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14. 某直播平台销售水杯，成本为25元/个.销售大数据分析表明:当每个水杯售价为35元时，平均每月售出800个;若售价每上涨1元，则月销售量减少20个;若售价每下降1元，则月销售量增加200个.
（1）该直播平台决定降价促销，在库存为1 500个水杯的情况下，若预计月获利恰好为9 000元，则每个水杯降价多少元？
（2）在库存为1 000个水杯的情况下，若预计月获利恰好为8 000元，则每个水杯的售价为多少元？
（1）该直播平台决定降价促销，在库存为1 500个水杯的情况下，若预计月获利恰好为9 000元，则每个水杯降价多少元？
（2）在库存为1 000个水杯的情况下，若预计月获利恰好为8 000元，则每个水杯的售价为多少元？
答案
14.（1）设每个水杯降价$x$元，则售价为$(35-x)$元，销量为$(800+200x)$个。根据题意，得$(35-x-25)(800+200x)=9000$。整理，得$x^2-6x+5=0$。解得$x_1=1,x_2=5$。当$x=1$时，销量为$800+200×1=1000＜1500$，可行；当$x=5$时，销量为$800+200×5=1800＞1500$，不可行。因此，每个水杯降价1元 （2）设每个水杯的售价为$m$元。根据题意，得①当$m＜35$时，得$(m-25)[800+200(35-m)]=8000$。整理，得$m^2-64m+1015=0$。解得$m_1=29$，$m_2=35$(不合题意，舍去)。检查销量：当$m=29$时，销量为$800+200×(35-29)=2000＞1000$，超过库存，不可行。② 当$m≥35$时，得$(m-25)[800-20(m-35)]=8000$。整理，得$m^2-100m+2275=0$。解得$m_1=65$，$m_2=35$。检查销量：当$m=65$时，销量为$800-20×(65-35)=200＜1000$，可行。当$m=35$时，销量为$800-20×(35-35)=800＜1000$，可行。答：每个水杯的售价为65或35元
解析
【分析】
（1）第一问为降价促销的利润问题，解题核心依据“总利润=单个商品利润×月销售量”的等量关系：先设降价金额为未知数，分别表示出降价后的单个利润和对应月销售量，再列一元二次方程求解，最后结合库存限制（月销售量不能超过库存量）对求得的解进行取舍即可。
（2）第二问未明确售价涨跌情况，因此需分两种情况讨论：售价低于35元（降价销售）、售价不低于35元（涨价或原价销售），两种情况分别对应不同的销量变化规律，结合总利润为8000元的条件列方程，求解后同样要结合库存1000个的限制检验解是否合理，舍去不符合条件的解。
【解析】
（1）设每个水杯降价$x$元，则此时单个水杯利润为$(35-x-25)$元，月销售量为$(800+200x)$个。
根据总利润为9000元列方程：
$(35-x-25)(800+200x)=9000$
整理得：$x^2-6x+5=0$
解得$x_1=1$，$x_2=5$。
检验库存：当$x=1$时，月销量$=800+200×1=1000$个，$1000＜1500$，符合要求；当$x=5$时，月销量$=800+200×5=1800$个，$1800＞1500$，超过库存，舍去。
（2）设每个水杯的售价为$m$元，分两种情况讨论：
① 当$m＜35$（降价销售）：
单个利润为$(m-25)$元，月销量为$800+200(35-m)$个，列方程：
$(m-25)[800+200(35-m)]=8000$
整理得：$m^2-64m+1015=0$
解得$m_1=29$，$m_2=35$（不符合$m＜35$，舍去。
检验库存：当$m=29$时，月销量$=800+200×(35-29)=2000$个，$2000＞1000$，超过库存，舍去。
② 当$m≥35$（涨价或原价销售）：
单个利润为$(m-25)$元，月销量为$800-20(m-35)$个，列方程：
$(m-25)[800-20(m-35)]=8000$
整理得：$m^2-100m+2275=0$
解得$m_1=65$，$m_2=35$。
检验库存：当$m=65$时，月销量$=800-20×(65-35)=200$个，$200＜1000$，符合要求；当$m=35$时，月销量$=800$个，$800＜1000$，符合要求。
【答案】
（1）每个水杯降价1元；（2）每个水杯的售价为35元或65元
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润问题，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的销售利润类实际应用题，解题关键是找准总利润的等量关系列方程，需特别注意题目隐含的库存限制条件，要对求解结果必须符合实际情况，第二问需要根据售价涨跌的不同规律分类讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
（1）第一问为降价促销的利润问题，解题核心依据“总利润=单个商品利润×月销售量”的等量关系：先设降价金额为未知数，分别表示出降价后的单个利润和对应月销售量，再列一元二次方程求解，最后结合库存限制（月销售量不能超过库存量）对求得的解进行取舍即可。
（2）第二问未明确售价涨跌情况，因此需分两种情况讨论：售价低于35元（降价销售）、售价不低于35元（涨价或原价销售），两种情况分别对应不同的销量变化规律，结合总利润为8000元的条件列方程，求解后同样要结合库存1000个的限制检验解是否合理，舍去不符合条件的解。
【解析】
（1）设每个水杯降价$x$元，则此时单个水杯利润为$(35-x-25)$元，月销售量为$(800+200x)$个。
根据总利润为9000元列方程：
$(35-x-25)(800+200x)=9000$
整理得：$x^2-6x+5=0$
解得$x_1=1$，$x_2=5$。
检验库存：当$x=1$时，月销量$=800+200×1=1000$个，$1000＜1500$，符合要求；当$x=5$时，月销量$=800+200×5=1800$个，$1800＞1500$，超过库存，舍去。
（2）设每个水杯的售价为$m$元，分两种情况讨论：
① 当$m＜35$（降价销售）：
单个利润为$(m-25)$元，月销量为$800+200(35-m)$个，列方程：
$(m-25)[800+200(35-m)]=8000$
整理得：$m^2-64m+1015=0$
解得$m_1=29$，$m_2=35$（不符合$m＜35$，舍去。
检验库存：当$m=29$时，月销量$=800+200×(35-29)=2000$个，$2000＞1000$，超过库存，舍去。
② 当$m≥35$（涨价或原价销售）：
单个利润为$(m-25)$元，月销量为$800-20(m-35)$个，列方程：
$(m-25)[800-20(m-35)]=8000$
整理得：$m^2-100m+2275=0$
解得$m_1=65$，$m_2=35$。
检验库存：当$m=65$时，月销量$=800-20×(65-35)=200$个，$200＜1000$，符合要求；当$m=35$时，月销量$=800$个，$800＜1000$，符合要求。
【答案】
（1）每个水杯降价1元；（2）每个水杯的售价为35元或65元
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润问题，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的销售利润类实际应用题，解题关键是找准总利润的等量关系列方程，需特别注意题目隐含的库存限制条件，要对求解结果必须符合实际情况，第二问需要根据售价涨跌的不同规律分类讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
15. 关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根分别是$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，若$x_1,x_2$为整数，则称$(x_1,x_2)$为“Deep”点。
(1) $x^2+5x+4=0$
(2) 若关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的“Deep”点为$(2,3)$，求$b,c$的值。
(3) 关于$x$的一元二次方程$x^2+2mx+m^2+m=0$是否存在一“Deep”点，且该点在直线$y=-2x+2$上？若存在，求出$m$的值；若不存在，请说明理由。
(1) $x^2+5x+4=0$
是
（填“是”或“否”）存在“Deep”点。(2) 若关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的“Deep”点为$(2,3)$，求$b,c$的值。
(3) 关于$x$的一元二次方程$x^2+2mx+m^2+m=0$是否存在一“Deep”点，且该点在直线$y=-2x+2$上？若存在，求出$m$的值；若不存在，请说明理由。
答案
15.(1) 是 （2）$\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的“Deep”点为$(2,3)$，$\therefore 2+3=-b,2×3=c$。$\therefore b=-5,c=6$ （3）假设关于$x$的一元二次方程$x^2+2mx+m^2+m=0$存在一“Deep”点，且该点在直线$y=-2x+2$上，由$x^2+2mx+m^2+m=0$，得$\Delta=(2m)^2-4×1×(m^2+m)=-4m≥0$。$\therefore m≤0$。由一元二次方程的根与系数的关系，得$x_1+x_2=-2m$，$x_1x_2=m^2+m$。$\therefore x_2=-2m-x_1$。$\because$“Deep”点$(x_1,x_2)$在直线$y=-2x+2$上，$\therefore x_2=-2x_1+2$。$\therefore -2m-x_1=-2x_1+2$。解得$x_1=2+2m$，$x_2=-2-4m$。$\therefore x_1x_2=(2+2m)(-2-4m)=m^2+m$。整理，得$9m^2+13m+4=0$。解得$m=-1$或$m=-\frac{4}{9}$。当$m=-1$时，方程为$x^2-2x=0$，$x_1=0,x_2=2$，“Deep”点坐标为$(0,2)$，符合。当$m=-\frac{4}{9}$时，$x_1=2+2m=\frac{10}{9}$和$x_2=-2-4m=-\frac{2}{9}$不是整数解，舍去。综上所述，关于$x$的一元二次方程$x^2+2mx+m^2+m=0$存在一“Deep”点，且该点在直线$y=-2x+2$上，此时$m=-1$
解析
【分析】
(1) 先求解给定的一元二次方程，判断所得的两个根是否均为整数，若均为整数则存在“Deep”点，反之则不存在；
(2) “Deep”点就是方程的两个整数根，直接利用一元二次方程根与系数的关系，代入两根的数值即可求出b、c的值；
(3) 先假设存在符合条件的“Deep”点，首先通过根的判别式Δ≥0求出m的取值范围，保证方程有两个实数根；再结合“Deep”点在直线上的条件得到两根的数量关系，联立根与系数关系中两根之和的表达式，用m表示出两个根，再代入两根之积的表达式得到关于m的方程，解方程后检验所得m对应的根是否为整数，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2+5x+4=0$，因式分解得$(x+1)(x+4)=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=-1$，两个根均为整数，符合“Deep”点的定义。
(2) $\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的“Deep”点为$(2,3)$，即方程的两个整数根为2和3，根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-b$，两根之积$x_1x_2=c$
$\therefore 2+3=-b$，$2×3=c$
解得$b=-5$，$c=6$。
(3) 假设存在符合条件的“Deep”点：
① 先求根的判别式：$\Delta=(2m)^2-4×1×(m^2+m)=-4m≥0$，解得$m≤0$；
② 由根与系数的关系得：$x_1+x_2=-2m$，$x_1x_2=m^2+m$，因此$x_2=-2m-x_1$；
③ $\because$“Deep”点$(x_1,x_2)$在直线$y=-2x+2$上，$\therefore x_2=-2x_1+2$，联立得：
$-2m-x_1=-2x_1+2$，解得$x_1=2+2m$，$x_2=-2-4m$；
④ 代入两根之积的表达式：$(2+2m)(-2-4m)=m^2+m$，整理得$9m^2+13m+4=0$，解得$m=-1$或$m=-\frac{4}{9}$；
⑤ 检验：当$m=-1$时，方程为$x^2-2x=0$，根为$x_1=0$，$x_2=2$，均为整数，符合要求；当$m=-\frac{4}{9}$时，$x_1=\frac{10}{9}$，$x_2=-\frac{2}{9}$，均不是整数，不符合“Deep”点定义，舍去。
综上，存在符合条件的“Deep”点。
【答案】
(1) 是；(2) $b=-5,c=6$；(3) 存在，$m=-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数关系，一元二次方程根的判别式，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于新定义类综合题，结合了一元二次方程和一次函数的核心知识点，解题的关键是准确理解新定义的内涵，灵活运用根的判别式、根与系数的关系列式求解，要注意对结果进行检验，避免出现不符合定义的错解。
【难度系数】
0.65
(1) 先求解给定的一元二次方程，判断所得的两个根是否均为整数，若均为整数则存在“Deep”点，反之则不存在；
(2) “Deep”点就是方程的两个整数根，直接利用一元二次方程根与系数的关系，代入两根的数值即可求出b、c的值；
(3) 先假设存在符合条件的“Deep”点，首先通过根的判别式Δ≥0求出m的取值范围，保证方程有两个实数根；再结合“Deep”点在直线上的条件得到两根的数量关系，联立根与系数关系中两根之和的表达式，用m表示出两个根，再代入两根之积的表达式得到关于m的方程，解方程后检验所得m对应的根是否为整数，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2+5x+4=0$，因式分解得$(x+1)(x+4)=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=-1$，两个根均为整数，符合“Deep”点的定义。
(2) $\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的“Deep”点为$(2,3)$，即方程的两个整数根为2和3，根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-b$，两根之积$x_1x_2=c$
$\therefore 2+3=-b$，$2×3=c$
解得$b=-5$，$c=6$。
(3) 假设存在符合条件的“Deep”点：
① 先求根的判别式：$\Delta=(2m)^2-4×1×(m^2+m)=-4m≥0$，解得$m≤0$；
② 由根与系数的关系得：$x_1+x_2=-2m$，$x_1x_2=m^2+m$，因此$x_2=-2m-x_1$；
③ $\because$“Deep”点$(x_1,x_2)$在直线$y=-2x+2$上，$\therefore x_2=-2x_1+2$，联立得：
$-2m-x_1=-2x_1+2$，解得$x_1=2+2m$，$x_2=-2-4m$；
④ 代入两根之积的表达式：$(2+2m)(-2-4m)=m^2+m$，整理得$9m^2+13m+4=0$，解得$m=-1$或$m=-\frac{4}{9}$；
⑤ 检验：当$m=-1$时，方程为$x^2-2x=0$，根为$x_1=0$，$x_2=2$，均为整数，符合要求；当$m=-\frac{4}{9}$时，$x_1=\frac{10}{9}$，$x_2=-\frac{2}{9}$，均不是整数，不符合“Deep”点定义，舍去。
综上，存在符合条件的“Deep”点。
【答案】
(1) 是；(2) $b=-5,c=6$；(3) 存在，$m=-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数关系，一元二次方程根的判别式，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于新定义类综合题，结合了一元二次方程和一次函数的核心知识点，解题的关键是准确理解新定义的内涵，灵活运用根的判别式、根与系数的关系列式求解，要注意对结果进行检验，避免出现不符合定义的错解。
【难度系数】
0.65
16. 如图,在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm.点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时,点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止,点P,Q的速度都是1 cm/s.连接AQ,PQ,CP.设点P,Q运动的时间为t s.
(1) 当t=
(2) 是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC?如果存在,请求出t的值;如果不存在,请说明理由.
(3) 在运动过程中,沿着AQ把△ABQ翻折,当t为何值时,翻折后点B的对应点B'恰好落在边PQ上?
(1) 当t=
4
时,四边形ABQP是矩形;当t=3
时,四边形AQCP是菱形.(2) 是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC?如果存在,请求出t的值;如果不存在,请说明理由.
(3) 在运动过程中,沿着AQ把△ABQ翻折,当t为何值时,翻折后点B的对应点B'恰好落在边PQ上?
答案
16.(1) 4,3 （2）不存在某一时刻$t$使得$PQ⊥PC$。理由如下：过$Q$作$QM⊥AD$，交$AD$于$M$，
，则$∠ QMD=∠ QMA=90°$。$\because ∠ QMA=∠ BAM=∠ B=90°$，$\therefore$ 四边形$ABQM$是矩形。$\therefore AM=BQ=t$ cm，$QM=AB=4$ cm。$\therefore MP=|8-2t|$ cm。$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ PQM$中，$PQ^2=PM^2+QM^2=(8-2t)^2+4^2$。在矩形$ABCD$中，$∠ D=90°$，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ PDC$，$PC^2=PD^2+CD^2=t^2+4^2$。$\because PQ⊥PC$，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ PQC$，$PQ^2+PC^2=CQ^2$，即$(8-2t)^2+4^2+t^2+4^2=(8-t)^2$。$\therefore t^2-4t+8=0$。$\because \Delta=b^2-4ac=16-32=-16＜0$，$\therefore$ 此方程无实数根。$\therefore$ 不存在某一时刻$t$使得$PQ⊥PC$ （3）根据折叠可知$∠ AQB=∠ AQB'$，$AB'=AB=4$ cm，$BQ=B'Q=t$ cm，$∠ AB'Q=∠ B=90°$，在矩形$ABCD$中，$AD// BC$，$\therefore ∠ AQB=∠ PAQ$。$\therefore ∠ AQB'=∠ PAQ$。$\therefore PQ=PA=(8-t)$ cm。$\therefore B'P=8-t-t=(8-2t)$ cm。$\because ∠ AB'P=180°-90°=90°$，在$\mathrm{Rt}△ AB'P$中，$AB'^2+B'P^2=PA^2$。$\therefore 4^2+(8-2t)^2=(8-t)^2$，即$3t^2-16t+16=0$。解得$t_1=4$，$t_2=\frac{4}{3}$。答：当$t$等于4或$\frac{4}{3}$时，翻折后点$B$的对应点$B'$恰好在$PQ$边上解析
【分析】
(1) 判定四边形ABQP为矩形：已知矩形ABCD中AD//BC且∠B=90°，只需满足对边AP=BQ即可判定，据此列方程求解；判定四边形AQCP为菱形：首先由AP//CQ且AP=CQ可知该四边形是平行四边形，只需邻边AQ=CQ即可判定为菱形，结合勾股定理列方程求解即可。
(2) 判断是否存在PQ⊥PC：过Q作QM⊥AD构造直角三角形，用含t的代数式分别表示PQ²、PC²、CQ²，若PQ⊥PC则△PQC为直角三角形，满足勾股定理PQ²+PC²=CQ²，列方程后通过判别式判断方程是否有实根即可。
(3) 折叠问题：利用折叠的性质得到对应角、对应边相等，结合AD//BC推导得∠AQB'=∠PAQ，因此PA=PQ，再在Rt△AB'P中用勾股定理列方程求解，注意解要符合运动时间的取值范围。
【解析】
(1) 当四边形ABQP是矩形时，需AP=BQ，AP=8-t，BQ=t，列方程得$8-t=t$，解得$t=4$；
四边形AQCP中，AP//CQ且AP=CQ=8-t，因此是平行四边形，要使其为菱形则AQ=CQ。在Rt△ABQ中，$AQ^2=4^2+t^2$，$CQ=8-t$，列方程得$t^2+16=(8-t)^2$，解得$t=3$。
(2) 不存在某一时刻$t$使得$PQ⊥PC$。理由如下：过$Q$作$QM⊥AD$，交$AD$于$M$，，则$∠ QMD=∠ QMA=90°$。$\because ∠ QMA=∠ BAM=∠ B=90°$，$\therefore$ 四边形$ABQM$是矩形。$\therefore AM=BQ=t$ cm，$QM=AB=4$ cm。$\therefore MP=|8-2t|$ cm。$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ PQM$中，$PQ^2=PM^2+QM^2=(8-2t)^2+4^2$。在矩形$ABCD$中，$∠ D=90°$，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ PDC$，$PC^2=PD^2+CD^2=t^2+4^2$。$\because PQ⊥PC$，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ PQC$，$PQ^2+PC^2=CQ^2$，即$(8-2t)^2+4^2+t^2+4^2=(8-t)^2$。$\therefore t^2-4t+8=0$。$\because \Delta=b^2-4ac=16-32=-16＜0$，$\therefore$ 此方程无实数根。$\therefore$ 不存在某一时刻$t$使得$PQ⊥PC$。
(3) 根据折叠可知$∠ AQB=∠ AQB'$，$AB'=AB=4$ cm，$BQ=B'Q=t$ cm，$∠ AB'Q=∠ B=90°$，在矩形$ABCD$中，$AD// BC$，$\therefore ∠ AQB=∠ PAQ$。$\therefore ∠ AQB'=∠ PAQ$。$\therefore PQ=PA=(8-t)$ cm。$\therefore B'P=8-t-t=(8-2t)$ cm。$\because ∠ AB'P=180°-90°=90°$，在$\mathrm{Rt}△ AB'P$中，$AB'^2+B'P^2=PA^2$。$\therefore 4^2+(8-2t)^2=(8-t)^2$，即$3t^2-16t+16=0$。解得$t_1=4$，$t_2=\frac{4}{3}$，均符合运动时间的取值范围。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{3}$
(2) 不存在某一时刻$t$使得$PQ⊥PC$，理由见解析。
(3) 当$t$等于$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{\dfrac{4}{3}}$时，翻折后点$B$的对应点$B'$恰好在$PQ$边上。
【知识点】
矩形与菱形的判定，勾股定理，折叠的性质
【点评】
本题为四边形动点综合题，将矩形、菱形的判定，勾股定理和折叠性质相结合，需要熟练运用方程思想解决动点问题，考查几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 判定四边形ABQP为矩形：已知矩形ABCD中AD//BC且∠B=90°，只需满足对边AP=BQ即可判定，据此列方程求解；判定四边形AQCP为菱形：首先由AP//CQ且AP=CQ可知该四边形是平行四边形，只需邻边AQ=CQ即可判定为菱形，结合勾股定理列方程求解即可。
(2) 判断是否存在PQ⊥PC：过Q作QM⊥AD构造直角三角形，用含t的代数式分别表示PQ²、PC²、CQ²，若PQ⊥PC则△PQC为直角三角形，满足勾股定理PQ²+PC²=CQ²，列方程后通过判别式判断方程是否有实根即可。
(3) 折叠问题：利用折叠的性质得到对应角、对应边相等，结合AD//BC推导得∠AQB'=∠PAQ，因此PA=PQ，再在Rt△AB'P中用勾股定理列方程求解，注意解要符合运动时间的取值范围。
【解析】
(1) 当四边形ABQP是矩形时，需AP=BQ，AP=8-t，BQ=t，列方程得$8-t=t$，解得$t=4$；
四边形AQCP中，AP//CQ且AP=CQ=8-t，因此是平行四边形，要使其为菱形则AQ=CQ。在Rt△ABQ中，$AQ^2=4^2+t^2$，$CQ=8-t$，列方程得$t^2+16=(8-t)^2$，解得$t=3$。
(2) 不存在某一时刻$t$使得$PQ⊥PC$。理由如下：过$Q$作$QM⊥AD$，交$AD$于$M$，
，则$∠ QMD=∠ QMA=90°$。$\because ∠ QMA=∠ BAM=∠ B=90°$，$\therefore$ 四边形$ABQM$是矩形。$\therefore AM=BQ=t$ cm，$QM=AB=4$ cm。$\therefore MP=|8-2t|$ cm。$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ PQM$中，$PQ^2=PM^2+QM^2=(8-2t)^2+4^2$。在矩形$ABCD$中，$∠ D=90°$，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ PDC$，$PC^2=PD^2+CD^2=t^2+4^2$。$\because PQ⊥PC$，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ PQC$，$PQ^2+PC^2=CQ^2$，即$(8-2t)^2+4^2+t^2+4^2=(8-t)^2$。$\therefore t^2-4t+8=0$。$\because \Delta=b^2-4ac=16-32=-16＜0$，$\therefore$ 此方程无实数根。$\therefore$ 不存在某一时刻$t$使得$PQ⊥PC$。(3) 根据折叠可知$∠ AQB=∠ AQB'$，$AB'=AB=4$ cm，$BQ=B'Q=t$ cm，$∠ AB'Q=∠ B=90°$，在矩形$ABCD$中，$AD// BC$，$\therefore ∠ AQB=∠ PAQ$。$\therefore ∠ AQB'=∠ PAQ$。$\therefore PQ=PA=(8-t)$ cm。$\therefore B'P=8-t-t=(8-2t)$ cm。$\because ∠ AB'P=180°-90°=90°$，在$\mathrm{Rt}△ AB'P$中，$AB'^2+B'P^2=PA^2$。$\therefore 4^2+(8-2t)^2=(8-t)^2$，即$3t^2-16t+16=0$。解得$t_1=4$，$t_2=\frac{4}{3}$，均符合运动时间的取值范围。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{3}$
(2) 不存在某一时刻$t$使得$PQ⊥PC$，理由见解析。
(3) 当$t$等于$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{\dfrac{4}{3}}$时，翻折后点$B$的对应点$B'$恰好在$PQ$边上。
【知识点】
矩形与菱形的判定，勾股定理，折叠的性质
【点评】
本题为四边形动点综合题，将矩形、菱形的判定，勾股定理和折叠性质相结合，需要熟练运用方程思想解决动点问题，考查几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
