8.(教材P61复习题T7变式)某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的.每个柱形喷泉装置上都有上、下两个喷头,这两个喷头朝向一致,喷出的水流均呈抛物线形.当围观游人喊声较小时,下喷头喷水;当围观游人喊声较大时,上下两个喷头都喷水.如图所示,点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头,A喷头喷出的水流的落地点为C.以O为原点,以OC所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.(柱形喷泉装置的粗细忽略不计)
已知$OA=1\ \mathrm{m},OB=2\ \mathrm{m},OC=3\ \mathrm{m}$,从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度$y$(单位:m)与水平距离$x$(单位:m)之间的关系式分别是$y=-\frac{1}{3}x^2 + bx + c$和$y=-\frac{1}{3}x^2 + bx + c'$.

(1)求A喷头喷出的水流的最大高度.
(2)一名游客站在点D处,$OD=4\ \mathrm{m}$.当围观游人喊声较大时,B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处?

(1)$\frac{4}{3}\ \mathrm{m}$
(2)不会

【分析】
(1) 要求A喷头喷出水流的最大高度，首先需要确定A对应的二次函数解析式。已知A点坐标为$(0,1)$，落地点C坐标为$(3,0)$，将两点代入A的函数表达式，用待定系数法求出$b$、$c$的值，再将解析式化为顶点式即可得到最大高度。
(2) 判断B喷头水流是否落在D处，先确定B对应的函数解析式：B点坐标为$(0,2)$，且B的函数与A的二次项、一次项系数相同，代入可求出$c'$得到解析式，再将$x=4$代入解析式计算$y$值，若$y≤0$则说明水流在$x=4$处已落到地面下方，不会落在D处。
【解析】
(1) 由题意可知，A点坐标为$(0,1)$，C点坐标为$(3,0)$，将两点代入$y=-\frac{1}{3}x^2 + bx + c$：
当$x=0$时，$y=1$，解得$c=1$；
将$(3,0)$和$c=1$代入表达式：
$0=-\frac{1}{3}×3^2 + 3b +1$
$0=-3 +3b +1$
解得$b=\frac{2}{3}$。
因此A喷头的水流解析式为$y=-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x +1$，将其化为顶点式：
$y=-\frac{1}{3}(x^2-2x) +1 = -\frac{1}{3}(x-1)^2 + \frac{4}{3}$
因为二次项系数$-\frac{1}{3}＜0$，所以当$x=1$时，$y$取得最大值$\frac{4}{3}$，即A喷头喷出水流的最大高度为$\frac{4}{3}\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意，B喷头函数的一次项系数与A相同，即$b=\frac{2}{3}$，B点坐标为$(0,2)$，代入$y=-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + c'$：
当$x=0$时，$y=2$，解得$c'=2$，因此B喷头的水流解析式为$y=-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x +2$。
D点横坐标为$x=4$，代入解析式得：
$y=-\frac{1}{3}×4^2 + \frac{2}{3}×4 +2 = -\frac{16}{3} + \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{2}{3} ＜0$
说明当水平距离为4m时，水流高度已低于地面，因此B喷头喷出的水流不会落在点D处。
【答案】
(1)$\frac{4}{3}\ \mathrm{m}$
(2)不会
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合喷泉的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际坐标代入函数表达式求出解析式，再利用二次函数的性质求解对应问题，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7