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1. 在下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 （
A.$y=\frac{1}{3x}$
B.$y=\frac{2}{x}-1$
C.$y=-\frac{3}{x^2}$
D.$y=-\frac{x}{2}$
A
）A.$y=\frac{1}{3x}$
B.$y=\frac{2}{x}-1$
C.$y=-\frac{3}{x^2}$
D.$y=-\frac{x}{2}$
答案
A
解析
【分析】
要判断哪个函数是反比例函数，首先要明确反比例函数的定义标准：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne 0$）的函数叫做反比例函数，核心特征有3个：①等式右边是分式结构，分子为非零常数$k$；②分母仅含自变量$x$，且$x$的次数为1；③等式右边没有额外的常数项。接下来我们对照这个标准逐一排查四个选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，$k\ne 0$）的函数为反比例函数，也可变形为$y=kx^{-1}(k\ne 0)$、$xy=k(k\ne 0)$的形式。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=\frac{1}{3x}$可变形为$y=\frac{\frac{1}{3}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=\frac{1}{3}\ne0$，是反比例函数；
选项B：$y=\frac{2}{x}-1$的右侧除了分式项还有常数项$-1$，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数；
选项C：$y=-\frac{3}{x^2}$的分母中$x$的次数是2，不符合反比例函数分母$x$次数为1的要求，不是反比例函数；
选项D：$y=-\frac{x}{2}$是正比例函数（属于一次函数），不符合反比例函数定义，不是反比例函数。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是熟练掌握反比例函数的标准形式及核心特征，做题时注意区分易混点：比如分母中x的次数、是否额外带常数项，避免和一次函数、其他分式函数混淆。
【难度系数】
0.8
要判断哪个函数是反比例函数，首先要明确反比例函数的定义标准：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne 0$）的函数叫做反比例函数，核心特征有3个：①等式右边是分式结构，分子为非零常数$k$；②分母仅含自变量$x$，且$x$的次数为1；③等式右边没有额外的常数项。接下来我们对照这个标准逐一排查四个选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，$k\ne 0$）的函数为反比例函数，也可变形为$y=kx^{-1}(k\ne 0)$、$xy=k(k\ne 0)$的形式。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=\frac{1}{3x}$可变形为$y=\frac{\frac{1}{3}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=\frac{1}{3}\ne0$，是反比例函数；
选项B：$y=\frac{2}{x}-1$的右侧除了分式项还有常数项$-1$，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数；
选项C：$y=-\frac{3}{x^2}$的分母中$x$的次数是2，不符合反比例函数分母$x$次数为1的要求，不是反比例函数；
选项D：$y=-\frac{x}{2}$是正比例函数（属于一次函数），不符合反比例函数定义，不是反比例函数。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是熟练掌握反比例函数的标准形式及核心特征，做题时注意区分易混点：比如分母中x的次数、是否额外带常数项，避免和一次函数、其他分式函数混淆。
【难度系数】
0.8
2. 已知$y=y_1y_2$，若$y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x^2$成反比例，则$y$是$x$的（
A.反比例函数
B.正比例函数
C.一次函数
D.以上都不对
A
）A.反比例函数
B.正比例函数
C.一次函数
D.以上都不对
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要回忆正比例函数、反比例函数的定义，分别写出y₁、y₂和x的关系式，再代入y=y₁y₂的条件中化简得到y与x的最终关系式，最后对照各类函数的定义判断所属类型即可，要注意正反比例函数的比例系数均不为0的隐含条件。
【解析】
解：
∵ $ y_1 $与x成正比例，根据正比例函数定义，可设$ y_1 = k_1x $（$ k_1 ≠ 0 $，$ k_1 $为常数）；
∵ $ y_2 $与$ x^2 $成反比例，根据反比例函数定义，可设$ y_2 = \frac{k_2}{x^2} $（$ k_2 ≠ 0 $，$ k_2 $为常数）；
又
∵ $ y = y_1y_2 $，代入两个关系式得：
$ y = k_1x · \frac{k_2}{x^2} = \frac{k_1k_2}{x} $
令$ k = k_1k_2 $，
∵ $ k_1 ≠ 0 $、$ k_2 ≠ 0 $，
∴ $ k ≠ 0 $，此时$ y = \frac{k}{x} $完全符合反比例函数的定义，因此y是x的反比例函数。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.正比例函数定义 2.反比例函数定义 3.幂的运算
【点评】
本题考查对正比例、反比例函数基础概念的应用，解题核心是准确根据定义写出对应函数的表达式，化简后对照概念判断即可，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要回忆正比例函数、反比例函数的定义，分别写出y₁、y₂和x的关系式，再代入y=y₁y₂的条件中化简得到y与x的最终关系式，最后对照各类函数的定义判断所属类型即可，要注意正反比例函数的比例系数均不为0的隐含条件。
【解析】
解：
∵ $ y_1 $与x成正比例，根据正比例函数定义，可设$ y_1 = k_1x $（$ k_1 ≠ 0 $，$ k_1 $为常数）；
∵ $ y_2 $与$ x^2 $成反比例，根据反比例函数定义，可设$ y_2 = \frac{k_2}{x^2} $（$ k_2 ≠ 0 $，$ k_2 $为常数）；
又
∵ $ y = y_1y_2 $，代入两个关系式得：
$ y = k_1x · \frac{k_2}{x^2} = \frac{k_1k_2}{x} $
令$ k = k_1k_2 $，
∵ $ k_1 ≠ 0 $、$ k_2 ≠ 0 $，
∴ $ k ≠ 0 $，此时$ y = \frac{k}{x} $完全符合反比例函数的定义，因此y是x的反比例函数。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.正比例函数定义 2.反比例函数定义 3.幂的运算
【点评】
本题考查对正比例、反比例函数基础概念的应用，解题核心是准确根据定义写出对应函数的表达式，化简后对照概念判断即可，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
3. 写出下列问题中的函数表达式,并指出它们分别是什么函数(无需写出自变量取值范围).
(1) 三角形的面积S是常数时,它的底边长y关于这条边上的高x的函数表达式为
(2) 食堂存煤10 t,可使用的天数t关于平均每天的用煤量Q kg的函数表达式为
(3) 用150元钱购买一批练习本,购买的数量y本关于每本练习本的单价a元的函数表达式为
(4) 某工厂今年产值为50万元,计划今后每年增加5万元,年产值y万元关于年数x的函数表达式为
(1) 三角形的面积S是常数时,它的底边长y关于这条边上的高x的函数表达式为
$y=\frac{2S}{x}$，反比例函数
;(2) 食堂存煤10 t,可使用的天数t关于平均每天的用煤量Q kg的函数表达式为
$t=\frac{10000}{Q}$，反比例函数
;(3) 用150元钱购买一批练习本,购买的数量y本关于每本练习本的单价a元的函数表达式为
$y=\frac{150}{a}$，反比例函数
;(4) 某工厂今年产值为50万元,计划今后每年增加5万元,年产值y万元关于年数x的函数表达式为
$y=50+5x$，一次函数
.答案
(1) $y=\frac{2S}{x}$，反比例函数 (2) $t=\frac{10000}{Q}$，反比例函数 (3) $y=\frac{150}{a}$，反比例函数 (4) $y=50+5x$，一次函数
解析
【分析】
解决这类问题需分三步思考：第一步先明确题目中各数量的等量关系；第二步将等量关系变形，整理成所求函数关于自变量的表达式，注意若涉及单位不统一的要先统一单位；第三步结合反比例函数（形如$y=\frac{k}{x}$，$k$为常数且$k≠0$）、一次函数（形如$y=kx+b$，$k、b$为常数且$k≠0$）的定义判断函数类型。
【解析】
(1) 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}xy$，$S$为常数，将等式变形求$y$：
两边同乘2得$2S=xy$，即$y=\frac{2S}{x}$，符合反比例函数的形式，属于反比例函数。
(2) 先统一单位：$10\mathrm{t}=10000\mathrm{kg}$，根据“总存煤量=平均每天用煤量×使用天数”，可得$10000=Qt$，变形得$t=\frac{10000}{Q}$，符合反比例函数的形式，属于反比例函数。
(3) 根据“总金额=练习本单价×购买数量”，可得$150=ay$，变形得$y=\frac{150}{a}$，符合反比例函数的形式，属于反比例函数。
(4) 根据“年产值=今年产值+每年增加的产值×年数”，可得$y=50+5x$，符合一次函数的形式，属于一次函数。
【答案】
(1) $y=\frac{2S}{x}$，反比例函数 (2) $t=\frac{10000}{Q}$，反比例函数 (3) $y=\frac{150}{a}$，反比例函数 (4) $y=50+5x$，一次函数
【知识点】
列实际问题的函数关系式，反比例函数的概念，一次函数的概念
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟记常见的数量关系，掌握反比例函数和一次函数的定义，做题时注意单位换算的细节即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决这类问题需分三步思考：第一步先明确题目中各数量的等量关系；第二步将等量关系变形，整理成所求函数关于自变量的表达式，注意若涉及单位不统一的要先统一单位；第三步结合反比例函数（形如$y=\frac{k}{x}$，$k$为常数且$k≠0$）、一次函数（形如$y=kx+b$，$k、b$为常数且$k≠0$）的定义判断函数类型。
【解析】
(1) 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}xy$，$S$为常数，将等式变形求$y$：
两边同乘2得$2S=xy$，即$y=\frac{2S}{x}$，符合反比例函数的形式，属于反比例函数。
(2) 先统一单位：$10\mathrm{t}=10000\mathrm{kg}$，根据“总存煤量=平均每天用煤量×使用天数”，可得$10000=Qt$，变形得$t=\frac{10000}{Q}$，符合反比例函数的形式，属于反比例函数。
(3) 根据“总金额=练习本单价×购买数量”，可得$150=ay$，变形得$y=\frac{150}{a}$，符合反比例函数的形式，属于反比例函数。
(4) 根据“年产值=今年产值+每年增加的产值×年数”，可得$y=50+5x$，符合一次函数的形式，属于一次函数。
【答案】
(1) $y=\frac{2S}{x}$，反比例函数 (2) $t=\frac{10000}{Q}$，反比例函数 (3) $y=\frac{150}{a}$，反比例函数 (4) $y=50+5x$，一次函数
【知识点】
列实际问题的函数关系式，反比例函数的概念，一次函数的概念
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟记常见的数量关系，掌握反比例函数和一次函数的定义，做题时注意单位换算的细节即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4. 写出下列问题中的函数表达式,指出哪些是正比例函数,哪些是反比例函数,哪些既不是正比例函数,也不是反比例函数(无需写出自变量取值范围).
(1) 小红1 min可以制作3朵花,x min可以制作y朵花:
(2) 体积为200 cm³的长方体,高为h cm时,底面积为S cm²:
(3) 用一根长48 cm的铁丝弯成一个矩形,一边长为x cm时,面积为y cm²:
(4) 小李接到150 m长的管道检修任务,设每天能完成10 m,x天后剩下的未检修的管道长为y m:
(1) 小红1 min可以制作3朵花,x min可以制作y朵花:
$y=3x$，正比例函数
;(2) 体积为200 cm³的长方体,高为h cm时,底面积为S cm²:
$S=\frac{200}{h}$，反比例函数
;(3) 用一根长48 cm的铁丝弯成一个矩形,一边长为x cm时,面积为y cm²:
$y=-x^2+24x$，既不是正比例函数，也不是反比例函数
;(4) 小李接到150 m长的管道检修任务,设每天能完成10 m,x天后剩下的未检修的管道长为y m:
$y=150-10x$，既不是正比例函数，也不是反比例函数
.答案
(1) $y=3x$，正比例函数 (2) $S=\frac{200}{h}$，反比例函数 (3) $y=-x^2+24x$，既不是正比例函数，也不是反比例函数 (4) $y=150-10x$，既不是正比例函数，也不是反比例函数
解析
【分析】
解题时可分两步进行：①先根据每个小题描述的实际数量关系，列出对应的函数表达式；②再结合正比例函数、反比例函数的定义判断类型：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数是正比例函数，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数是反比例函数，不符合上述两种形式的则都不属于。
【解析】
(1) 总制作花朵数=每分钟制作花朵数×时间，代入数据得$y=3x$，符合正比例函数的形式，属于正比例函数；
(2) 长方体体积=底面积×高，已知体积为$200\mathrm{cm}^3$，即$200=S× h$，变形得$S=\frac{200}{h}$，符合反比例函数的形式，属于反比例函数；
(3) 矩形周长为$48\mathrm{cm}$，一边长为$x\mathrm{cm}$，则另一边长为$(48÷2 - x)=24 - x\mathrm{cm}$，矩形面积=长×宽，因此$y=x(24-x)=-x^2+24x$，该式为二次函数，不符合正比例、反比例函数的形式，因此既不是正比例函数，也不是反比例函数；
(4) 未检修管道长度=总长度-已检修长度，已检修长度为$10x\mathrm{m}$，因此$y=150-10x$，该式为常数项不为0的一次函数，不符合正比例、反比例函数的形式，因此既不是正比例函数，也不是反比例函数。
【答案】
(1) $y=3x$，正比例函数 (2) $S=\frac{200}{h}$，反比例函数 (3) $y=-x^2+24x$，既不是正比例函数，也不是反比例函数 (4) $y=150-10x$，既不是正比例函数，也不是反比例函数
【知识点】
根据实际问题列函数关系式；正比例函数的定义；反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是准确梳理实际问题中的等量关系，同时要清晰区分正比例函数、反比例函数的形式特征，避免和一次函数、二次函数混淆。
【难度系数】
0.85
解题时可分两步进行：①先根据每个小题描述的实际数量关系，列出对应的函数表达式；②再结合正比例函数、反比例函数的定义判断类型：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数是正比例函数，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数是反比例函数，不符合上述两种形式的则都不属于。
【解析】
(1) 总制作花朵数=每分钟制作花朵数×时间，代入数据得$y=3x$，符合正比例函数的形式，属于正比例函数；
(2) 长方体体积=底面积×高，已知体积为$200\mathrm{cm}^3$，即$200=S× h$，变形得$S=\frac{200}{h}$，符合反比例函数的形式，属于反比例函数；
(3) 矩形周长为$48\mathrm{cm}$，一边长为$x\mathrm{cm}$，则另一边长为$(48÷2 - x)=24 - x\mathrm{cm}$，矩形面积=长×宽，因此$y=x(24-x)=-x^2+24x$，该式为二次函数，不符合正比例、反比例函数的形式，因此既不是正比例函数，也不是反比例函数；
(4) 未检修管道长度=总长度-已检修长度，已检修长度为$10x\mathrm{m}$，因此$y=150-10x$，该式为常数项不为0的一次函数，不符合正比例、反比例函数的形式，因此既不是正比例函数，也不是反比例函数。
【答案】
(1) $y=3x$，正比例函数 (2) $S=\frac{200}{h}$，反比例函数 (3) $y=-x^2+24x$，既不是正比例函数，也不是反比例函数 (4) $y=150-10x$，既不是正比例函数，也不是反比例函数
【知识点】
根据实际问题列函数关系式；正比例函数的定义；反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是准确梳理实际问题中的等量关系，同时要清晰区分正比例函数、反比例函数的形式特征，避免和一次函数、二次函数混淆。
【难度系数】
0.85
5. 已知点$(3,a)$在一次函数$y=\frac{1}{3}x - 2$的图象上，也在反比例函数$y=-\frac{k}{x}$的图象上.求该反比例函数的表达式.
答案
$y=-\frac{3}{x}$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，已知点$(3,a)$在一次函数图象上，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将$x=3$代入一次函数解析式，求出$a$的值，得到该点的完整坐标；第二步，将求出的点坐标代入反比例函数解析式，解出未知参数$k$的值，即可得到反比例函数的表达式。
【解析】
解：
∵ 点$(3,a)$在一次函数$y=\frac{1}{3}x - 2$的图象上
∴ 将$x=3$代入一次函数解析式，得：
$a=\frac{1}{3} × 3 - 2 = 1 - 2 = -1$
即该点坐标为$(3,-1)$
又
∵ 点$(3,-1)$在反比例函数$y=-\frac{k}{x}$的图象上
∴ 将$x=3$，$y=-1$代入反比例函数解析式，得：
$-1 = -\frac{k}{3}$
解得：$k=3$
将$k=3$代入$y=-\frac{k}{x}$，得反比例函数表达式为$y=-\frac{3}{x}$
【答案】
$y=-\frac{3}{x}$
【知识点】
1. 一次函数点坐标性质
2. 反比例函数点坐标性质
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题思路分为两步：第一步，已知点$(3,a)$在一次函数图象上，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将$x=3$代入一次函数解析式，求出$a$的值，得到该点的完整坐标；第二步，将求出的点坐标代入反比例函数解析式，解出未知参数$k$的值，即可得到反比例函数的表达式。
【解析】
解：
∵ 点$(3,a)$在一次函数$y=\frac{1}{3}x - 2$的图象上
∴ 将$x=3$代入一次函数解析式，得：
$a=\frac{1}{3} × 3 - 2 = 1 - 2 = -1$
即该点坐标为$(3,-1)$
又
∵ 点$(3,-1)$在反比例函数$y=-\frac{k}{x}$的图象上
∴ 将$x=3$，$y=-1$代入反比例函数解析式，得：
$-1 = -\frac{k}{3}$
解得：$k=3$
将$k=3$代入$y=-\frac{k}{x}$，得反比例函数表达式为$y=-\frac{3}{x}$
【答案】
$y=-\frac{3}{x}$
【知识点】
1. 一次函数点坐标性质
2. 反比例函数点坐标性质
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.9
