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4. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 + bx + c$与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且$B(4,0)$，$BC=4\sqrt{2}$。
(1)求抛物线对应的函数解析式。
(2)如图，P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作$PD⊥ x$轴，垂足为D，交BC于点K。记$△ PBC$，$△ BDK$的面积分别为$S_1$，$S_2$，求$S_1 - S_2$的最大值。
(1)求抛物线对应的函数解析式。
(2)如图，P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作$PD⊥ x$轴，垂足为D，交BC于点K。记$△ PBC$，$△ BDK$的面积分别为$S_1$，$S_2$，求$S_1 - S_2$的最大值。
答案
(1) $y=-\frac{1}{2}x^2+x+4$
(2) $\frac{8}{3}$
(2) $\frac{8}{3}$
解析
【分析】
(1) 先利用勾股定理求点C的坐标：已知B点坐标可得OB长度，结合BC长度，在Rt△OBC中算出OC长度，得到C点坐标；再将B、C两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求出b、c的值，得到抛物线解析式。
(2) 先求直线BC的解析式，设点P的横坐标为参数t，用t表示出P、K、D三点的坐标；再分别用含t的式子表示出$S_1$和$S_2$，进而得到$S_1-S_2$关于t的二次函数表达式，最后根据二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1)
∵$B(4,0)$，
∴$OB=4$，
在$Rt△ OBC$中，$∠ COB=90°$，$BC=4\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{BC^2-OB^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-4^2}=\sqrt{16}=4$，
∵C在y轴正半轴，
∴$C(0,4)$。
将$B(4,0)$、$C(0,4)$代入$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=4\\-\frac{1}{2}×16+4b+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=1\\c=4\end{cases}$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+x+4$。
(2) 设直线BC的解析式为$y=kx+m$，将$B(4,0)$、$C(0,4)$代入得：
$\begin{cases}m=4\\4k+m=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\m=4\end{cases}$
∴直线BC的解析式为$y=-x+4$。
设点P的横坐标为$t$（$0＜t＜4$，因P在第一象限抛物线上），则：
$P(t,-\frac{1}{2}t^2+t+4)$，
∵$PD⊥ x$轴，交BC于K，
∴$D(t,0)$，$K(t,-t+4)$，
∴$PK=y_P-y_K=(-\frac{1}{2}t^2+t+4)-(-t+4)=-\frac{1}{2}t^2+2t$，
$BD=4-t$，$DK=y_K=-t+4$。
$S_1=S_{△ PBC}=\frac{1}{2}× PK× OB=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2}t^2+2t)×4=-t^2+4t$，
$S_2=S_{△ BDK}=\frac{1}{2}× BD× DK=\frac{1}{2}(4-t)^2=\frac{1}{2}t^2-4t+8$，
∴$S_1-S_2=(-t^2+4t)-(\frac{1}{2}t^2-4t+8)=-\frac{3}{2}t^2+8t-8$。
该二次函数$a=-\frac{3}{2}＜0$，开口向下，对称轴为$t=-\frac{8}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{8}{3}$，在$0＜t＜4$范围内，
当$t=\frac{8}{3}$时，$S_1-S_2$取最大值：
$-\frac{3}{2}×(\frac{8}{3})^2+8×\frac{8}{3}-8=\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x^2+x+4$
(2) $\frac{8}{3}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数最值；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数与面积的常规综合题，第一问难度较低，考查勾股定理及待定系数法求解析式的基础应用；第二问是典型的面积最值问题，核心是通过参数表示相关点坐标，将面积差转化为二次函数，再利用二次函数性质求最值，解题时需注意参数的取值范围，是二次函数部分的高频考点。
【难度系数】
0.65
(1) 先利用勾股定理求点C的坐标：已知B点坐标可得OB长度，结合BC长度，在Rt△OBC中算出OC长度，得到C点坐标；再将B、C两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求出b、c的值，得到抛物线解析式。
(2) 先求直线BC的解析式，设点P的横坐标为参数t，用t表示出P、K、D三点的坐标；再分别用含t的式子表示出$S_1$和$S_2$，进而得到$S_1-S_2$关于t的二次函数表达式，最后根据二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1)
∵$B(4,0)$，
∴$OB=4$，
在$Rt△ OBC$中，$∠ COB=90°$，$BC=4\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{BC^2-OB^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-4^2}=\sqrt{16}=4$，
∵C在y轴正半轴，
∴$C(0,4)$。
将$B(4,0)$、$C(0,4)$代入$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=4\\-\frac{1}{2}×16+4b+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=1\\c=4\end{cases}$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+x+4$。
(2) 设直线BC的解析式为$y=kx+m$，将$B(4,0)$、$C(0,4)$代入得：
$\begin{cases}m=4\\4k+m=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\m=4\end{cases}$
∴直线BC的解析式为$y=-x+4$。
设点P的横坐标为$t$（$0＜t＜4$，因P在第一象限抛物线上），则：
$P(t,-\frac{1}{2}t^2+t+4)$，
∵$PD⊥ x$轴，交BC于K，
∴$D(t,0)$，$K(t,-t+4)$，
∴$PK=y_P-y_K=(-\frac{1}{2}t^2+t+4)-(-t+4)=-\frac{1}{2}t^2+2t$，
$BD=4-t$，$DK=y_K=-t+4$。
$S_1=S_{△ PBC}=\frac{1}{2}× PK× OB=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2}t^2+2t)×4=-t^2+4t$，
$S_2=S_{△ BDK}=\frac{1}{2}× BD× DK=\frac{1}{2}(4-t)^2=\frac{1}{2}t^2-4t+8$，
∴$S_1-S_2=(-t^2+4t)-(\frac{1}{2}t^2-4t+8)=-\frac{3}{2}t^2+8t-8$。
该二次函数$a=-\frac{3}{2}＜0$，开口向下，对称轴为$t=-\frac{8}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{8}{3}$，在$0＜t＜4$范围内，
当$t=\frac{8}{3}$时，$S_1-S_2$取最大值：
$-\frac{3}{2}×(\frac{8}{3})^2+8×\frac{8}{3}-8=\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x^2+x+4$
(2) $\frac{8}{3}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数最值；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数与面积的常规综合题，第一问难度较低，考查勾股定理及待定系数法求解析式的基础应用；第二问是典型的面积最值问题，核心是通过参数表示相关点坐标，将面积差转化为二次函数，再利用二次函数性质求最值，解题时需注意参数的取值范围，是二次函数部分的高频考点。
【难度系数】
0.65
5. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=x^2+mx+n$经过点$A(3,0),B(0,-3)$,点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.
(1)分别求出直线AB和抛物线的解析式.
(2)若点P在第四象限,连接AM,BM,当线段PM最长时,求$△ ABM$的面积.
(3)是否存在这样的点P,使得以点P,M,B,O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
(1)分别求出直线AB和抛物线的解析式.
(2)若点P在第四象限,连接AM,BM,当线段PM最长时,求$△ ABM$的面积.
(3)是否存在这样的点P,使得以点P,M,B,O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
答案
5.(1) 直线 AB 的解析式是 $y=x-3$,抛物线的解析式是 $y=x^2-2x-3$.
(2) $\frac{27}{8}$
(3) 存在.点 P 的横坐标是 $\frac{3-\sqrt{21}}{2}$ 或 $\frac{3+\sqrt{21}}{2}$.
(2) $\frac{27}{8}$
(3) 存在.点 P 的横坐标是 $\frac{3-\sqrt{21}}{2}$ 或 $\frac{3+\sqrt{21}}{2}$.
解析
【分析】
(1) 求直线和抛物线的解析式可使用待定系数法：将已知点A、B的坐标分别代入一次函数和二次函数的一般式，解方程组即可得到对应系数，进而得到解析式。
(2) 先根据P的横坐标t表示出P、M的坐标，用P的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长度表达式，将其化为顶点式即可找到PM最长时t的值；△ABM的面积可拆分为△BPM和△APM的面积和，两个三角形共底PM，高的和为点A的横坐标3，代入PM的最大值即可求出面积。
(3) 由OB和PM都平行于y轴，可知只需PM长度等于OB长度（OB=3），即可构成平行四边形，列绝对值方程求解，舍去无解的情况即可得到P的横坐标。
【解析】
(1) 设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$、$B(0,-3)$代入得：
$\begin{cases}3k+b=0\\b=-3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-3\end{cases}$，故直线AB的解析式为$y=x-3$。
将$A(3,0)$、$B(0,-3)$代入抛物线$y=x^2+mx+n$得：
$\begin{cases}9+3m+n=0\\n=-3\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-2\\n=-3\end{cases}$，故抛物线的解析式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 由点P的横坐标为$t$，得$P(t,t-3)$，$M(t,t^2-2t-3)$。
∵P在第四象限，
∴$PM=(t-3)-(t^2-2t-3)=-t^2+3t=-(t-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$
当$t=\frac{3}{2}$时，$PM$取得最大值$\frac{9}{4}$。
此时$S_{△ ABM}=S_{△ BPM}+S_{△ APM}=\frac{1}{2}× PM× t+\frac{1}{2}× PM×(3-t)=\frac{1}{2}× PM×3=\frac{1}{2}×\frac{9}{4}×3=\frac{27}{8}$。
(3) 存在，理由如下：
∵$OB// PM$（均平行于y轴），
∴当$PM=OB=3$时，以P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形。
即$\left|-t^2+3t\right|=3$：
① 当$-t^2+3t=3$时，$t^2-3t+3=0$，$\Delta=9-12=-3＜0$，无实根；
② 当$-t^2+3t=-3$时，$t^2-3t-3=0$，解得$t=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}$。
故点P的横坐标为$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$或$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$。
【答案】
(1) 直线AB的解析式是 $y=x-3$，抛物线的解析式是 $y=x^2-2x-3$；
(2) $\frac{27}{8}$；
(3) 存在，点P的横坐标是 $\frac{3-\sqrt{21}}{2}$ 或 $\frac{3+\sqrt{21}}{2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，平行四边形的判定
【点评】
本题是二次函数与一次函数、几何图形的综合题，解题时需结合坐标表示线段长度，注意分类讨论思想在平行四边形判定中的应用，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求直线和抛物线的解析式可使用待定系数法：将已知点A、B的坐标分别代入一次函数和二次函数的一般式，解方程组即可得到对应系数，进而得到解析式。
(2) 先根据P的横坐标t表示出P、M的坐标，用P的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长度表达式，将其化为顶点式即可找到PM最长时t的值；△ABM的面积可拆分为△BPM和△APM的面积和，两个三角形共底PM，高的和为点A的横坐标3，代入PM的最大值即可求出面积。
(3) 由OB和PM都平行于y轴，可知只需PM长度等于OB长度（OB=3），即可构成平行四边形，列绝对值方程求解，舍去无解的情况即可得到P的横坐标。
【解析】
(1) 设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$、$B(0,-3)$代入得：
$\begin{cases}3k+b=0\\b=-3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-3\end{cases}$，故直线AB的解析式为$y=x-3$。
将$A(3,0)$、$B(0,-3)$代入抛物线$y=x^2+mx+n$得：
$\begin{cases}9+3m+n=0\\n=-3\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-2\\n=-3\end{cases}$，故抛物线的解析式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 由点P的横坐标为$t$，得$P(t,t-3)$，$M(t,t^2-2t-3)$。
∵P在第四象限，
∴$PM=(t-3)-(t^2-2t-3)=-t^2+3t=-(t-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$
当$t=\frac{3}{2}$时，$PM$取得最大值$\frac{9}{4}$。
此时$S_{△ ABM}=S_{△ BPM}+S_{△ APM}=\frac{1}{2}× PM× t+\frac{1}{2}× PM×(3-t)=\frac{1}{2}× PM×3=\frac{1}{2}×\frac{9}{4}×3=\frac{27}{8}$。
(3) 存在，理由如下：
∵$OB// PM$（均平行于y轴），
∴当$PM=OB=3$时，以P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形。
即$\left|-t^2+3t\right|=3$：
① 当$-t^2+3t=3$时，$t^2-3t+3=0$，$\Delta=9-12=-3＜0$，无实根；
② 当$-t^2+3t=-3$时，$t^2-3t-3=0$，解得$t=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}$。
故点P的横坐标为$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$或$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$。
【答案】
(1) 直线AB的解析式是 $y=x-3$，抛物线的解析式是 $y=x^2-2x-3$；
(2) $\frac{27}{8}$；
(3) 存在，点P的横坐标是 $\frac{3-\sqrt{21}}{2}$ 或 $\frac{3+\sqrt{21}}{2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，平行四边形的判定
【点评】
本题是二次函数与一次函数、几何图形的综合题，解题时需结合坐标表示线段长度，注意分类讨论思想在平行四边形判定中的应用，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
