
(2) 如图②,⊙O 即为所求
(3) 30°或150°
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；四点共圆的判定；圆周角定理
【点评】
本题综合考查了直角三角形性质、四点共圆的证明、尺规作图以及圆周角定理的应用，解题时要注意分类讨论点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7