12.如图,正方形ABCD的边长为3,E,F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM.
(1)画出旋转后的△DCM;
(2)求证:EF=MF;
(3)当AE=1时,求EF的长.

(1) 作图
延长BC至点M，使CM=AE，连接DM，则△DCM即为旋转后的图形。
---
(2) 证明：
∵ △DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM，
∴ $DE=DM$，$∠ EDM=90°$。
∵ $∠ EDF=45°$，
∴ $∠ MDF=∠ EDM-∠ EDF=90°-45°=45°$，
即 $∠ EDF=∠ MDF$。
在$△ EDF$和$△ MDF$中：
$\begin{cases}DE=DM \\∠ EDF=∠ MDF \\DF=DF\end{cases}$
∴ $△ EDF ≌ △ MDF$（SAS），
∴ $EF=MF$。
---
(3) 解：
∵ 正方形ABCD边长为3，
∴ $AB=BC=3$，$∠ B=90°$。
由旋转性质得 $CM=AE=1$，
∴ $BE=AB-AE=3-1=2$。
设$EF=MF=x$，
∵ $MF=FC+CM$，
∴ $FC=x-1$，
∴ $BF=BC-FC=3-(x-1)=4-x$。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，由勾股定理得：
$BE^2 + BF^2 = EF^2$，
代入数值：$2^2 + (4-x)^2 = x^2$，
展开化简：$4 + 16 -8x +x^2 = x^2$，
解得：$x=\frac{5}{2}$。
∴ $EF$的长为$\frac{5}{2}$。

【分析】
(1) 作图题依据旋转的性质，△DAE旋转90°后DA与DC重合，对应边AE=CM，对应角∠DCM=∠A=90°，因此延长BC到M，使CM=AE，连接DM即可得到旋转后的图形；
(2) 要证EF=MF，可通过证明两线段所在的△EDF和△MDF全等来实现，先由旋转性质得DE=DM、∠EDM=90°，结合已知∠EDF=45°推出∠MDF=45°，再结合公共边DF，用SAS即可证全等，得到对应边相等；
(3) 求EF的长可利用方程思想，设EF=MF=x，先根据正方形边长和AE的长度求出BE的长，再用含x的式子表示出BF的长，最后在Rt△BEF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 作图：延长BC至点M，使CM=AE，连接DM，则△DCM即为旋转后的图形。
(2) 证明：
∵ △DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM，
∴ $DE=DM$，$∠ EDM=90°$。
∵ $∠ EDF=45°$，
∴ $∠ MDF=∠ EDM-∠ EDF=90°-45°=45°$，
即 $∠ EDF=∠ MDF$。
在$△ EDF$和$△ MDF$中：
$\begin{cases}DE=DM \\∠ EDF=∠ MDF \\DF=DF\end{cases}$
∴ $△ EDF ≌ △ MDF$（SAS），
∴ $EF=MF$。
(3) 解：
∵ 正方形ABCD边长为3，
∴ $AB=BC=3$，$∠ B=90°$。
由旋转性质得 $CM=AE=1$，
∴ $BE=AB-AE=3-1=2$。
设$EF=MF=x$，
∵ $MF=FC+CM$，
∴ $FC=x-1$，
∴ $BF=BC-FC=3-(x-1)=4-x$。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，由勾股定理得：
$BE^2 + BF^2 = EF^2$，
代入数值：$2^2 + (4-x)^2 = x^2$，
展开化简：$4 + 16 -8x +x^2 = x^2$，
解得：$x=\frac{5}{2}$。
∴ $EF$的长为$\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 延长BC至点M，使CM=AE，连接DM，△DCM即为所求；
(2) 证明见解析；
(3) $\frac{5}{2}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用
【点评】
本题综合考查了旋转性质、全等三角形判定和勾股定理的应用，解题关键是利用旋转得到相等的边和角构造全等三角形，同时结合方程思想求解线段长度，是几何综合题的常见考法。
【难度系数】
0.7