例1 画反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象.
（1）列表:选取自变量x的若干个值,计算对应的函数值y.

（2）描点:以自变量x的值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出对应的点.
（3）连线:如图2.2.1用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数的图象.

图2.2.1

解：
（1）将表格中对应的x值代入$y=\frac{3}{x}$计算，得y行从左到右依次为：$-\frac{3}{4}$，$-1$，$-\frac{3}{2}$，$-3$，$3$，$\frac{3}{2}$，$1$，$\frac{3}{4}$。
（2）在给定的平面直角坐标系中，依次描出点$(-4,-\frac{3}{4})$、$(-3,-1)$、$(-2,-\frac{3}{2})$、$(-1,-3)$、$(1,3)$、$(2,\frac{3}{2})$、$(3,1)$、$(4,\frac{3}{4})$。
（3）分别在第一象限、第三象限内，用平滑的曲线顺次连接对应象限内的点，使曲线向两方无限延伸且不与坐标轴相交，最终得到位于第一、三象限的双曲线，即为反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象。

【分析】
要画反比例函数的图象，我们按照描点法作图的三步来思考：第一步列表，因为反比例函数的分母不能为0，所以x不能取0，同时反比例函数图象关于原点对称，所以取正负对称的x值，代入$y=\frac{3}{x}$就能算出对应的y值；第二步描点，把每一组x、y的值作为点的横、纵坐标，在坐标系里找到对应的位置标记出来；第三步连线，要注意反比例函数的图象是分开在两个象限的双曲线，所以同一象限的点用平滑的曲线顺次连接，两个象限的点不能连在一起，而且曲线要无限往两端延伸，不能和x轴、y轴相交，因为x和y都不可能等于0，只能无限接近坐标轴。
【解析】
（1）将表格中对应的x值代入$y=\frac{3}{x}$计算，得y行从左到右依次为：$-\frac{3}{4}$，$-1$，$-\frac{3}{2}$，$-3$，$3$，$\frac{3}{2}$，$1$，$\frac{3}{4}$。
（2）在给定的平面直角坐标系中，依次描出点$(-4,-\frac{3}{4})$、$(-3,-1)$、$(-2,-\frac{3}{2})$、$(-1,-3)$、$(1,3)$、$(2,\frac{3}{2})$、$(3,1)$、$(4,\frac{3}{4})$。
（3）分别在第一象限、第三象限内，用平滑的曲线顺次连接对应象限内的点，使曲线向两方无限延伸且不与坐标轴相交，最终得到位于第一、三象限的双曲线，即为反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象。
【答案】
（1）y值从左到右依次为$-\frac{3}{4}$，$-1$，$-\frac{3}{2}$，$-3$，$3$，$\frac{3}{2}$，$1$，$\frac{3}{4}$；
（2）依次描出点$(-4,-\frac{3}{4})$、$(-3,-1)$、$(-2,-\frac{3}{2})$、$(-1,-3)$、$(1,3)$、$(2,\frac{3}{2})$、$(3,1)$、$(4,\frac{3}{4})$；
（3）在第一、三象限分别用平滑曲线顺次连接对应点，曲线无限延伸且不与坐标轴相交，得到的双曲线即为$y=\frac{3}{x}$的图象。
【知识点】
描点法作图，反比例函数图象特征，自变量取值范围
【点评】
本题是反比例函数的基础作图题，重点考查描点法绘制函数图象的规范，需要注意自变量不能取0、连线需平滑且分象限、图象不与坐标轴相交等易错点，熟练掌握作图方法是后续学习反比例函数性质的重要基础。
【难度系数】
0.8

例2 画反比例函数 $y=-\dfrac{8}{x}$ 的图象.

解：
画反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象按以下步骤进行：
1. 列表：
自变量$x$取不为0的实数，选取若干个$x$的值，计算对应的$y$值：
| $x$ | $\dots$ | $-8$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\dfrac{8}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | $-8$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $\dots$ |
2. 描点：在平面直角坐标系内，以表中每组$(x,y)$为坐标，描出对应的点。
3. 连线：分别在第二象限和第四象限内，按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接各点，得到两支都无限接近坐标轴、但永远不与坐标轴相交的双曲线，该曲线即为反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象。

【分析】
画反比例函数图象采用描点法，遵循列表、描点、连线三步解题即可：首先列表时要注意反比例函数自变量x不能为0，可选取正负对称的非零x值，方便计算也便于后续图象绘制；其次描点时要准确对应每组x、y的坐标；最后连线时，因该函数k=-8＜0，图象分布在第二、四象限，需分两个象限用平滑曲线连接各点，且图象无限接近但不与坐标轴相交，不可跨象限连接两个分支的点。
【解析】
画反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象按以下步骤进行：
1. 列表：
自变量$x$取不为0的实数，选取若干个$x$的值，计算对应的$y$值：
| $x$ | $\dots$ | $-8$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\dfrac{8}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | $-8$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $\dots$ |
2. 描点：在平面直角坐标系内，以表中每组$(x,y)$为坐标，描出对应的点。
3. 连线：分别在第二象限和第四象限内，按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接各点，得到两支都无限接近坐标轴、但永远不与坐标轴相交的双曲线，该曲线即为反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象。
【答案】
解：画反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象按以下步骤进行：
1. 列表：
自变量$x$取不为0的实数，选取若干个$x$的值，计算对应的$y$值：
| $x$ | $\dots$ | $-8$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\dfrac{8}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | $-8$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $\dots$ |
2. 描点：在平面直角坐标系内，以表中每组$(x,y)$为坐标，描出对应的点。
3. 连线：分别在第二象限和第四象限内，按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接各点，得到两支都无限接近坐标轴、但永远不与坐标轴相交的双曲线，该曲线即为反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象。
【知识点】
描点法作图，反比例函数图象，自变量取值范围
【点评】
本题是函数图象绘制的基础题，核心考查描点法的操作步骤和反比例函数的图象特点，作图时需注意取值对称、分象限连线、不与坐标轴相交等易错点，掌握该方法可完成所有反比例函数的图象绘制。
【难度系数】
0.8

1. 下列图象中，属于反比例函数的图象的是（）

1.C

【分析】
解题时先回忆各类基本函数的图像特征：反比例函数的图像是双曲线，共两支，分布在两个不同象限。先排除图像不是双曲线的选项，再确认剩余选项是否符合反比例函数图像特点即可得到答案。
【解析】
反比例函数的表达式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $，它的图像是双曲线，分为两个分支，分别位于两个象限。
对各选项逐一分析：
选项A：图像是过原点的直线，是正比例函数的图像，不符合反比例函数图像特征；
选项B：图像是与x轴、y轴都相交的直线，是一次函数的图像，不符合反比例函数图像特征；
选项C：图像是分布在第二、四象限的两支双曲线，符合反比例函数的图像特征；
选项D：图像是开口向上的抛物线，是二次函数的图像，不符合反比例函数图像特征。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象，函数图象识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分不同类型函数的图像形态，熟练掌握各类基本函数的图像特点即可快速解题。
【难度系数】
0.9