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1. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象经过原点和点$A(4,0)$.经过点A的直线与该二次函数图象交于点$B(1,3)$,与y轴交于点C.
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标.
(2)点P是二次函数图象上的一个动点,当点P在直线AB上方时,过点P作$PE⊥x$轴,垂足为E,与直线AB交于点D.设点P的横坐标为m.m为何值时,线段PD的长度最大?并求出最大值.
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标.
(2)点P是二次函数图象上的一个动点,当点P在直线AB上方时,过点P作$PE⊥x$轴,垂足为E,与直线AB交于点D.设点P的横坐标为m.m为何值时,线段PD的长度最大?并求出最大值.
答案
1.(1) 二次函数的解析式为 $y=-x^2+4x$.点 C 的坐标为(0,4).
(2) 当 $m=\frac{5}{2}$ 时,线段 PD 的长度最大,最大值为 $\frac{9}{4}$.
(2) 当 $m=\frac{5}{2}$ 时,线段 PD 的长度最大,最大值为 $\frac{9}{4}$.
解析
【分析】
(1) 求二次函数解析式：已知二次函数过原点$O(0,0)$、$A(4,0)$、$B(1,3)$，可先设交点式，代入点$B$的坐标即可求出参数得到解析式；求点$C$坐标：先利用$A$、$B$两点坐标求出直线$AB$的解析式，再令$x=0$，计算对应的$y$值即为点$C$的纵坐标。
(2) 求$PD$的最大值：先根据点$P$的横坐标为$m$，分别用含$m$的代数式表示出点$P$和点$D$的纵坐标，由$P$在直线$AB$上方可知$PD$的长度等于$P$的纵坐标减去$D$的纵坐标，得到$PD$关于$m$的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1) 设二次函数的解析式为$y=ax(x-4)(a≠0)$，
将点$B(1,3)$代入解析式得：$a×1×(1-4)=3$，
解得$a=-1$，
$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=-x(x-4)=-x^2+4x$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$A(4,0)$、$B(1,3)$代入得：
$\begin{cases}4k+b=0\\k+b=3\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$3k=-3$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k+b=3$得：$-1+b=3$，解得$b=4$，
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=-x+4$，
令$x=0$，得$y=4$，$\therefore$ 点$C$的坐标为$(0,4)$。
(2) $\because$ 点$P$的横坐标为$m$，且$P$在二次函数图象上，$PE⊥ x$轴，
$\therefore P(m,-m^2+4m)$，点$D$的横坐标也为$m$，
$\because D$在直线$AB$上，$\therefore D(m,-m+4)$，
$\because$ 点$P$在直线$AB$上方，
$\therefore PD=(-m^2+4m)-(-m+4)=-m^2+5m-4$，
$\because -1＜0$，$\therefore$ 该二次函数开口向下，当$m=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-1)}=\frac{5}{2}$时，$PD$取得最大值，
最大值为$-(\frac{5}{2})^2+5×\frac{5}{2}-4=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) 二次函数的解析式为 $y=-x^2+4x$，点 C 的坐标为$(0,4)$；
(2) 当 $m=\frac{5}{2}$ 时，线段 PD 的长度最大，最大值为 $\frac{9}{4}$。
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 二次函数的最值
3. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，解题的核心是正确用参数表示出动点坐标，将线段长度转化为二次函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，是二次函数综合应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数解析式：已知二次函数过原点$O(0,0)$、$A(4,0)$、$B(1,3)$，可先设交点式，代入点$B$的坐标即可求出参数得到解析式；求点$C$坐标：先利用$A$、$B$两点坐标求出直线$AB$的解析式，再令$x=0$，计算对应的$y$值即为点$C$的纵坐标。
(2) 求$PD$的最大值：先根据点$P$的横坐标为$m$，分别用含$m$的代数式表示出点$P$和点$D$的纵坐标，由$P$在直线$AB$上方可知$PD$的长度等于$P$的纵坐标减去$D$的纵坐标，得到$PD$关于$m$的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1) 设二次函数的解析式为$y=ax(x-4)(a≠0)$，
将点$B(1,3)$代入解析式得：$a×1×(1-4)=3$，
解得$a=-1$，
$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=-x(x-4)=-x^2+4x$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$A(4,0)$、$B(1,3)$代入得：
$\begin{cases}4k+b=0\\k+b=3\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$3k=-3$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k+b=3$得：$-1+b=3$，解得$b=4$，
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=-x+4$，
令$x=0$，得$y=4$，$\therefore$ 点$C$的坐标为$(0,4)$。
(2) $\because$ 点$P$的横坐标为$m$，且$P$在二次函数图象上，$PE⊥ x$轴，
$\therefore P(m,-m^2+4m)$，点$D$的横坐标也为$m$，
$\because D$在直线$AB$上，$\therefore D(m,-m+4)$，
$\because$ 点$P$在直线$AB$上方，
$\therefore PD=(-m^2+4m)-(-m+4)=-m^2+5m-4$，
$\because -1＜0$，$\therefore$ 该二次函数开口向下，当$m=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-1)}=\frac{5}{2}$时，$PD$取得最大值，
最大值为$-(\frac{5}{2})^2+5×\frac{5}{2}-4=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) 二次函数的解析式为 $y=-x^2+4x$，点 C 的坐标为$(0,4)$；
(2) 当 $m=\frac{5}{2}$ 时，线段 PD 的长度最大，最大值为 $\frac{9}{4}$。
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 二次函数的最值
3. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，解题的核心是正确用参数表示出动点坐标，将线段长度转化为二次函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，是二次函数综合应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
2.如图,已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象与x轴交于A,B两点,其中点A的坐标为$(-3,0)$,与y轴交于点C,点$D(-2,-3)$在抛物线上.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)抛物线的对称轴上是否存在点P,使得$△ PAD$的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)抛物线的对称轴上是否存在点P,使得$△ PAD$的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
2.(1) $y=x^2+2x-3$
(2) 存在.点 P 的坐标为(-1,-2).
(2) 存在.点 P 的坐标为(-1,-2).
解析
【分析】
(1) 求二次函数解析式，已知函数表达式为$y=x^2+bx+c$，仅含两个未知系数$b、c$，将已知的抛物线上两点$A(-3,0)$和$D(-2,-3)$代入表达式，得到二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
(2) 要使$△ PAD$周长最小，首先观察周长组成：$C_{△ PAD}=PA+PD+AD$，其中$AD$为定值，因此只需满足$PA+PD$最小即可。由于点$A$和点$B$关于抛物线对称轴对称，根据轴对称性质可得$PA=PB$，因此将$PA+PD$转化为$PB+PD$，根据两点之间线段最短，当$B、P、D$三点共线时$PB+PD$最小，求出直线$BD$与对称轴的交点即为点$P$。
【解析】
(1) 将$A(-3,0)$、$D(-2,-3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}(-3)^2 - 3b + c = 0 \\(-2)^2 - 2b + c = -3\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}9 - 3b + c = 0 \quad \mathrm{①} \\4 - 2b + c = -3 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①$-$②得：$5 - b = 3$，解得$b=2$，
将$b=2$代入①得：$9 - 6 + c = 0$，解得$c=-3$，
因此抛物线对应的函数解析式为$y=x^2+2x-3$。
(2) 存在，求解过程如下：
令$y=0$，即$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，因此点$B$坐标为$(1,0)$。
抛物线$y=x^2+2x-3$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$。
因为点$A$、$B$关于对称轴$x=-1$对称，所以$PA=PB$，则$PA+PD=PB+PD$。
当$B、P、D$三点共线时，$PB+PD$取最小值，此时$△ PAD$周长最小。
设直线$BD$的解析式为$y=kx+m$，将$B(1,0)$、$D(-2,-3)$代入得：
$\begin{cases}k + m = 0 \\-2k + m = -3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1 \\ m=-1 \end{cases}$，因此直线$BD$的解析式为$y=x-1$。
将对称轴$x=-1$代入$y=x-1$，得$y=-1-1=-2$，因此点$P$的坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-3$
(2) 存在，点$P$的坐标为$(-1,-2)$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；最短路径问题
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问是待定系数法的常规应用，属于基础得分点；第二问需要将周长最小问题转化为线段和最小问题，结合轴对称性质求解，是二次函数与几何结合的常考题型，掌握转化思想是解题关键。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数解析式，已知函数表达式为$y=x^2+bx+c$，仅含两个未知系数$b、c$，将已知的抛物线上两点$A(-3,0)$和$D(-2,-3)$代入表达式，得到二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
(2) 要使$△ PAD$周长最小，首先观察周长组成：$C_{△ PAD}=PA+PD+AD$，其中$AD$为定值，因此只需满足$PA+PD$最小即可。由于点$A$和点$B$关于抛物线对称轴对称，根据轴对称性质可得$PA=PB$，因此将$PA+PD$转化为$PB+PD$，根据两点之间线段最短，当$B、P、D$三点共线时$PB+PD$最小，求出直线$BD$与对称轴的交点即为点$P$。
【解析】
(1) 将$A(-3,0)$、$D(-2,-3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}(-3)^2 - 3b + c = 0 \\(-2)^2 - 2b + c = -3\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}9 - 3b + c = 0 \quad \mathrm{①} \\4 - 2b + c = -3 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①$-$②得：$5 - b = 3$，解得$b=2$，
将$b=2$代入①得：$9 - 6 + c = 0$，解得$c=-3$，
因此抛物线对应的函数解析式为$y=x^2+2x-3$。
(2) 存在，求解过程如下：
令$y=0$，即$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，因此点$B$坐标为$(1,0)$。
抛物线$y=x^2+2x-3$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$。
因为点$A$、$B$关于对称轴$x=-1$对称，所以$PA=PB$，则$PA+PD=PB+PD$。
当$B、P、D$三点共线时，$PB+PD$取最小值，此时$△ PAD$周长最小。
设直线$BD$的解析式为$y=kx+m$，将$B(1,0)$、$D(-2,-3)$代入得：
$\begin{cases}k + m = 0 \\-2k + m = -3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1 \\ m=-1 \end{cases}$，因此直线$BD$的解析式为$y=x-1$。
将对称轴$x=-1$代入$y=x-1$，得$y=-1-1=-2$，因此点$P$的坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-3$
(2) 存在，点$P$的坐标为$(-1,-2)$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；最短路径问题
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问是待定系数法的常规应用，属于基础得分点；第二问需要将周长最小问题转化为线段和最小问题，结合轴对称性质求解，是二次函数与几何结合的常考题型，掌握转化思想是解题关键。
【难度系数】
0.7
3.已知抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{2}x+2$ 与x轴交于B,C两点(点B在点C的左侧),与y轴交于点A.
(1)判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
(2)设$P(m,n)$是抛物线在第一象限内的点,过点P作$PH⊥ x$轴,垂足为H,交AC于点Q,设四边形OAPC的面积为S,求S关于m的函数解析式,并求使S最大时点P的坐标和S的最大值.
(1)判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
(2)设$P(m,n)$是抛物线在第一象限内的点,过点P作$PH⊥ x$轴,垂足为H,交AC于点Q,设四边形OAPC的面积为S,求S关于m的函数解析式,并求使S最大时点P的坐标和S的最大值.
答案
3.(1) $△ABC$ 是直角三角形.理由略.
(2) S 关于 m 的函数解析式为 $S=-(m-2)^2+8$,点 P 的坐标为(2,3),S 的最大值为 8.
(2) S 关于 m 的函数解析式为 $S=-(m-2)^2+8$,点 P 的坐标为(2,3),S 的最大值为 8.
解析
【分析】
(1) 要判断△ABC的形状，首先需要求出抛物线与坐标轴的交点A、B、C的坐标，再计算三边长度的平方，利用勾股定理的逆定理验证即可。
(2) 求四边形OAPC的面积可采用分割法，将四边形拆分为△OAP和△OCP两个易计算面积的三角形，用P点的横坐标m分别表示两个三角形的面积，求和后得到S关于m的函数解析式，再利用二次函数的性质求最大值及对应P点的坐标。
【解析】
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
令$x=0$，得$y=2$，
∴A点坐标为$(0,2)$，$OA=2$；
令$y=0$，得$-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{2}x+2=0$，整理得$x^2-3x-4=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$，
∵点B在点C左侧，
∴$B(-1,0)$，$C(4,0)$，$BC=5$。
由勾股定理得：$AB^2=OB^2+OA^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=OC^2+OA^2=4^2+2^2=20$，$BC^2=5^2=25$，
∵$AB^2+AC^2=5+20=25=BC^2$，
∴△ABC是直角三角形。
(2)
∵点$P(m,n)$在第一象限的抛物线上，
∴$n=-\dfrac{1}{2}m^2+\dfrac{3}{2}m+2$（$0＜m＜4$），
四边形OAPC的面积可拆分为$S=S_{△ OAP}+S_{△ OCP}$，
$S_{△ OAP}=\dfrac{1}{2}× OA× m=\dfrac{1}{2}×2× m=m$，
$S_{△ OCP}=\dfrac{1}{2}× OC× n=\dfrac{1}{2}×4× n=2n$，
∴$S=m+2n$，将n代入得：
$S=m+2(-\dfrac{1}{2}m^2+\dfrac{3}{2}m+2)=-m^2+4m+4$，
配方得：$S=-(m-2)^2+8$，
∵二次项系数$-1＜0$，
∴当$m=2$时，S取得最大值8，
此时$n=-\dfrac{1}{2}×2^2+\dfrac{3}{2}×2+2=3$，即P点坐标为$(2,3)$。
【答案】
(1) △ABC是直角三角形；
(2) S关于m的函数解析式为$S=-(m-2)^2+8$，S最大时点P的坐标为$(2,3)$，S的最大值为8。
【知识点】
二次函数交点求解；勾股定理逆定理；二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，第一问将坐标求解和三角形形状判定结合，较为基础；第二问考查了不规则图形面积的分割方法，以及利用二次函数性质求最值，是二次函数综合题的常见考法，掌握面积分割技巧和二次函数最值的求法是解题的关键。
【难度系数】
0.65
(1) 要判断△ABC的形状，首先需要求出抛物线与坐标轴的交点A、B、C的坐标，再计算三边长度的平方，利用勾股定理的逆定理验证即可。
(2) 求四边形OAPC的面积可采用分割法，将四边形拆分为△OAP和△OCP两个易计算面积的三角形，用P点的横坐标m分别表示两个三角形的面积，求和后得到S关于m的函数解析式，再利用二次函数的性质求最大值及对应P点的坐标。
【解析】
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
令$x=0$，得$y=2$，
∴A点坐标为$(0,2)$，$OA=2$；
令$y=0$，得$-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{2}x+2=0$，整理得$x^2-3x-4=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$，
∵点B在点C左侧，
∴$B(-1,0)$，$C(4,0)$，$BC=5$。
由勾股定理得：$AB^2=OB^2+OA^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=OC^2+OA^2=4^2+2^2=20$，$BC^2=5^2=25$，
∵$AB^2+AC^2=5+20=25=BC^2$，
∴△ABC是直角三角形。
(2)
∵点$P(m,n)$在第一象限的抛物线上，
∴$n=-\dfrac{1}{2}m^2+\dfrac{3}{2}m+2$（$0＜m＜4$），
四边形OAPC的面积可拆分为$S=S_{△ OAP}+S_{△ OCP}$，
$S_{△ OAP}=\dfrac{1}{2}× OA× m=\dfrac{1}{2}×2× m=m$，
$S_{△ OCP}=\dfrac{1}{2}× OC× n=\dfrac{1}{2}×4× n=2n$，
∴$S=m+2n$，将n代入得：
$S=m+2(-\dfrac{1}{2}m^2+\dfrac{3}{2}m+2)=-m^2+4m+4$，
配方得：$S=-(m-2)^2+8$，
∵二次项系数$-1＜0$，
∴当$m=2$时，S取得最大值8，
此时$n=-\dfrac{1}{2}×2^2+\dfrac{3}{2}×2+2=3$，即P点坐标为$(2,3)$。
【答案】
(1) △ABC是直角三角形；
(2) S关于m的函数解析式为$S=-(m-2)^2+8$，S最大时点P的坐标为$(2,3)$，S的最大值为8。
【知识点】
二次函数交点求解；勾股定理逆定理；二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，第一问将坐标求解和三角形形状判定结合，较为基础；第二问考查了不规则图形面积的分割方法，以及利用二次函数性质求最值，是二次函数综合题的常见考法，掌握面积分割技巧和二次函数最值的求法是解题的关键。
【难度系数】
0.65
