7. 如图①，这是某月的月历表，用如图②所示的“Z”字形去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为$A$，$B$，$C$，$D$，$E$.在移动Z字形框的过程中：
（1）若设$C$所表示的数为$a$，则$E$表示的数为（用含$a$的代数式表示）.
（2）小明说：“被框住的5个数字之和可能为115”.你同意他的说法吗？请说明理由.
（3）求证：代数式$2A+2B-3C+4D-5E$的值为定值.

解：
（1）$\boldsymbol{a+8}$
（2）同意小明的说法，理由如下：
设$C=a$，则$A=a-8$，$B=a-7$，$D=a+7$，$E=a+8$，
五个数的和为：
$(a-8)+(a-7)+a+(a+7)+(a+8)=5a$
令$5a=115$，解得$a=23$。
此时$A=15$，$B=16$，$C=23$，$D=30$，$E=31$，这五个数均存在于该月历表中，符合框选要求，因此被框住的5个数字之和可以为115。
（3）证明：将$A=a-8$，$B=a-7$，$D=a+7$，$E=a+8$代入代数式$2A+2B-3C+4D-5E$：
$\begin{aligned}2A+2B-3C+4D-5E&=2(a-8)+2(a-7)-3a+4(a+7)-5(a+8)\\&=2a-16+2a-14-3a+4a+28-5a-40\\&=-42\end{aligned}$
因此代数式$2A+2B-3C+4D-5E$的值为定值。

8. 我国古代数学著作《算法统宗》记载了这样一道题：“今有井不知深，先将绳折作三条，入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条，入井，亦长一尺。问井深及绳长各若干？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺。问绳长和井深各多少尺？下列说法正确的是 （）

A.设绳子的长为 $ x $ 尺，则所列方程为 $\frac{1}{3}x + 4 = \frac{1}{4}x + 1$
B.设井深为 $ x $ 尺，则所列方程为 $3x + 4 = 4x - 1$
C.井深8尺
D.绳子的长是32尺

C

逐一分析各选项：
1. 若设绳长为$x$尺，根据井深不变，井深可表示为$\frac{1}{3}x - 4$，也可表示为$\frac{1}{4}x - 1$，所列方程应为$\frac{1}{3}x - 4 = \frac{1}{4}x - 1$，A错误。
2. 若设井深为$x$尺，根据绳长不变，绳长可表示为$3(x+4)$，也可表示为$4(x+1)$，所列方程应为$3(x+4)=4(x+1)$，即$3x+12=4x+4$，B错误。
3. 解方程$3(x+4)=4(x+1)$，得$x=8$，即井深为8尺，C正确。
4. 代入计算得绳长为$3×(8+4)=36$尺，不是32尺，D错误。

9. 当k为何值时，关于x的方程$3(2x-1)=k+2x$的解与关于x的方程$8-k=2(x+1)$的解互为相反数？

解：解方程$3(2x-1)=k+2x$，
去括号，得$6x - 3 = k + 2x$，
移项、合并同类项，得$4x = k + 3$，
系数化为1，得$x=\frac{k+3}{4}$。
解方程$8 - k = 2(x+1)$，
去括号，得$8 - k = 2x + 2$，
移项、合并同类项，得$2x = 6 - k$，
系数化为1，得$x=\frac{6 - k}{2}$。
由两个方程的解互为相反数，可得：
$\frac{k+3}{4} + \frac{6 - k}{2} = 0$，
去分母，得$k + 3 + 2(6 - k) = 0$，
去括号，得$k + 3 + 12 - 2k = 0$，
合并同类项，得$-k + 15 = 0$，
解得$k=15$。
答：当$k=15$时，两个方程的解互为相反数。