例1 在$△ ABC$中，$AB=AC=10$，$BC=12$，以$A$为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定$\odot A$与直线$BC$的位置关系.
（1）6；
（2）8；
（3）12.

作AD⊥BC,垂足为D.
∵AB=AC=10,AD⊥BC,BC=12,
∴BD=$\frac{1}{2}BC$=6.在Rt△ABD中,根据勾股定理,得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.设圆心A到直线BC的距离d=AD=8,
（1）当r=6时,d＞r,则直线BC和⊙A相离
（2）当r=8时,d=r,则直线BC和⊙A相切
（3）当r=12时,d＜r,则直线BC和⊙A相交

【分析】
要判断直线和圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小：d＞r时直线与圆相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题首先需要求出圆心A到直线BC的距离，已知△ABC是等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质作底边BC的高AD，AD的长度就是d，再通过勾股定理计算AD的数值，最后分别将三个半径和d对比即可得出结论。
【解析】
作AD⊥BC，垂足为D。
∵AB=AC=10，AD⊥BC，BC=12，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=6。
在Rt△ABD中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，即圆心A到直线BC的距离d=8。
（1）当半径r=6时，
∵d=8＞r=6，
∴直线BC和⊙A相离；
（2）当半径r=8时，
∵d=8=r，
∴直线BC和⊙A相切；
（3）当半径r=12时，
∵d=8＜r=12，
∴直线BC和⊙A相交。
【答案】
作AD⊥BC,垂足为D.
∵AB=AC=10,AD⊥BC,BC=12,
∴BD=$\frac{1}{2}BC$=6.在Rt△ABD中,根据勾股定理,得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.设圆心A到直线BC的距离d=AD=8,
（1）当r=6时,d＞r,则直线BC和⊙A相离
（2）当r=8时,d=r,则直线BC和⊙A相切
（3）当r=12时,d＜r,则直线BC和⊙A相交

【知识点】
直线与圆的位置关系判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，侧重考查基础知识点的综合运用，解题的关键是先准确求出圆心到直线的距离，再结合判定规则对比半径即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8

例2 如图3.5.2，已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$。
（1）圆心为点$C$、半径长$R$为2的圆与直线$AB$有怎样的位置关系？
（2）圆心为点$C$、半径长$R$为4的圆与直线$AB$有怎样的位置关系？
（3）如果以点$C$为圆心的圆与直线$AB$有公共点，那么$\odot C$的半径$R$的取值范围是什么？

图3.5.2

过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5$.
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$,
∴$CD=\frac{AB·CD}{AC}=\frac{3×4}{5}=2.4$.
（1）当以点C为圆心,半径长R为2时,由于R＜CD,此时⊙C与直线AB相离
（2）当以点C为圆心,半径长R为4时,由于R＞CD,此时⊙C与直线AB相交
（3）① 当以点C为圆心的⊙C与直线AB相切时,半径R=CD=2.4,此时⊙C于直线AB只有一个公共点D;② 当以点C为圆心的⊙C与直线AB相交时,半径R＞CD,即R＞2.4;
∴当以点C为圆心的圆与直线AB有公共点时,半径R的取值范围是R≥2.4

【分析】
要判断⊙C和直线AB的位置关系，需先求出圆心C到直线AB的距离，再将该距离与半径R比较大小：距离大于半径时相离，等于半径时相切，小于半径时相交。首先可通过勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度，再利用等面积法（直角三角形面积可分别用两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上的高的一半计算）求出斜边AB上的高，即点C到AB的距离，最后对应三个小问的条件分别分析即可。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$，
∴$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=2.4$，即圆心C到直线AB的距离为2.4。
（1）当R=2时，$2＜2.4$，即$R＜CD$，因此⊙C与直线AB相离；
（2）当R=4时，$4＞2.4$，即$R＞CD$，因此⊙C与直线AB相交；
（3）若⊙C与直线AB有公共点，即圆与直线相切或相交：相切时$R=CD=2.4$，相交时$R＞2.4$，因此R的取值范围是$R≥2.4$。
【答案】
过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5$.
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$,
∴$CD=\frac{AB·CD}{AC}=\frac{3×4}{5}=2.4$.
（1）当以点C为圆心,半径长R为2时,由于R＜CD,此时⊙C与直线AB相离
（2）当以点C为圆心,半径长R为4时,由于R＞CD,此时⊙C与直线AB相交
（3）① 当以点C为圆心的⊙C与直线AB相切时,半径R=CD=2.4,此时⊙C于直线AB只有一个公共点D;② 当以点C为圆心的⊙C与直线AB相交时,半径R＞CD,即R＞2.4;
∴当以点C为圆心的圆与直线AB有公共点时,半径R的取值范围是R≥2.4

【知识点】
勾股定理、直线与圆的位置关系、等面积法求高
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的判定，解题核心是明确“比较圆心到直线的距离与半径的大小”的判定思路，等面积法求直角三角形斜边上的高是本题的关键技巧，掌握该方法能快速求出所需的距离。
【难度系数】
0.7

例3 如图3.5.3，在$△ ABC$中，$∠ C=30°$，$AB=AC$.
（1）在图中，以CA延长线上一点O为圆心作圆，使该圆经过点A，B（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，判断直线BC与$\odot O$的位置关系，并说明理由.

图3.5.3

（1）如图,作AB的垂直平分线MN交CA的延长线于点O,以O为圆心,OA长为半径作圆,则⊙O就是所求的圆
（2）直线BC与⊙O相切.理由如下:连接OB.
∵∠C=30°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=30°.
∴∠OAB=∠ABC+∠C=60°.
∵点O在AB的垂直平分线上,
∴OA=OB.
∴∠OBA=∠OAB=60°.
∴∠OBC=∠OBA+∠ABC=90°,即BC⊥OB.又
∵OB是⊙O的半径,
∴直线BC与⊙O相切

【分析】
（1）要作过A、B两点且圆心在CA延长线上的圆，根据圆的性质，圆心到A、B两点的距离相等，因此圆心在AB的垂直平分线上，只需作出AB的垂直平分线，找到它与CA延长线的交点即为圆心O，再以O为圆心、OA为半径画圆即可。
（2）判断直线与圆的位置关系可根据切线判定定理，只需证明OB垂直于BC即可。先利用等腰三角形性质求△ABC的内角，再结合垂直平分线的性质得到OA=OB，进而推导∠OBC的度数，判断是否为直角即可得出结论。
【解析】
（1）作AB的垂直平分线MN，MN与CA的延长线交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，即为所求⊙O。
（2）连接OB，推导如下：
∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠OAB是△ABC的外角，∠OAB=∠ABC+∠C=60°，
∵点O在AB的垂直平分线上，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=60°，
∴∠OBC=∠OBA+∠ABC=60°+30°=90°，即OB⊥BC，
又
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BC与⊙O相切。
【答案】
（1）如图,作AB的垂直平分线MN交CA的延长线于点O,以O为圆心,OA长为半径作圆,则⊙O就是所求的圆
（2）直线BC与⊙O相切.理由如下:连接OB.
∵∠C=30°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=30°.
∴∠OAB=∠ABC+∠C=60°.
∵点O在AB的垂直平分线上,
∴OA=OB.
∴∠OBA=∠OAB=60°.
∴∠OBC=∠OBA+∠ABC=90°,即BC⊥OB.又
∵OB是⊙O的半径,
∴直线BC与⊙O相切

【知识点】
垂直平分线尺规作图、等腰三角形性质、切线的判定
【点评】
本题结合了尺规作图和几何证明，既考查了基本作图能力，也考查了垂直平分线、等腰三角形、切线判定等核心知识点，解题的关键是明确切线判定的思路，通过角度计算得到垂直关系。
【难度系数】
0.7