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例1 已知函数$y=(m^2 - m)x^m$.
（1）当$m$为何值时，$y$是$x$的反比例函数？
（2）$y$能否是$x$的正比例函数？请说明理由.
（1）当$m$为何值时，$y$是$x$的反比例函数？
（2）$y$能否是$x$的正比例函数？请说明理由.
答案
(1) $m=-1$ (2) 不是，理由略
解析
【分析】
要解决本题，需紧扣反比例函数、正比例函数的定义分步求解：
1. 求解第一问时，先回忆反比例函数的核心特征：形如$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），因此需同时满足两个要求：①自变量$x$的指数为$-1$，②$x$的系数不为0，按这两个要求列方程和不等式验证即可得到$m$的值；
2. 求解第二问时，先假设$y$是正比例函数，根据正比例函数的核心特征：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），需满足自变量$x$的指数为1、系数不为0，先按指数要求算出$m$的值，再验证系数是否符合要求，即可判断结论是否成立。
【解析】
（1）若$y$是$x$的反比例函数，结合反比例函数定义可得：
$\begin{cases}m=-1\\m^2 - m≠0\end{cases}$
将$m=-1$代入系数验证：$(-1)^2 - (-1)=1+1=2≠0$，符合系数不为0的要求，因此$m=-1$。
（2）假设$y$是$x$的正比例函数，结合正比例函数定义可得：
$\begin{cases}m=1\\m^2 - m≠0\end{cases}$
将$m=1$代入系数验证：$1^2 -1=0$，不符合系数不为0的要求，因此假设不成立，$y$不能是$x$的正比例函数。
【答案】
(1) $m=-1$ (2) 不是，理由略
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 正比例函数的概念
3. 函数参数求解
【点评】
本题是函数概念类基础题，解题的核心是准确记忆正反比例函数的定义，尤其要注意两类函数都要求自变量的系数不为0，这是解题时容易忽略的易错点。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需紧扣反比例函数、正比例函数的定义分步求解：
1. 求解第一问时，先回忆反比例函数的核心特征：形如$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），因此需同时满足两个要求：①自变量$x$的指数为$-1$，②$x$的系数不为0，按这两个要求列方程和不等式验证即可得到$m$的值；
2. 求解第二问时，先假设$y$是正比例函数，根据正比例函数的核心特征：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），需满足自变量$x$的指数为1、系数不为0，先按指数要求算出$m$的值，再验证系数是否符合要求，即可判断结论是否成立。
【解析】
（1）若$y$是$x$的反比例函数，结合反比例函数定义可得：
$\begin{cases}m=-1\\m^2 - m≠0\end{cases}$
将$m=-1$代入系数验证：$(-1)^2 - (-1)=1+1=2≠0$，符合系数不为0的要求，因此$m=-1$。
（2）假设$y$是$x$的正比例函数，结合正比例函数定义可得：
$\begin{cases}m=1\\m^2 - m≠0\end{cases}$
将$m=1$代入系数验证：$1^2 -1=0$，不符合系数不为0的要求，因此假设不成立，$y$不能是$x$的正比例函数。
【答案】
(1) $m=-1$ (2) 不是，理由略
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 正比例函数的概念
3. 函数参数求解
【点评】
本题是函数概念类基础题，解题的核心是准确记忆正反比例函数的定义，尤其要注意两类函数都要求自变量的系数不为0，这是解题时容易忽略的易错点。
【难度系数】
0.7
例2 已知$y=y_1-y_2$，$y_1$与$x+3$成正比例，$y_2$与$x^2$成反比例，且当$x=1$时，$y=-2$，当$x=-3$时，$y=2$.写出$y$关于$x$的函数表达式，并求当$x=-2$时，$y$的值.
答案
$y=-5(x+3)+\frac{18}{x^2}$，$-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先根据正比例、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式（注意两个比例系数要区分开，避免混淆），再代入$y=y_1-y_2$得到含待定系数的$y$与$x$的函数关系式；接下来将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入关系式，得到关于待定系数的方程组，解方程组求出两个比例系数，即可确定$y$关于$x$的函数表达式；最后将$x=-2$代入所求的函数表达式，计算即可得到对应的$y$值。
【解析】
解：$\because y_1$与$x+3$成正比例，$\therefore$设$y_1=k_1(x+3)$（$k_1≠0$），
$\because y_2$与$x^2$成反比例，$\therefore$设$y_2=\frac{k_2}{x^2}$（$k_2≠0$），
又$\because y=y_1-y_2$，
$\therefore y = k_1(x+3) - \frac{k_2}{x^2}$。
将$x=1$，$y=-2$；$x=-3$，$y=2$分别代入上式，得方程组：
$\begin{cases}4k_1 - k_2 = -2 \\ -\dfrac{k_2}{9} = 2 \end{cases}$
先解第二个方程：$-\dfrac{k_2}{9}=2$，解得$k_2=-18$，
将$k_2=-18$代入第一个方程：$4k_1 - (-18) = -2$，
即$4k_1 + 18 = -2$，解得$k_1=-5$。
将$k_1=-5$，$k_2=-18$代入$y$的表达式，得：
$y = -5(x+3) - \frac{-18}{x^2} = -5(x+3) + \frac{18}{x^2}$。
当$x=-2$时，代入表达式计算：
$y = -5×(-2+3) + \frac{18}{(-2)^2} = -5×1 + \frac{18}{4} = -5 + \frac{9}{2} = -\frac{1}{2}$。
【答案】
$y=-5(x+3)+\frac{18}{x^2}$，$-\frac{1}{2}$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础题，解题核心是准确把握正、反比例函数的定义形式，合理设置待定系数，代入已知条件求解时注意计算的准确性，后续代入求值时要注意负数的平方运算符号不要出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据正比例、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式（注意两个比例系数要区分开，避免混淆），再代入$y=y_1-y_2$得到含待定系数的$y$与$x$的函数关系式；接下来将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入关系式，得到关于待定系数的方程组，解方程组求出两个比例系数，即可确定$y$关于$x$的函数表达式；最后将$x=-2$代入所求的函数表达式，计算即可得到对应的$y$值。
【解析】
解：$\because y_1$与$x+3$成正比例，$\therefore$设$y_1=k_1(x+3)$（$k_1≠0$），
$\because y_2$与$x^2$成反比例，$\therefore$设$y_2=\frac{k_2}{x^2}$（$k_2≠0$），
又$\because y=y_1-y_2$，
$\therefore y = k_1(x+3) - \frac{k_2}{x^2}$。
将$x=1$，$y=-2$；$x=-3$，$y=2$分别代入上式，得方程组：
$\begin{cases}4k_1 - k_2 = -2 \\ -\dfrac{k_2}{9} = 2 \end{cases}$
先解第二个方程：$-\dfrac{k_2}{9}=2$，解得$k_2=-18$，
将$k_2=-18$代入第一个方程：$4k_1 - (-18) = -2$，
即$4k_1 + 18 = -2$，解得$k_1=-5$。
将$k_1=-5$，$k_2=-18$代入$y$的表达式，得：
$y = -5(x+3) - \frac{-18}{x^2} = -5(x+3) + \frac{18}{x^2}$。
当$x=-2$时，代入表达式计算：
$y = -5×(-2+3) + \frac{18}{(-2)^2} = -5×1 + \frac{18}{4} = -5 + \frac{9}{2} = -\frac{1}{2}$。
【答案】
$y=-5(x+3)+\frac{18}{x^2}$，$-\frac{1}{2}$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础题，解题核心是准确把握正、反比例函数的定义形式，合理设置待定系数，代入已知条件求解时注意计算的准确性，后续代入求值时要注意负数的平方运算符号不要出错。
【难度系数】
0.7
