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11. 用适当的方法解下列方程：
(1) $(x+2)^2=25$；
(2) $m(m+1)=4(m+1)$；
(3) $x^2 -4x +3=0$；
(4) $(2x+1)(x-3)=-8$。
(1) $(x+2)^2=25$；
(2) $m(m+1)=4(m+1)$；
(3) $x^2 -4x +3=0$；
(4) $(2x+1)(x-3)=-8$。
答案
11.(1) $x_1=3,x_2=-7$ (2) $m_1=4,m_2=-1$ (3) $x_1=1,x_2=3$ (4) 没有实数根
解析
【分析】
解这类一元二次方程时，先观察方程的形式选择最简便的解法：
(1) 方程左边是完全平方、右边是正的常数，优先选直接开平方法，无需展开多项式；
(2) 方程左右两边有相同的公因式，优先选因式分解法，注意不能直接两边除以公因式，否则会丢失根；
(3) 左边的二次三项式可以直接十字相乘分解，选因式分解法计算更快捷；
(4) 先整理成一元二次方程的一般形式，再通过判别式判断根的情况。
【解析】
(1) 对$(x+2)^2=25$直接开平方，得：
$x+2=\pm5$
当$x+2=5$时，$x=3$；当$x+2=-5$时，$x=-7$。
(2) 对$m(m+1)=4(m+1)$移项，得：
$m(m+1)-4(m+1)=0$
提取公因式$(m+1)$，得：
$(m+1)(m-4)=0$
则$m+1=0$或$m-4=0$，解得$m_1=-1$，$m_2=4$。
(3) 对$x^2-4x+3=0$十字相乘法因式分解，得：
$(x-1)(x-3)=0$
则$x-1=0$或$x-3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
(4) 先将$(2x+1)(x-3)=-8$整理为一般形式：
展开左边得$2x^2-5x-3=-8$，移项合并得$2x^2-5x+5=0$
计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，其中$a=2,b=-5,c=5$：
$\Delta=(-5)^2-4×2×5=25-40=-15＜0$
所以该方程没有实数根。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-7$ (2) $m_1=4,m_2=-1$ (3) $x_1=1,x_2=3$ (4) 没有实数根
【知识点】
一元二次方程的解法；因式分解法；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时需根据方程特征选最优解法，同时要注意避免随意除以含未知数的公因式导致漏根，计算判别式时要注意系数符号的准确性。
【难度系数】
0.8
解这类一元二次方程时，先观察方程的形式选择最简便的解法：
(1) 方程左边是完全平方、右边是正的常数，优先选直接开平方法，无需展开多项式；
(2) 方程左右两边有相同的公因式，优先选因式分解法，注意不能直接两边除以公因式，否则会丢失根；
(3) 左边的二次三项式可以直接十字相乘分解，选因式分解法计算更快捷；
(4) 先整理成一元二次方程的一般形式，再通过判别式判断根的情况。
【解析】
(1) 对$(x+2)^2=25$直接开平方，得：
$x+2=\pm5$
当$x+2=5$时，$x=3$；当$x+2=-5$时，$x=-7$。
(2) 对$m(m+1)=4(m+1)$移项，得：
$m(m+1)-4(m+1)=0$
提取公因式$(m+1)$，得：
$(m+1)(m-4)=0$
则$m+1=0$或$m-4=0$，解得$m_1=-1$，$m_2=4$。
(3) 对$x^2-4x+3=0$十字相乘法因式分解，得：
$(x-1)(x-3)=0$
则$x-1=0$或$x-3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
(4) 先将$(2x+1)(x-3)=-8$整理为一般形式：
展开左边得$2x^2-5x-3=-8$，移项合并得$2x^2-5x+5=0$
计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，其中$a=2,b=-5,c=5$：
$\Delta=(-5)^2-4×2×5=25-40=-15＜0$
所以该方程没有实数根。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-7$ (2) $m_1=4,m_2=-1$ (3) $x_1=1,x_2=3$ (4) 没有实数根
【知识点】
一元二次方程的解法；因式分解法；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时需根据方程特征选最优解法，同时要注意避免随意除以含未知数的公因式导致漏根，计算判别式时要注意系数符号的准确性。
【难度系数】
0.8
12. 某服装大卖场以每件50元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量$m$件与每件的销售价$x$元之间的函数关系为$m=220-2x$.
（1）当每天的销售量为30件时，求销售这种服装的毛利润；
（2）如果商场想销售这种服装每天获得1600元的毛利润，同时又考虑薄利多销，那么每件服装的销售价应定为多少元？
（1）当每天的销售量为30件时，求销售这种服装的毛利润；
（2）如果商场想销售这种服装每天获得1600元的毛利润，同时又考虑薄利多销，那么每件服装的销售价应定为多少元？
答案
12.（1）当$m=30$时，$30=220-2x$，解得$x=95$。$\therefore 30×(95-50)=1350$(元)。答：当每天的销售量为30件时，销售这种服装的毛利润为1350元 （2）由题意，得$(x-50)(220-2x)=900$。整理，得$x^2-160x+6300=0$。解得$x_1=70,x_2=90$。$\because$ 考虑薄利多销，$\therefore x=70$。答：每件服装的销售价应定为70元
解析
【分析】
（1）问解题思路：已知销售量m=30，先将m代入销量与售价的一次函数关系式$m=220-2x$，求出对应销售单价x；再根据“毛利润=单件利润×销售量”，单件利润为售价减进价50元，代入数值计算即可得到毛利润。
（2）问解题思路：根据毛利润的等量关系“（售价-进价）×销售量=总毛利润”列一元二次方程，解方程得到两个售价解；结合“薄利多销”的要求（售价越低，销量越高），选取售价更低的解即为最终结果。
【解析】
（1）当每天销售量$m=30$时，将$m=30$代入$m=220-2x$，得：
$30=220-2x$
解得：$x=95$
单件服装利润为：$95-50=45$（元）
总毛利润为：$30×45=1350$（元）
（2）设每天获得1600元毛利润，根据题意列方程：
$(x-50)(220-2x)=1600$
整理方程：
$220x-2x^2-11000+100x=1600$
$x^2-160x+6300=0$
解得：$x_1=70$，$x_2=90$
$\because$ 要满足薄利多销的要求，售价越低销量越高，
$\therefore$ 取$x=70$。
【答案】
（1）销售这种服装的毛利润为1350元；
（2）每件服装的销售价应定为70元。
【知识点】
一次函数的应用；一元二次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数与方程的应用，解题核心是找准销售利润的等量关系，同时要注意结合实际要求对方程的解进行合理取舍，避免出现多解漏选的错误。
【难度系数】
0.7
（1）问解题思路：已知销售量m=30，先将m代入销量与售价的一次函数关系式$m=220-2x$，求出对应销售单价x；再根据“毛利润=单件利润×销售量”，单件利润为售价减进价50元，代入数值计算即可得到毛利润。
（2）问解题思路：根据毛利润的等量关系“（售价-进价）×销售量=总毛利润”列一元二次方程，解方程得到两个售价解；结合“薄利多销”的要求（售价越低，销量越高），选取售价更低的解即为最终结果。
【解析】
（1）当每天销售量$m=30$时，将$m=30$代入$m=220-2x$，得：
$30=220-2x$
解得：$x=95$
单件服装利润为：$95-50=45$（元）
总毛利润为：$30×45=1350$（元）
（2）设每天获得1600元毛利润，根据题意列方程：
$(x-50)(220-2x)=1600$
整理方程：
$220x-2x^2-11000+100x=1600$
$x^2-160x+6300=0$
解得：$x_1=70$，$x_2=90$
$\because$ 要满足薄利多销的要求，售价越低销量越高，
$\therefore$ 取$x=70$。
【答案】
（1）销售这种服装的毛利润为1350元；
（2）每件服装的销售价应定为70元。
【知识点】
一次函数的应用；一元二次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数与方程的应用，解题核心是找准销售利润的等量关系，同时要注意结合实际要求对方程的解进行合理取舍，避免出现多解漏选的错误。
【难度系数】
0.7
13. 在解一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠b,abc≠0)$时，小马粗心地将二次项系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程。他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一根等于原方程的一个根。
（1）求这两个方程相同的根；
（2）求原方程的两根之和。
（1）求这两个方程相同的根；
（2）求原方程的两根之和。
答案
13.（1）原方程为$ax^2+bx+c=0$，小马解的方程为$bx^2+ax+c=0$，令$ax^2+bx+c=bx^2+ax+c$，化简，得$(a-b)x^2=(a-b)x$。$\because a≠b,abc≠0$，$\therefore a-b≠0,x≠0$。$\therefore x=1$，即这两个方程相同的根是1 （2）由(1)可知新方程$bx^2+ax+c=0$的两个根为3,1，$\therefore -\frac{a}{b}=3+1=4$。$\therefore -\frac{b}{a}=\frac{1}{4}$。$\therefore$ 原方程为$ax^2+bx+c=0$两根之和为$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
（1）首先根据题意写出原方程和小马抄错系数后的新方程，两个方程的公共根同时满足两个方程，因此可将两个方程联立，消去常数项后结合$a≠b$、$abc≠0$的条件化简，即可求出公共根；
（2）已知新方程的两个根为3和（1）中求出的公共根，根据一元二次方程根与系数的关系先求出新方程一次项与二次项系数的比值，再转换得到原方程对应系数的比值，代入原方程的韦达公式即可求出两根之和。
【解析】
（1）原一元二次方程为$ax^2+bx+c=0$，小马对换二次项和一次项系数后得到的新方程为$bx^2+ax+c=0$。
设两个方程相同的根为$x$，则该根同时满足两个方程，联立得：
$ax^2+bx+c=bx^2+ax+c$
移项化简得：$(a-b)x^2=(a-b)x$
$\because a≠b$，$\therefore a-b≠0$，等式两边同时除以$(a-b)$得$x^2=x$，解得$x=0$或$x=1$。
又$\because abc≠0$，若$x=0$代入方程可得$c=0$，与条件矛盾，故舍去$x=0$。
因此两个方程相同的根为$1$。
（2）由题意可知新方程$bx^2+ax+c=0$的两个根为3和1，根据根与系数的关系，新方程两根之和为：
$3+1=-\frac{a}{b}=4$
可得$\frac{a}{b}=-4$，即$\frac{b}{a}=-\frac{1}{4}$。
对于原方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，代入得：
$-\frac{b}{a}=-(-\frac{1}{4})=\frac{1}{4}$
【答案】
（1）$\boxed{1}$；（2）$\boxed{\dfrac{1}{4}}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 等式的性质
【点评】
本题综合考查一元二次方程相关知识，解题关键是利用公共根的特性联立两个方程，再结合韦达定理推导系数关系，解题时要注意题干的限制条件，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据题意写出原方程和小马抄错系数后的新方程，两个方程的公共根同时满足两个方程，因此可将两个方程联立，消去常数项后结合$a≠b$、$abc≠0$的条件化简，即可求出公共根；
（2）已知新方程的两个根为3和（1）中求出的公共根，根据一元二次方程根与系数的关系先求出新方程一次项与二次项系数的比值，再转换得到原方程对应系数的比值，代入原方程的韦达公式即可求出两根之和。
【解析】
（1）原一元二次方程为$ax^2+bx+c=0$，小马对换二次项和一次项系数后得到的新方程为$bx^2+ax+c=0$。
设两个方程相同的根为$x$，则该根同时满足两个方程，联立得：
$ax^2+bx+c=bx^2+ax+c$
移项化简得：$(a-b)x^2=(a-b)x$
$\because a≠b$，$\therefore a-b≠0$，等式两边同时除以$(a-b)$得$x^2=x$，解得$x=0$或$x=1$。
又$\because abc≠0$，若$x=0$代入方程可得$c=0$，与条件矛盾，故舍去$x=0$。
因此两个方程相同的根为$1$。
（2）由题意可知新方程$bx^2+ax+c=0$的两个根为3和1，根据根与系数的关系，新方程两根之和为：
$3+1=-\frac{a}{b}=4$
可得$\frac{a}{b}=-4$，即$\frac{b}{a}=-\frac{1}{4}$。
对于原方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，代入得：
$-\frac{b}{a}=-(-\frac{1}{4})=\frac{1}{4}$
【答案】
（1）$\boxed{1}$；（2）$\boxed{\dfrac{1}{4}}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 等式的性质
【点评】
本题综合考查一元二次方程相关知识，解题关键是利用公共根的特性联立两个方程，再结合韦达定理推导系数关系，解题时要注意题干的限制条件，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
