登录
6. 已知$y$是$x$的反比例函数，且当$x=2$时，$y=6$.求：
(1) $y$关于$x$的函数关系式；
(2) 当$x=1\frac{2}{3}$时，$y$的值；
(3) 当$y=\frac{3}{2}$时，$x$的值.
(1) $y$关于$x$的函数关系式；
(2) 当$x=1\frac{2}{3}$时，$y$的值；
(3) 当$y=\frac{3}{2}$时，$x$的值.
答案
(1) $y=\frac{12}{x}$ (2) $\frac{36}{5}$ (3) 8
解析
【分析】
解决本题首先要明确反比例函数的基本形式：反比例函数的标准表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）。(1) 我们可以先设出反比例函数的一般形式，将已知的$x=2$、$y=6$代入表达式，求出未知系数$k$，即可得到完整的函数关系式；(2) 把给定的$x$值代入已求出的函数解析式，直接计算就能得到对应的$y$值；(3) 把给定的$y$值代入函数解析式，解关于$x$的方程即可得到对应的$x$值。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的反比例函数关系式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），
将$x=2$，$y=6$代入解析式得：$6=\frac{k}{2}$，
解得$k=2×6=12$，
因此$y$关于$x$的函数关系式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 先将带分数转化为假分数：$x=1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$，
将$x=\frac{5}{3}$代入$y=\frac{12}{x}$得：
$y=\frac{12}{\frac{5}{3}}=12×\frac{3}{5}=\frac{36}{5}$。
(3) 将$y=\frac{3}{2}$代入$y=\frac{12}{x}$得：
$\frac{3}{2}=\frac{12}{x}$，
交叉相乘得：$3x=24$，
解得$x=8$。
【答案】
(1) $y=\frac{12}{x}$ (2) $\frac{36}{5}$ (3) $8$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查待定系数法求函数解析式以及代入求值的能力，计算时注意带分数要先转化为假分数，可有效减少计算错误。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要明确反比例函数的基本形式：反比例函数的标准表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）。(1) 我们可以先设出反比例函数的一般形式，将已知的$x=2$、$y=6$代入表达式，求出未知系数$k$，即可得到完整的函数关系式；(2) 把给定的$x$值代入已求出的函数解析式，直接计算就能得到对应的$y$值；(3) 把给定的$y$值代入函数解析式，解关于$x$的方程即可得到对应的$x$值。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的反比例函数关系式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），
将$x=2$，$y=6$代入解析式得：$6=\frac{k}{2}$，
解得$k=2×6=12$，
因此$y$关于$x$的函数关系式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 先将带分数转化为假分数：$x=1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$，
将$x=\frac{5}{3}$代入$y=\frac{12}{x}$得：
$y=\frac{12}{\frac{5}{3}}=12×\frac{3}{5}=\frac{36}{5}$。
(3) 将$y=\frac{3}{2}$代入$y=\frac{12}{x}$得：
$\frac{3}{2}=\frac{12}{x}$，
交叉相乘得：$3x=24$，
解得$x=8$。
【答案】
(1) $y=\frac{12}{x}$ (2) $\frac{36}{5}$ (3) $8$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查待定系数法求函数解析式以及代入求值的能力，计算时注意带分数要先转化为假分数，可有效减少计算错误。
【难度系数】
0.85
7. 若 y 与 x 成反比例，x 与 z 成反比例，则 y 是 z 的正比例函数还是反比例函数？说明理由。
答案
$y$是$z$的正比例函数，理由略
解析
【分析】
解题时首先要根据反比例函数的定义，将题目中“成反比例”的关系转化为对应的函数表达式，引入不为0的比例系数；再通过代入消元的方法消去中间变量x，得到y与z的函数关系式，最后对照正比例、反比例函数的定义判断函数类型即可。
【解析】
解：
∵ y与x成反比例
∴ 设$ y = \frac{k_1}{x} $（$ k_1 $为常数，且$ k_1 ≠ 0 $） ①
又
∵ x与z成反比例
∴ 设$ x = \frac{k_2}{z} $（$ k_2 $为常数，且$ k_2 ≠ 0 $） ②
将②代入①得：
$ y = \frac{k_1}{\frac{k_2}{z}} = \frac{k_1}{k_2} · z $
∵ $ k_1 ≠ 0 $，$ k_2 ≠ 0 $，
∴ $ \frac{k_1}{k_2} $是不为0的常数，符合正比例函数$ y=kx $（$ k ≠ 0 $）的形式
∴ y是z的正比例函数
【答案】
y是z的正比例函数
【知识点】
反比例函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题是函数概念的基础应用题，解题关键是熟练掌握正、反比例函数的定义，会根据变量间的比例关系设出表达式，通过消去中间变量判断最终两个变量的函数关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先要根据反比例函数的定义，将题目中“成反比例”的关系转化为对应的函数表达式，引入不为0的比例系数；再通过代入消元的方法消去中间变量x，得到y与z的函数关系式，最后对照正比例、反比例函数的定义判断函数类型即可。
【解析】
解：
∵ y与x成反比例
∴ 设$ y = \frac{k_1}{x} $（$ k_1 $为常数，且$ k_1 ≠ 0 $） ①
又
∵ x与z成反比例
∴ 设$ x = \frac{k_2}{z} $（$ k_2 $为常数，且$ k_2 ≠ 0 $） ②
将②代入①得：
$ y = \frac{k_1}{\frac{k_2}{z}} = \frac{k_1}{k_2} · z $
∵ $ k_1 ≠ 0 $，$ k_2 ≠ 0 $，
∴ $ \frac{k_1}{k_2} $是不为0的常数，符合正比例函数$ y=kx $（$ k ≠ 0 $）的形式
∴ y是z的正比例函数
【答案】
y是z的正比例函数
【知识点】
反比例函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题是函数概念的基础应用题，解题关键是熟练掌握正、反比例函数的定义，会根据变量间的比例关系设出表达式，通过消去中间变量判断最终两个变量的函数关系。
【难度系数】
0.8
8. 已知$y=y_1+y_2$，$y_1$与$\sqrt{x}$成正比例，$y_2$与$x-2$成反比例，当$x=4$和$x=1$时，$y$都等于3.求$x=9$时$y$的值.
答案
$\frac{183}{35}$
解析
【分析】
本题是正比例函数与反比例函数的综合应用问题，解题思路如下：首先根据正比例、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的解析式，进而得到$y$关于$x$的含参解析式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入解析式，得到关于参数的二元一次方程组；解方程组求出参数的值，确定$y$的完整解析式；最后将$x=9$代入解析式计算即可得到$y$的值。
【解析】
解：
∵$y_1$与$\sqrt{x}$成正比例，
∴设$y_1=k_1\sqrt{x}$（$k_1≠0$）
∵$y_2$与$x-2$成反比例，
∴设$y_2=\frac{k_2}{x-2}$（$k_2≠0$）
则$y=y_1+y_2=k_1\sqrt{x}+\frac{k_2}{x-2}$
将$x=4,y=3$和$x=1,y=3$分别代入上式，得：
$\begin{cases}2k_1+\frac{k_2}{2}=3 \\ k_1 - k_2=3 \end{cases}$
由第二个方程得$k_1=k_2+3$，代入第一个方程：
$2(k_2+3)+\frac{k_2}{2}=3$
解得$k_2=-\frac{6}{5}$，代入$k_1=k_2+3$得$k_1=\frac{9}{5}$
∴$y$的解析式为$y=\frac{9\sqrt{x}}{5}-\frac{6}{5(x-2)}$
当$x=9$时：
$y=\frac{9×\sqrt{9}}{5}-\frac{6}{5×(9-2)}=\frac{27}{5}-\frac{6}{35}=\frac{189}{35}-\frac{6}{35}=\frac{183}{35}$
【答案】
$\frac{183}{35}$
【知识点】
正比例函数的概念；反比例函数的概念；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础综合题，核心是正确理解正比例、反比例的定义，准确设出函数表达式，再利用待定系数法求解参数，计算时注意通分规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
本题是正比例函数与反比例函数的综合应用问题，解题思路如下：首先根据正比例、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的解析式，进而得到$y$关于$x$的含参解析式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入解析式，得到关于参数的二元一次方程组；解方程组求出参数的值，确定$y$的完整解析式；最后将$x=9$代入解析式计算即可得到$y$的值。
【解析】
解：
∵$y_1$与$\sqrt{x}$成正比例，
∴设$y_1=k_1\sqrt{x}$（$k_1≠0$）
∵$y_2$与$x-2$成反比例，
∴设$y_2=\frac{k_2}{x-2}$（$k_2≠0$）
则$y=y_1+y_2=k_1\sqrt{x}+\frac{k_2}{x-2}$
将$x=4,y=3$和$x=1,y=3$分别代入上式，得：
$\begin{cases}2k_1+\frac{k_2}{2}=3 \\ k_1 - k_2=3 \end{cases}$
由第二个方程得$k_1=k_2+3$，代入第一个方程：
$2(k_2+3)+\frac{k_2}{2}=3$
解得$k_2=-\frac{6}{5}$，代入$k_1=k_2+3$得$k_1=\frac{9}{5}$
∴$y$的解析式为$y=\frac{9\sqrt{x}}{5}-\frac{6}{5(x-2)}$
当$x=9$时：
$y=\frac{9×\sqrt{9}}{5}-\frac{6}{5×(9-2)}=\frac{27}{5}-\frac{6}{35}=\frac{189}{35}-\frac{6}{35}=\frac{183}{35}$
【答案】
$\frac{183}{35}$
【知识点】
正比例函数的概念；反比例函数的概念；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础综合题，核心是正确理解正比例、反比例的定义，准确设出函数表达式，再利用待定系数法求解参数，计算时注意通分规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
