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1. 下列各式计算正确的是（
A.$5a+a=6a^2$
B.$-2a+5b=3a$
C.$4m^2n-2mn^2=2mn$
D.$3xy^2-4xy^2=-xy^2$
D
）A.$5a+a=6a^2$
B.$-2a+5b=3a$
C.$4m^2n-2mn^2=2mn$
D.$3xy^2-4xy^2=-xy^2$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查整式加减中的合并同类项相关知识，解题思路如下：首先明确判断依据：①只有同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项）才能合并，不是同类项的不能直接相加减；②合并同类项的规则为：同类项的系数相加，所得结果作为合并后的系数，字母和字母的指数保持不变。接下来逐个分析每个选项是否符合上述规则即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：$5a$和$a$是同类项，合并后应为$(5+1)a=6a$，不是$6a^2$，因此A计算错误；
选项B：$-2a$和$5b$所含字母不同，不是同类项，不能合并，因此B计算错误；
选项C：$4m^2n$和$2mn^2$中，相同字母$m$、$n$的指数均不相同，不是同类项，不能合并，因此C计算错误；
选项D：$3xy^2$和$-4xy^2$是同类项，合并后为$(3-4)xy^2=-xy^2$，因此D计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义；合并同类项法则
【点评】
本题是整式加减的基础题型，解题的核心是准确识别同类项，牢记只有同类项才可以合并，合并时仅对系数进行加减运算，字母及字母的指数不发生改变，避免出现不是同类项强行合并、合并时改变字母指数的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式加减中的合并同类项相关知识，解题思路如下：首先明确判断依据：①只有同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项）才能合并，不是同类项的不能直接相加减；②合并同类项的规则为：同类项的系数相加，所得结果作为合并后的系数，字母和字母的指数保持不变。接下来逐个分析每个选项是否符合上述规则即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：$5a$和$a$是同类项，合并后应为$(5+1)a=6a$，不是$6a^2$，因此A计算错误；
选项B：$-2a$和$5b$所含字母不同，不是同类项，不能合并，因此B计算错误；
选项C：$4m^2n$和$2mn^2$中，相同字母$m$、$n$的指数均不相同，不是同类项，不能合并，因此C计算错误；
选项D：$3xy^2$和$-4xy^2$是同类项，合并后为$(3-4)xy^2=-xy^2$，因此D计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义；合并同类项法则
【点评】
本题是整式加减的基础题型，解题的核心是准确识别同类项，牢记只有同类项才可以合并，合并时仅对系数进行加减运算，字母及字母的指数不发生改变，避免出现不是同类项强行合并、合并时改变字母指数的错误。
【难度系数】
0.8
2. (2026 山东滨州邹平市龙台实验学校期中)
若关于x的多项式$8x^2+nx$减多项式$mx^2+5x+3$的结果为常数,则$m+n$的值为 (
A.40
B.13
C.3
D.-13
若关于x的多项式$8x^2+nx$减多项式$mx^2+5x+3$的结果为常数,则$m+n$的值为 (
B
)A.40
B.13
C.3
D.-13
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确整式减法的运算规则，以及“结果为常数”的含义。第一步先对两个多项式做减法运算，去括号后合并同类项；第二步，结果为常数意味着合并后所有含x的项（x²项、x项）的系数都为0，据此列出等式求出m、n的值；最后代入计算m+n即可得到答案。
【解析】
先计算两个多项式的差：
$\begin{aligned}&(8x^2 + nx) - (mx^2 + 5x + 3)\\=&8x^2 + nx - mx^2 - 5x - 3\\=&(8 - m)x^2 + (n - 5)x - 3\end{aligned}$
因为运算结果为常数，即不含x的一次项和二次项，因此这两项的系数都为0：
令$8 - m = 0$，解得$m = 8$；
令$n - 5 = 0$，解得$n = 5$。
所以$m + n = 8 + 5 = 13$。
故选B。
【答案】B
【知识点】
整式的加减，合并同类项，多项式的项
【点评】
本题考查整式加减的应用，解题的关键是理解“结果为常数”即所有含字母的项的系数均为0，属于整式加减章节的基础常考题，掌握合并同类项的规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确整式减法的运算规则，以及“结果为常数”的含义。第一步先对两个多项式做减法运算，去括号后合并同类项；第二步，结果为常数意味着合并后所有含x的项（x²项、x项）的系数都为0，据此列出等式求出m、n的值；最后代入计算m+n即可得到答案。
【解析】
先计算两个多项式的差：
$\begin{aligned}&(8x^2 + nx) - (mx^2 + 5x + 3)\\=&8x^2 + nx - mx^2 - 5x - 3\\=&(8 - m)x^2 + (n - 5)x - 3\end{aligned}$
因为运算结果为常数，即不含x的一次项和二次项，因此这两项的系数都为0：
令$8 - m = 0$，解得$m = 8$；
令$n - 5 = 0$，解得$n = 5$。
所以$m + n = 8 + 5 = 13$。
故选B。
【答案】B
【知识点】
整式的加减，合并同类项，多项式的项
【点评】
本题考查整式加减的应用，解题的关键是理解“结果为常数”即所有含字母的项的系数均为0，属于整式加减章节的基础常考题，掌握合并同类项的规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
3. 新趋势·定义新运算（2026湖北武汉江岸区期末）对任意两个有理数$a,b$,定义运算：$a*b=|a+b-ab|$.若$a*2=2*b$,则$a,b$的关系为（
A.$a=b$
B.$a=-b$
C.$a=b$或$a=-b$
D.$a=b$或$a+b=4$
D
）A.$a=b$
B.$a=-b$
C.$a=b$或$a=-b$
D.$a=b$或$a+b=4$
答案
3. D
解析 $a * 2 = | a + 2 - 2a | = | 2 - a |, 2 * b = |2+b-2b| = |2-b|.$ 因为 $a * 2 = 2 * b,$ 所以 $|2-a| = |2-b|,$ 所以 $a = b$ 或 $a + b = 4.$
解析 $a * 2 = | a + 2 - 2a | = | 2 - a |, 2 * b = |2+b-2b| = |2-b|.$ 因为 $a * 2 = 2 * b,$ 所以 $|2-a| = |2-b|,$ 所以 $a = b$ 或 $a + b = 4.$
解析
【分析】
这是定义新运算类题目，解题首先要准确理解给定的新运算规则，第一步先把$a*2$和$2*b$分别代入新运算公式化简，得到两个含绝对值的式子，再根据绝对值相等的性质分两种情况讨论，即可推出$a$和$b$的关系。
【解析】
根据新运算规则$a*b=|a+b-ab|$，分别计算两个运算的结果：
$a*2 = |a + 2 - a×2| = |2 - a|$
$2*b = |2 + b - 2× b| = |2 - b|$
已知$a*2=2*b$，因此$|2 - a| = |2 - b|$。
根据绝对值的性质：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，分两种情况讨论：
1. 当$2 - a = 2 - b$时，移项化简可得$a = b$；
2. 当$2 - a = -(2 - b)$时，去括号得$2 - a = -2 + b$，移项整理可得$a + b = 4$。
综上，$a$、$b$的关系为$a=b$或$a+b=4$，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
定义新运算，绝对值的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题主要考查对新运算规则的应用能力和绝对值性质的掌握，解题时要注意绝对值相等需分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
这是定义新运算类题目，解题首先要准确理解给定的新运算规则，第一步先把$a*2$和$2*b$分别代入新运算公式化简，得到两个含绝对值的式子，再根据绝对值相等的性质分两种情况讨论，即可推出$a$和$b$的关系。
【解析】
根据新运算规则$a*b=|a+b-ab|$，分别计算两个运算的结果：
$a*2 = |a + 2 - a×2| = |2 - a|$
$2*b = |2 + b - 2× b| = |2 - b|$
已知$a*2=2*b$，因此$|2 - a| = |2 - b|$。
根据绝对值的性质：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，分两种情况讨论：
1. 当$2 - a = 2 - b$时，移项化简可得$a = b$；
2. 当$2 - a = -(2 - b)$时，去括号得$2 - a = -2 + b$，移项整理可得$a + b = 4$。
综上，$a$、$b$的关系为$a=b$或$a+b=4$，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
定义新运算，绝对值的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题主要考查对新运算规则的应用能力和绝对值性质的掌握，解题时要注意绝对值相等需分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4. (2026 四川遂宁期末)若把三位数$\overline{abc}$百位上的数字与个位上的数字对调，十位上的数字不变，将得到一个新的三位数$\overline{cba}$，则（
A.原三位数与新三位数的差为$99c - 99a$
B.新三位数与原三位数的差为$99c - 99a$
C.原三位数与新三位数的差只能被11整除
D.新三位数与原三位数的差只能被9整除
B
）A.原三位数与新三位数的差为$99c - 99a$
B.新三位数与原三位数的差为$99c - 99a$
C.原三位数与新三位数的差只能被11整除
D.新三位数与原三位数的差只能被9整除
答案
4. B
启发与线索 三位数 $\overline{abc}=100a+10b+c.$
启发与线索 三位数 $\overline{abc}=100a+10b+c.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要掌握三位数的代数式表示方法：三位数的百位数字乘100、十位数字乘10、个位数字乘1，三者相加就是这个三位数的表达式。接下来分别写出原三位数和新三位数的代数式，再按选项要求计算两者的差，化简后逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
首先根据多位数的表示规则：
原三位数$\overline{abc}=100a + 10b + c$，
百位和个位对调后的新三位数$\overline{cba}=100c + 10b + a$。
我们分别计算两个数的差：
1. 原三位数与新三位数的差：
$\begin{aligned}(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)&= 100a + 10b + c - 100c - 10b - a\\&= 99a - 99c\end{aligned}$
该结果为$99(a-c)$，99是9和11的公倍数，因此这个差既能被9整除，也能被11整除，故选项A、C错误。
2. 新三位数与原三位数的差：
$\begin{aligned}(100c + 10b + a) - (100a + 10b + c)&= 100c + 10b + a - 100a - 10b - c\\&= 99c - 99a\end{aligned}$
该结果为$99(c-a)$，同样既能被9整除，也能被11整除，故选项B正确，选项D错误。
【答案】
B
【知识点】
用字母表示数，整式的加减运算，整除的判定
【点评】
本题易错点是混淆两个数做差的顺序，导致符号出错。解题核心是正确写出多位数的代数式，通过整式加减化简后再判断选项，同时要注意“只能被某数整除”的表述需要验证是否还有其他因数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要掌握三位数的代数式表示方法：三位数的百位数字乘100、十位数字乘10、个位数字乘1，三者相加就是这个三位数的表达式。接下来分别写出原三位数和新三位数的代数式，再按选项要求计算两者的差，化简后逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
首先根据多位数的表示规则：
原三位数$\overline{abc}=100a + 10b + c$，
百位和个位对调后的新三位数$\overline{cba}=100c + 10b + a$。
我们分别计算两个数的差：
1. 原三位数与新三位数的差：
$\begin{aligned}(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)&= 100a + 10b + c - 100c - 10b - a\\&= 99a - 99c\end{aligned}$
该结果为$99(a-c)$，99是9和11的公倍数，因此这个差既能被9整除，也能被11整除，故选项A、C错误。
2. 新三位数与原三位数的差：
$\begin{aligned}(100c + 10b + a) - (100a + 10b + c)&= 100c + 10b + a - 100a - 10b - c\\&= 99c - 99a\end{aligned}$
该结果为$99(c-a)$，同样既能被9整除，也能被11整除，故选项B正确，选项D错误。
【答案】
B
【知识点】
用字母表示数，整式的加减运算，整除的判定
【点评】
本题易错点是混淆两个数做差的顺序，导致符号出错。解题核心是正确写出多位数的代数式，通过整式加减化简后再判断选项，同时要注意“只能被某数整除”的表述需要验证是否还有其他因数。
【难度系数】
0.7
5. (2026江苏无锡市江南中学期末)如图,面积分别为6,13的两个图形部分重叠放在一起.若两个阴影部分的面积分别为$a,b(a＜b)$,则$2(a-b)^2-(b-a)^2+2(a^2-a)-2(a^2-b)$的值为 (
A.35
B.63
C.56
D.49
B
)A.35
B.63
C.56
D.49
答案
5. B
启发与线索 $b-a=13-6=7.$
启发与线索 $b-a=13-6=7.$
解析
【分析】
解题分三步进行：第一步先化简所求的代数式，通过去括号、合并同类项将复杂的整式转化为最简形式，减少计算量；第二步求$b-a$的值：设重叠部分面积为$s$，两个图形的面积分别等于各自阴影面积加重叠面积，两式相减即可抵消重叠面积$s$，得到$b-a$的数值；第三步将$b-a$作为整体代入化简后的代数式计算结果即可。
【解析】
设两个图形重叠部分的面积为$s$，根据题意可得：
$a + s = 6$，$b + s = 13$
两式相减得：$(b + s) - (a + s) = 13 - 6$，即$b - a = 7$。
接下来化简代数式：
$\begin{aligned}&2(a-b)^2 - (b-a)^2 + 2(a^2 - a) - 2(a^2 - b)\\=&2(b-a)^2 - (b-a)^2 + 2a^2 - 2a - 2a^2 + 2b\\=&(b-a)^2 + 2(b - a)\end{aligned}$
（注：平方具有非负性，因此$(a-b)^2=(b-a)^2$，合并同类项后$2a^2-2a^2=0$，$-2a+2b=2(b-a)$）
将$b-a=7$代入上式：
原式$=7^2 + 2×7 = 49 + 14 = 63$
【答案】
B
【知识点】
整式的化简求值，整体代入法，面积差计算
【点评】
本题将整式运算和图形面积结合考查，解题的关键是利用重叠部分面积相等得到$b-a$的数值，无需单独求解$a$、$b$的值，通过整体代入即可快速得出结果，有效简化了计算步骤。
【难度系数】
0.6
解题分三步进行：第一步先化简所求的代数式，通过去括号、合并同类项将复杂的整式转化为最简形式，减少计算量；第二步求$b-a$的值：设重叠部分面积为$s$，两个图形的面积分别等于各自阴影面积加重叠面积，两式相减即可抵消重叠面积$s$，得到$b-a$的数值；第三步将$b-a$作为整体代入化简后的代数式计算结果即可。
【解析】
设两个图形重叠部分的面积为$s$，根据题意可得：
$a + s = 6$，$b + s = 13$
两式相减得：$(b + s) - (a + s) = 13 - 6$，即$b - a = 7$。
接下来化简代数式：
$\begin{aligned}&2(a-b)^2 - (b-a)^2 + 2(a^2 - a) - 2(a^2 - b)\\=&2(b-a)^2 - (b-a)^2 + 2a^2 - 2a - 2a^2 + 2b\\=&(b-a)^2 + 2(b - a)\end{aligned}$
（注：平方具有非负性，因此$(a-b)^2=(b-a)^2$，合并同类项后$2a^2-2a^2=0$，$-2a+2b=2(b-a)$）
将$b-a=7$代入上式：
原式$=7^2 + 2×7 = 49 + 14 = 63$
【答案】
B
【知识点】
整式的化简求值，整体代入法，面积差计算
【点评】
本题将整式运算和图形面积结合考查，解题的关键是利用重叠部分面积相等得到$b-a$的数值，无需单独求解$a$、$b$的值，通过整体代入即可快速得出结果，有效简化了计算步骤。
【难度系数】
0.6
6. 先化简,再求值:$5x^2y - [2x^2y - 3(2xy - x^2y) - xy]$,其中$x=2,y=3.$
答案
6. 解:原式$=5x^2y-(2x^2y-6xy+3x^2y-xy)$
$=5x^2y-(5x^2y-7xy)$
$=5x^2y-5x^2y+7xy$
$=7xy.$
当$x=2,y=3$时,原式$=7×2×3=42.$
$=5x^2y-(5x^2y-7xy)$
$=5x^2y-5x^2y+7xy$
$=7xy.$
当$x=2,y=3$时,原式$=7×2×3=42.$
解析
【分析】
本题属于整式的化简求值类题目，解题思路如下：第一步先去括号，注意去括号时若括号前是负号，括号内各项要变号，括号前有系数的要将系数乘到括号内每一项；第二步合并同类项，将整式化简为最简形式；第三步将x、y的取值代入化简后的式子计算结果，相比直接代入原式计算，先化简能大幅降低计算量，减少出错概率。
【解析】
解：先去小括号，再合并括号内同类项：
原式$=5x^2y-(2x^2y-6xy+3x^2y-xy)$
$=5x^2y-(5x^2y-7xy)$
再去中括号，合并同类项化简：
$=5x^2y-5x^2y+7xy$
$=7xy$
将$x=2,y=3$代入化简后的式子：
原式$=7×2×3=42$
【答案】
42
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心考察去括号的符号处理规则以及同类项的合并方法，掌握先化简后代入求值的技巧能有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的化简求值类题目，解题思路如下：第一步先去括号，注意去括号时若括号前是负号，括号内各项要变号，括号前有系数的要将系数乘到括号内每一项；第二步合并同类项，将整式化简为最简形式；第三步将x、y的取值代入化简后的式子计算结果，相比直接代入原式计算，先化简能大幅降低计算量，减少出错概率。
【解析】
解：先去小括号，再合并括号内同类项：
原式$=5x^2y-(2x^2y-6xy+3x^2y-xy)$
$=5x^2y-(5x^2y-7xy)$
再去中括号，合并同类项化简：
$=5x^2y-5x^2y+7xy$
$=7xy$
将$x=2,y=3$代入化简后的式子：
原式$=7×2×3=42$
【答案】
42
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心考察去括号的符号处理规则以及同类项的合并方法，掌握先化简后代入求值的技巧能有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
7. 已知$A=2a^2+4ab-2a-3$，$B=-a^2+ab+2$。
(1)化简$(4A+B)-(A-5B)$；(结果用含$a,b$的式子表示)
(2)若(1)中的化简结果与$a$的取值无关，请求出$b$的值。
(1)化简$(4A+B)-(A-5B)$；(结果用含$a,b$的式子表示)
(2)若(1)中的化简结果与$a$的取值无关，请求出$b$的值。
答案
7. 解: (1) $(4A+B)-(A-5B)=4A+B-A+5B=3A+6B.$
因为 $A=2a^2+4ab-2a-3,B=-a^2+ab+2,$
所以原式$=3A+6B=3(2a^2+4ab-2a-3)+6(-a^2+ab+2)=6a^2+12ab-6a-9-6a^2+6ab+12=18ab-6a+3.$
(2)$18ab-6a+3=(18b-6)a+3.$
因为 $18ab-6a+3$ 与 $a$ 的取值无关,
所以 $18b-6=0.$ 所以 $b=\frac{1}{3}.$
因为 $A=2a^2+4ab-2a-3,B=-a^2+ab+2,$
所以原式$=3A+6B=3(2a^2+4ab-2a-3)+6(-a^2+ab+2)=6a^2+12ab-6a-9-6a^2+6ab+12=18ab-6a+3.$
(2)$18ab-6a+3=(18b-6)a+3.$
因为 $18ab-6a+3$ 与 $a$ 的取值无关,
所以 $18b-6=0.$ 所以 $b=\frac{1}{3}.$
解析
【分析】
（1）求解关于A、B的整式化简问题时，可先对原式去括号、合并同类项，将原式简化为只含A、B的最简形式，再代入A、B的表达式，再次通过去括号、合并同类项得到含a、b的化简结果，先简化再代入可降低计算量、减少出错概率。
（2）若代数式的取值与a无关，说明代数式中所有含a的项的总系数为0（0乘任意a的取值都为0，不会影响最终结果），因此只需将（1）的结果整理为含a的项与常数项的和的形式，令a的系数为0，解关于b的一元一次方程即可求出b的值。
【解析】
(1) 先化简待求式：
$\begin{aligned}(4A+B)-(A-5B)&=4A+B-A+5B\\&=3A+6B\end{aligned}$
将$A=2a^2+4ab-2a-3$，$B=-a^2+ab+2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3(2a^2+4ab-2a-3)+6(-a^2+ab+2)\\&=6a^2+12ab-6a-9-6a^2+6ab+12\\&=18ab-6a+3\end{aligned}$
(2) 将（1）的化简结果整理为关于a的式子：
$18ab-6a+3=(18b-6)a+3$
$\because$ 化简结果与a的取值无关
$\therefore$ 含a项的系数为0，即$18b-6=0$
解得：$b=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $\boxed{18ab-6a+3}$；(2) $\boxed{b=\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
整式的加减运算，合并同类项，去括号法则
【点评】
本题是整式加减章节的常规题型，侧重考查基础运算能力和对代数式取值相关性质的理解，解题核心是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，准确理解“代数式与某变量无关”即该变量所有项的系数和为0的含义。
【难度系数】
0.7
（1）求解关于A、B的整式化简问题时，可先对原式去括号、合并同类项，将原式简化为只含A、B的最简形式，再代入A、B的表达式，再次通过去括号、合并同类项得到含a、b的化简结果，先简化再代入可降低计算量、减少出错概率。
（2）若代数式的取值与a无关，说明代数式中所有含a的项的总系数为0（0乘任意a的取值都为0，不会影响最终结果），因此只需将（1）的结果整理为含a的项与常数项的和的形式，令a的系数为0，解关于b的一元一次方程即可求出b的值。
【解析】
(1) 先化简待求式：
$\begin{aligned}(4A+B)-(A-5B)&=4A+B-A+5B\\&=3A+6B\end{aligned}$
将$A=2a^2+4ab-2a-3$，$B=-a^2+ab+2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3(2a^2+4ab-2a-3)+6(-a^2+ab+2)\\&=6a^2+12ab-6a-9-6a^2+6ab+12\\&=18ab-6a+3\end{aligned}$
(2) 将（1）的化简结果整理为关于a的式子：
$18ab-6a+3=(18b-6)a+3$
$\because$ 化简结果与a的取值无关
$\therefore$ 含a项的系数为0，即$18b-6=0$
解得：$b=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $\boxed{18ab-6a+3}$；(2) $\boxed{b=\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
整式的加减运算，合并同类项，去括号法则
【点评】
本题是整式加减章节的常规题型，侧重考查基础运算能力和对代数式取值相关性质的理解，解题核心是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，准确理解“代数式与某变量无关”即该变量所有项的系数和为0的含义。
【难度系数】
0.7
8. 新趋势·定义新运算 规定一种运算$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-cb$，如$\begin{vmatrix} 2&3 \\ 4&5 \end{vmatrix}=2×5 -4×3=-2$，再如$\begin{vmatrix} x+1&1 \\ 2&4 \end{vmatrix}=4(x+1)-2×1=4x+2$。
请你按照这种运算规定，解答下列问题。
(1) $\begin{vmatrix} 3&-2 \\4&5 \end{vmatrix}=$ ______ ，$\begin{vmatrix}2&-3x \\3&-5x \end{vmatrix}=$ ______ ；
(2)当$x=-1$时，求$\begin{vmatrix} -3x^2+2x+1 &2x^2+x-2 \\3 &-2 \end{vmatrix}$的值。(要求写出计算过程)
请你按照这种运算规定，解答下列问题。
(1) $\begin{vmatrix} 3&-2 \\4&5 \end{vmatrix}=$ ______ ，$\begin{vmatrix}2&-3x \\3&-5x \end{vmatrix}=$ ______ ；
(2)当$x=-1$时，求$\begin{vmatrix} -3x^2+2x+1 &2x^2+x-2 \\3 &-2 \end{vmatrix}$的值。(要求写出计算过程)
答案
8. 解: (1) 23 ; $-x$
(2) 原式$=-2(-3x^2+2x+1)-3(2x^2+x-2)=6x^2-4x-2-6x^2-3x+6=-7x+4.$
当$x=-1$时,原式$=-7x+4=-7×(-1)+4=11.$
(2) 原式$=-2(-3x^2+2x+1)-3(2x^2+x-2)=6x^2-4x-2-6x^2-3x+6=-7x+4.$
当$x=-1$时,原式$=-7x+4=-7×(-1)+4=11.$
解析
【分析】
本题是定义新运算类题目，解题核心是准确理解题目给出的二阶行列式运算规则：$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-cb$。解题思路如下：(1) 第一小问直接将对应位置的数字、整式代入运算规则，再按照有理数运算、整式加减的法则计算化简即可；(2) 第二小问先按照运算规则将行列式展开为整式加减的形式，先去括号、合并同类项化简，再将$x=-1$代入化简后的式子计算最终值，运算时要注意符号不要出错。
【解析】
(1) ①根据运算规则计算：
$\begin{vmatrix} 3&-2 \\4&5 \end{vmatrix}=3×5 - 4×(-2)=15 + 8=23$
②同理代入规则化简：
$\begin{vmatrix}2&-3x \\3&-5x \end{vmatrix}=2×(-5x) - 3×(-3x)=-10x + 9x=-x$
(2) 先按照运算规则展开行列式：
$\begin{aligned}原式&=-2(-3x^2+2x+1)-3(2x^2+x-2)\\&=6x^2-4x-2-6x^2-3x+6\\&=-7x+4\end{aligned}$
将$x=-1$代入化简后的式子：
原式$=-7×(-1)+4=7+4=11$
【答案】
(1) $\boxed{23}$；$\boxed{-x}$
(2) $\boxed{11}$
【知识点】
定义新运算、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解能力和整式运算的基本功，只要熟练掌握去括号、合并同类项的法则，运算时注意符号变化，就能准确解答。
【难度系数】
0.8
本题是定义新运算类题目，解题核心是准确理解题目给出的二阶行列式运算规则：$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-cb$。解题思路如下：(1) 第一小问直接将对应位置的数字、整式代入运算规则，再按照有理数运算、整式加减的法则计算化简即可；(2) 第二小问先按照运算规则将行列式展开为整式加减的形式，先去括号、合并同类项化简，再将$x=-1$代入化简后的式子计算最终值，运算时要注意符号不要出错。
【解析】
(1) ①根据运算规则计算：
$\begin{vmatrix} 3&-2 \\4&5 \end{vmatrix}=3×5 - 4×(-2)=15 + 8=23$
②同理代入规则化简：
$\begin{vmatrix}2&-3x \\3&-5x \end{vmatrix}=2×(-5x) - 3×(-3x)=-10x + 9x=-x$
(2) 先按照运算规则展开行列式：
$\begin{aligned}原式&=-2(-3x^2+2x+1)-3(2x^2+x-2)\\&=6x^2-4x-2-6x^2-3x+6\\&=-7x+4\end{aligned}$
将$x=-1$代入化简后的式子：
原式$=-7×(-1)+4=7+4=11$
【答案】
(1) $\boxed{23}$；$\boxed{-x}$
(2) $\boxed{11}$
【知识点】
定义新运算、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解能力和整式运算的基本功，只要熟练掌握去括号、合并同类项的法则，运算时注意符号变化，就能准确解答。
【难度系数】
0.8
