9. (2025宿迁中考)规定:对于任意实数a、b、c,有【a，b】★c = ac + b，其中等式右边是通常的乘法和加法运算.例如,【2，3】★1 = 2×1 + 3 = 5.若关于x的方程【x，x+1】★(mx) = 0有两个不相等的实数根,则m的取值范围为
【 】

A.$m ＜ \frac{1}{4}$
B.$m ＞ \frac{1}{4}$
C.$m ＞ \frac{1}{4}$且$m≠0$
D.$m ＜ \frac{1}{4}$且$m≠0$

D

10. 关于$x$的方程$mx^2 -4x +4=0$有实数根，则$m$的取值范围为 【 】

A.$m≤ 1$
B.$m≥ 1$
C.$m≠ 0$
D.$m≤ 1$且$m≠ 0$

A

11. (2025 广元中考)若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + (a-1)x - \frac{1}{2} = 0$有两个相等的实数根，则$a=$。

11. -1

12. 设关于$x$的一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0$. 现有如下两组条件:①$b=-2$, $c=-4$; ②$b=2$, $c=4$. 请从这两组条件中选择其中一组$b$、$c$的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.

$\because$ 方程$2x^2 +bx +c=0$有两个不相等的实数根，$\therefore b^2-4ac＞0$，即$b^2＞8c$。$\because$ 选择①时，$b^2=(-2)^2=4$，$8c=8×(-4)=-32$，$4＞-32$，符合题意；选择②时，$b^2=2^2=4$，$8c=8×4=32$，$4＜32$，不符合题意，$\therefore$ 选择条件①。此时方程为$2x^2-2x-4=0$，整理，得$x^2 -x -2=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$

13. 关于$x$的一元二次方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c)=0$中$a$、$b$、$c$分别是$△ ABC$的三边.
(1) 若$x=-1$是该一元二次方程的一个根,试判断$△ ABC$的形状;
(2) 若该一元二次方程有两个相等的实数根,试判断$△ ABC$的形状;
(3) 若$△ ABC$是等边三角形,试求出这个一元二次方程的根.

(1) $△ ABC$是等腰三角形.理由如下:把$x=-1$代入方程,得$a+c-2b+a-c=0$.$\therefore a=b$. $\therefore △ ABC$是等腰三角形 (2) $△ ABC$是直角三角形.理由如下:根据题意,得$\Delta=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$,即$b^2+c^2=a^2$. $\therefore △ ABC$是直角三角形 (3) $\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore a=b=c$. $\therefore$ 方程可化为$2x^2+2x=0$. 解得$x_1=0$,$x_2=-1$