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1. 下列图形中的角是圆周角的是（）
答案
B
解析
【分析】
要判断一个角是不是圆周角，需紧扣圆周角的两个判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交（即两条边除顶点外，还各有一个交点在圆上）。我们可以根据这两个条件逐一分析每个选项，排除不符合的，就能得到正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐个判断：
选项A：角的顶点在圆内部，不满足“顶点在圆上”的条件，不是圆周角；
选项B：角的顶点在圆上，且两边都是圆的弦，都与圆相交，完全符合圆周角的定义，是圆周角；
选项C：角的两条边都只和圆交于顶点，没有其他交点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角；
选项D：角的其中一条边只和圆交于顶点，没有其他交点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对圆周角判定条件的掌握情况，只要准确记住两个判定条件，逐一排查即可得分，属于送分题。
【难度系数】
0.8
要判断一个角是不是圆周角，需紧扣圆周角的两个判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交（即两条边除顶点外，还各有一个交点在圆上）。我们可以根据这两个条件逐一分析每个选项，排除不符合的，就能得到正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐个判断：
选项A：角的顶点在圆内部，不满足“顶点在圆上”的条件，不是圆周角；
选项B：角的顶点在圆上，且两边都是圆的弦，都与圆相交，完全符合圆周角的定义，是圆周角；
选项C：角的两条边都只和圆交于顶点，没有其他交点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角；
选项D：角的其中一条边只和圆交于顶点，没有其他交点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对圆周角判定条件的掌握情况，只要准确记住两个判定条件，逐一排查即可得分，属于送分题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$△ ABC$内接于圆，点D在$\overset{\frown}{AC}$上，连接BD，AD，AC与BD交于点P. 下列角中，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角是（）
A.$∠ APB$
B.$∠ DAC$
C.$∠ ACB$
D.$∠ DBA$
A.$∠ APB$
B.$∠ DAC$
C.$∠ ACB$
D.$∠ DBA$
答案
C
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心概念：①圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角才是圆周角；②弧对应的圆周角需满足：角的两边分别经过该弧的两个端点。解题时先逐个判断选项中的角是否为圆周角，再判断其所对的弧是否为$\overset{\frown}{AB}$，最终选出符合要求的选项。
【解析】
根据圆周角的定义和弧与圆周角的对应关系分析各选项：
1. 选项A：$∠ APB$的顶点$P$在圆内部，不属于圆周角，不符合要求；
2. 选项B：$∠ DAC$的顶点为$A$，两边分别交圆于$D$、$C$，所对的弧是$\overset{\frown}{DC}$，不是$\overset{\frown}{AB}$，不符合要求；
3. 选项C：$∠ ACB$的顶点$C$在圆上，两边$CB$、$CA$分别经过$\overset{\frown}{AB}$的两个端点$B$、$A$，是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，符合要求；
4. 选项D：$∠ DBA$的顶点为$B$，两边分别交圆于$D$、$A$，所对的弧是$\overset{\frown}{AD}$，不是$\overset{\frown}{AB}$，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角的概念，弧与圆周角的对应
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是掌握圆周角的定义以及圆周角和所对弧的对应关系，解题时牢记概念逐一排查即可得出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确两个核心概念：①圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角才是圆周角；②弧对应的圆周角需满足：角的两边分别经过该弧的两个端点。解题时先逐个判断选项中的角是否为圆周角，再判断其所对的弧是否为$\overset{\frown}{AB}$，最终选出符合要求的选项。
【解析】
根据圆周角的定义和弧与圆周角的对应关系分析各选项：
1. 选项A：$∠ APB$的顶点$P$在圆内部，不属于圆周角，不符合要求；
2. 选项B：$∠ DAC$的顶点为$A$，两边分别交圆于$D$、$C$，所对的弧是$\overset{\frown}{DC}$，不是$\overset{\frown}{AB}$，不符合要求；
3. 选项C：$∠ ACB$的顶点$C$在圆上，两边$CB$、$CA$分别经过$\overset{\frown}{AB}$的两个端点$B$、$A$，是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，符合要求；
4. 选项D：$∠ DBA$的顶点为$B$，两边分别交圆于$D$、$A$，所对的弧是$\overset{\frown}{AD}$，不是$\overset{\frown}{AB}$，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角的概念，弧与圆周角的对应
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是掌握圆周角的定义以及圆周角和所对弧的对应关系，解题时牢记概念逐一排查即可得出正确答案。
【难度系数】
0.8
3.如图，A，B，C是$\odot O$上的三个点，若$∠ A＝25°$，则$∠ BOC$的度数为 （）
A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
答案
B
解析
【分析】
首先观察图形，∠A是圆周角，∠BOC是圆心角，二者所对的弧均为弧BC。根据所学的圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此只需用已知的圆周角∠A的度数乘2，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵∠A是$\odot O$中弧BC所对的圆周角，∠BOC是$\odot O$中弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴$∠ BOC=2∠ A$，
又
∵$∠ A=25°$，
∴$∠ BOC=2×25°=50°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础题，直接考查圆周角定理的应用，解题的关键是准确识别同弧对应的圆周角和圆心角，代入数值即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，∠A是圆周角，∠BOC是圆心角，二者所对的弧均为弧BC。根据所学的圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此只需用已知的圆周角∠A的度数乘2，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵∠A是$\odot O$中弧BC所对的圆周角，∠BOC是$\odot O$中弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴$∠ BOC=2∠ A$，
又
∵$∠ A=25°$，
∴$∠ BOC=2×25°=50°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础题，直接考查圆周角定理的应用，解题的关键是准确识别同弧对应的圆周角和圆心角，代入数值即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.如图，BD是$\odot O$的直径，点A，C在$\odot O$上，点B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，若$∠ AOB=40°$，则$∠ BDC$的度数是（）
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
A
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据弧中点的性质，等弧所对的圆心角相等，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；再利用圆周角定理，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
∵点B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴同弧所对的圆心角相等，即$∠ BOC=∠ AOB=40°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，$∠ BDC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×40°=20°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
弧与圆心角的关系；圆周角定理
【点评】
本题考查圆的基础性质，解题的关键是熟练掌握弧、圆心角、圆周角之间的对应关系，难度较低，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据弧中点的性质，等弧所对的圆心角相等，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；再利用圆周角定理，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
∵点B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴同弧所对的圆心角相等，即$∠ BOC=∠ AOB=40°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，$∠ BDC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×40°=20°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
弧与圆心角的关系；圆周角定理
【点评】
本题考查圆的基础性质，解题的关键是熟练掌握弧、圆心角、圆周角之间的对应关系，难度较低，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
5.如图，AB是$\odot O$的直径，CD是弦，连接AC，BC，若$∠ ABC=65°$，则$∠ D$的度数是（）
A.$130°$
B.$65°$
C.$35°$
D.$25°$
A.$130°$
B.$65°$
C.$35°$
D.$25°$
答案
D
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB是$\odot O$的直径入手，根据“直径所对的圆周角是直角”得到$∠ ACB=90°$；再结合已知的$∠ ABC=65°$，利用三角形内角和为$180°$计算出$∠ CAB$的度数；最后观察$∠ CAB$和$∠ D$的位置，二者均为弧$BC$所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”即可求出$∠ D$的度数。
【解析】
解：$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=65°$，
$\therefore ∠ CAB=180°-∠ ACB-∠ ABC=180°-90°-65°=25°$。
又$\because ∠ CAB$和$∠ D$都是弧$BC$所对的圆周角，
$\therefore ∠ D=∠ CAB=25°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
D
【知识点】
直径所对圆周角的性质、圆周角定理、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用类题目，解题的关键是能快速找到直径对应的直角，以及同弧所对的相等圆周角，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件AB是$\odot O$的直径入手，根据“直径所对的圆周角是直角”得到$∠ ACB=90°$；再结合已知的$∠ ABC=65°$，利用三角形内角和为$180°$计算出$∠ CAB$的度数；最后观察$∠ CAB$和$∠ D$的位置，二者均为弧$BC$所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”即可求出$∠ D$的度数。
【解析】
解：$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=65°$，
$\therefore ∠ CAB=180°-∠ ACB-∠ ABC=180°-90°-65°=25°$。
又$\because ∠ CAB$和$∠ D$都是弧$BC$所对的圆周角，
$\therefore ∠ D=∠ CAB=25°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
D
【知识点】
直径所对圆周角的性质、圆周角定理、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用类题目，解题的关键是能快速找到直径对应的直角，以及同弧所对的相等圆周角，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6.工人师傅用直角曲尺检查某些工件是否恰好为半圆形，下列四种圆弧形工件中，能判断其为半圆形的是（）
答案
B
解析
【分析】
本题可利用圆周角定理的推论判断圆弧是否为半圆形，解题思路如下：首先明确推论内容：90°的圆周角所对的弦是直径，若一段圆弧对应的弦是直径，则该圆弧为半圆。因此判断的关键是：直角曲尺的直角顶点是否落在圆弧上，且曲尺的两条边是否同时经过圆弧的两个端点，满足这两个条件的圆弧就是半圆形，接下来逐一分析各选项即可得到答案。
【解析】
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，若圆弧对应的弦为直径，则该圆弧是半圆。
对各选项逐一分析：
选项A：直角曲尺的直角顶点没有落在圆弧上，无法验证圆弧两端点的连线是否为直径，不能判断为半圆形；
选项B：直角曲尺的直角顶点落在圆弧上，且曲尺的两条边分别经过圆弧的两个端点，说明圆弧两端点的连线是直径，因此该圆弧为半圆形；
选项C：直角曲尺的两条边没有经过圆弧的两个端点，无法验证圆弧两端点的连线是否为直径，不能判断为半圆形；
选项D：直角曲尺的直角顶点在圆弧外，不符合圆周角顶点在圆上的要求，无法判断为半圆形。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论；半圆的判定
【点评】
本题是数学定理在实际生产中的应用问题，解题的关键是准确把握圆周角定理推论的使用条件，结合实际场景灵活运用知识解决问题。
【难度系数】
0.7
本题可利用圆周角定理的推论判断圆弧是否为半圆形，解题思路如下：首先明确推论内容：90°的圆周角所对的弦是直径，若一段圆弧对应的弦是直径，则该圆弧为半圆。因此判断的关键是：直角曲尺的直角顶点是否落在圆弧上，且曲尺的两条边是否同时经过圆弧的两个端点，满足这两个条件的圆弧就是半圆形，接下来逐一分析各选项即可得到答案。
【解析】
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，若圆弧对应的弦为直径，则该圆弧是半圆。
对各选项逐一分析：
选项A：直角曲尺的直角顶点没有落在圆弧上，无法验证圆弧两端点的连线是否为直径，不能判断为半圆形；
选项B：直角曲尺的直角顶点落在圆弧上，且曲尺的两条边分别经过圆弧的两个端点，说明圆弧两端点的连线是直径，因此该圆弧为半圆形；
选项C：直角曲尺的两条边没有经过圆弧的两个端点，无法验证圆弧两端点的连线是否为直径，不能判断为半圆形；
选项D：直角曲尺的直角顶点在圆弧外，不符合圆周角顶点在圆上的要求，无法判断为半圆形。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论；半圆的判定
【点评】
本题是数学定理在实际生产中的应用问题，解题的关键是准确把握圆周角定理推论的使用条件，结合实际场景灵活运用知识解决问题。
【难度系数】
0.7
