2. 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(-3,8)$，下列各点中不在$y=\frac{k}{x}$图象上的是（）

A.$(4,6)$
B.$(3,-8)$
C.$(4,-6)$
D.$(-4,6)$

2.A

【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）图象上任意一点的横、纵坐标的乘积恒等于$k$，即$xy=k$。解题思路分为两步：第一步利用已知经过的点求出$k$的值；第二步分别计算每个选项中点的横纵坐标的乘积，和$k$值对比，乘积不等于$k$的点就不在函数图象上。
【解析】
将点$(-3,8)$代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，可得：
$k=xy=(-3)×8=-24$
即该反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积均为$-24$，分别计算各选项的横纵坐标乘积：
A选项：$4×6=24≠-24$，该点不在函数图象上；
B选项：$3×(-8)=-24$，该点在函数图象上；
C选项：$4×(-6)=-24$，该点在函数图象上；
D选项：$(-4)×6=-24$，该点在函数图象上。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心是掌握反比例函数中$xy=k$的恒等关系，无需画图即可快速判断点是否在函数图象上，解题时注意计算符号即可。
【难度系数】
0.8

3. 已知正比例函数 $ y = k_1x (k_1 ≠ 0) $ 与反比例函数 $ y = \frac{k_2}{x} (k_2 ≠ 0) $ 的图象有一个交点的坐标为(-2,-3)，则另一个交点的坐标为 ()

A.(-2,3)
B.(2,3)
C.(2,-3)
D.(3,2)

3.B

【分析】
解题可从两个方向入手：①利用函数图象的对称性：正比例函数图象是过原点的直线，反比例函数图象的两个分支关于原点中心对称，因此两个函数的交点必然关于原点对称，已知一个交点坐标，直接求其关于原点对称的点即可得到另一个交点；②也可以先将已知交点代入两个函数解析式，求出$k_1$、$k_2$的值，再联立两个函数解析式，解方程组得到另一个交点坐标，两种方法都符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一（对称性法）：
∵ 正比例函数$y=k_1x$的图象关于原点中心对称，反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象也关于原点中心对称，
∴ 两个函数图象的交点也关于原点中心对称。
已知一个交点坐标为$(-2,-3)$，关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均变为原数的相反数，因此另一个交点坐标为$(2,3)$。
方法二（解析式法）：
将交点$(-2,-3)$分别代入两个函数解析式：
代入$y=k_1x$得：$-3=-2k_1$，解得$k_1=\frac{3}{2}$，
∴ 正比例函数解析式为$y=\frac{3}{2}x$；
代入$y=\frac{k_2}{x}$得：$-3=\frac{k_2}{-2}$，解得$k_2=6$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=\frac{3}{2}x\\y=\frac{6}{x}\end{cases}$，消去y得：$\frac{3}{2}x=\frac{6}{x}$，
两边同乘$2x$（$x≠0$）得$3x^2=12$，解得$x=\pm2$，
当$x=2$时，$y=\frac{3}{2}×2=3$，因此另一个交点坐标为$(2,3)$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质；反比例函数的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与正比例函数交点的基础题，利用图象的中心对称性可以快速得到答案，比联立解方程更简便，平时学习中要注意记忆函数图象的对称性特征，提升解题效率。
【难度系数】
0.8

4. 若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(-2,4)$，则k的值为。

4.-8

【分析】
要解决这个问题，首先明确核心规律：若一个点在某函数的图象上，则该点的横、纵坐标一定满足该函数的解析式。因此我们只需要将已知点的坐标代入反比例函数的表达式，建立关于k的一元一次方程，求解方程就能得到k的值。
【解析】
∵ 点$(-2,4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴ 将$x=-2$，$y=4$代入$y=\frac{k}{x}$，可得：
$\displaystyle 4=\frac{k}{-2}$
等式两边同时乘$-2$，解得：$k=4×(-2)=-8$
【答案】
-8
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考察函数图象与解析式的对应关系，只要掌握“点在函数图象上则点坐标满足函数解析式”这一基本规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.9

5. 如图，直线$l$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$A$，$C$两点，将直线$l$绕点$O$按顺时针方向旋转$α$（$0°＜α≤45°$），与该反比例函数的图象交于$B$，$D$两点，则四边形$ABCD$的形状一定是。

5.平行四边形

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点，因此过原点的直线与反比例函数图象的两个交点一定关于原点对称。由此可得四边形ABCD的两条对角线的交点为原点，且对角线互相平分，再结合平行四边形的判定定理即可得出结论。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象是中心对称图形，对称中心为坐标原点$O$，
∴过原点的直线与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，
即点$A$与点$C$关于原点对称，点$B$与点$D$关于原点对称，
∴$OA=OC$，$OB=OD$，
∴四边形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$互相平分，
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】
平行四边形
【知识点】
反比例函数的性质，中心对称的性质，平行四边形的判定
【点评】
本题依托反比例函数图象考查图形判定，解题的核心是熟练掌握反比例函数的中心对称性，结合平行四边形的判定定理即可快速解题，是对基础性质应用的考查。
【难度系数】
0.7

6. 画反比例函数 $y=-\dfrac{5}{x}$ 的图象.

解：
用描点法画反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象，步骤如下：
1. 列表
取自变量$x$的若干非零值，计算对应的函数值$y$：
| $x$ | $\dots$ | $-5$ | $-1$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $1$ | $5$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\dfrac{5}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $5$ | $10$ | $-10$ | $-5$ | $-1$ | $\dots$ |
2. 描点
在平面直角坐标系中，以上表中各组$(x,y)$为坐标，描出对应的所有点。
3. 连线
用平滑的曲线分别顺次连接所有横坐标为负数的点、所有横坐标为正数的点，得到两支不相交、无限接近坐标轴但不与坐标轴相交的曲线，即为反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象。
该图象的两个分支分别位于第二、第四象限。

【分析】
画函数图象的通用方法为描点法，分为列表、描点、连线三个步骤。首先反比例函数的自变量取值范围是$x≠0$，因此列表时需选取不为0的$x$值，且尽量对称选取正负数值，既方便计算函数值，也便于后续画图；描点时要根据列表得到的坐标，在平面直角坐标系中准确标记对应点；由于反比例函数图象是互不相交的两支，连线时需分别连接横坐标为负的点和横坐标为正的点，用平滑曲线连接，且注意曲线无限接近坐标轴但不与坐标轴相交，因为$x$不能为0，代入函数可得$y$也不可能为0。
【解析】
用描点法画反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象，步骤如下：
1. 列表
取自变量$x$的若干非零值，计算对应的函数值$y$：
| $x$ | $\dots$ | $-5$ | $-1$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $1$ | $5$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\dfrac{5}{x}$ | $\dots$ | $1$ | $5$ | $10$ | $-10$ | $-5$ | $-1$ | $\dots$ |
2. 描点
在平面直角坐标系中，以上表中各组$(x,y)$为坐标，描出对应的所有点。
3. 连线
用平滑的曲线分别顺次连接所有横坐标为负数的点、所有横坐标为正数的点，得到两支不相交、无限接近坐标轴但不与坐标轴相交的曲线，即为反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象。
该图象的两个分支分别位于第二、第四象限。
【答案】
按上述步骤作出的两支分别位于第二、第四象限，不相交、无限接近坐标轴但不与坐标轴相交的双曲线即为$y=-\dfrac{5}{x}$的图象。
【知识点】
描点法作图；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数图象绘制的基础题型，重点考查描点法作图的规范步骤以及反比例函数的图象特点，作图时需注意$x$不能取0，正负分支分开用平滑曲线连接，掌握本题方法是学习反比例函数相关性质的重要基础。
【难度系数】
0.8

7. 已知一个矩形的面积为$24\ \mathrm{cm}^2$，其长为$y\ \mathrm{cm}$，宽为$x\ \mathrm{cm}$。
（1）求$y$关于$x$的函数表达式；
（2）画出此函数的图象。

7.(1) $y=\frac{24}{x}$
(2) 图略

【分析】
（1）解题时先回忆矩形面积公式：矩形面积=长×宽，已知面积为24$\mathrm{cm}^2$，将长y、宽x代入公式即可得到x与y的等量关系，再将等式变形为用含x的代数式表示y的形式，同时结合实际意义，矩形的宽为正数，因此自变量x的取值范围为x＞0。
（2）该函数是自变量取值为正的反比例函数，图象为第一象限内的双曲线，绘制时按照“列表、描点、连线”的步骤操作即可：选取多组x＞0的数值计算对应y值，在平面直角坐标系第一象限内描点，最后用光滑曲线连接各点，注意图象仅在第一象限，无限接近坐标轴但不与坐标轴相交。
【解析】
（1）根据矩形面积公式，可得：
$xy=24$
将等式变形，得到y关于x的函数表达式：
$y=\frac{24}{x}$，其中$x＞0$（因为矩形的宽为正数）。
（2）绘制图象步骤：
①列表：选取若干x＞0的取值，计算对应y值，示例如下：
| x | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 12 |
|----|----|----|----|----|----|----|
| y | 12 | 8 | 6 | 4 | 3 | 2 |
②描点：在平面直角坐标系的第一象限中，依次描出表格中对应的点；
③连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象，图象仅位于第一象限，无限接近x轴、y轴但不与坐标轴相交。
【答案】
（1）$y=\frac{24}{x}$
（2）图略
【知识点】
1. 反比例函数表达式
2. 矩形面积计算
3. 反比例函数图象绘制
【点评】
本题结合实际几何场景考查反比例函数的基础应用，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围，绘制图象时不能忽略取值范围画出第三象限的分支，属于基础类习题，能够帮助学生巩固反比例函数的概念与图象相关知识。
【难度系数】
0.85

8. 如图，已知点P是一次函数$y=2x-2$的图象与x轴的交点，将点P向上平移2个单位长度后所得点Q在某反比例函数图象上.
（1）求点P的坐标；
（2）求该反比例函数的函数表达式.

8.(1) (1,0)
(2) $y=\frac{2}{x}$

【分析】
（1）求点P坐标：点P是一次函数与x轴的交点，x轴上点的纵坐标恒为0，因此将y=0代入一次函数解析式求解x的值，即可得到P点坐标。
（2）求反比例函数表达式：首先根据点的平移规律“向上平移时横坐标不变，纵坐标加平移距离”得到Q点坐标，再设反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将Q点坐标代入求出k值，即可得到反比例函数解析式。
【解析】
（1）对于一次函数$y=2x-2$，x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，则：
$2x-2=0$
解得$x=1$
∴点P的坐标为$(1,0)$
（2）将点P向上平移2个单位长度，横坐标不变，纵坐标增加2，因此点Q的坐标为$(1,0+2)$，即$(1,2)$。
设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$Q(1,2)$代入解析式得：
$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$
∴该反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,0)}$
(2) $\boldsymbol{y=\frac{2}{x}}$
【知识点】
一次函数交点求解，坐标平移规律，反比例函数解析式确定
【点评】
本题属于函数基础题型，考察的均为核心基础知识点，解题逻辑清晰，只要熟练掌握一次函数与坐标轴交点的特征、点的平移规则以及反比例函数解析式的求解方法，就能轻松解答。
【难度系数】
0.85