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4.某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为$y=-\frac{1}{18}x^2$，当水面宽度为12 m时，水面与桥拱顶之间的距离为
2
m.答案
4. 2
解析
【分析】
首先明确桥拱对应的抛物线顶点在坐标原点，且抛物线关于y轴对称。已知水面宽度为12m，根据对称性可知水面左右端点的横坐标分别为-6和6，将端点横坐标代入抛物线解析式求出对应的纵坐标，纵坐标的绝对值就是水面与桥拱顶的距离。
【解析】
∵ 抛物线$y=-\frac{1}{18}x^2$关于y轴对称，水面宽度为12 m
∴ 水面右端点的横坐标为$12÷2=6$
将$x=6$代入$y=-\frac{1}{18}x^2$，得：
$y=-\frac{1}{18}×6^2=-\frac{1}{18}×36=-2$
桥拱顶在原点$(0,0)$，因此水面与桥拱顶的距离为$|-2|=2\ \mathrm{m}$
【答案】
2
【知识点】
二次函数实际应用；抛物线的对称性；坐标求距离
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题，解题核心是利用抛物线的对称性快速确定水面端点的横坐标，再代入解析式计算即可，考查学生对二次函数基本性质的运用能力。
【难度系数】
0.8
首先明确桥拱对应的抛物线顶点在坐标原点，且抛物线关于y轴对称。已知水面宽度为12m，根据对称性可知水面左右端点的横坐标分别为-6和6，将端点横坐标代入抛物线解析式求出对应的纵坐标，纵坐标的绝对值就是水面与桥拱顶的距离。
【解析】
∵ 抛物线$y=-\frac{1}{18}x^2$关于y轴对称，水面宽度为12 m
∴ 水面右端点的横坐标为$12÷2=6$
将$x=6$代入$y=-\frac{1}{18}x^2$，得：
$y=-\frac{1}{18}×6^2=-\frac{1}{18}×36=-2$
桥拱顶在原点$(0,0)$，因此水面与桥拱顶的距离为$|-2|=2\ \mathrm{m}$
【答案】
2
【知识点】
二次函数实际应用；抛物线的对称性；坐标求距离
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题，解题核心是利用抛物线的对称性快速确定水面端点的横坐标，再代入解析式计算即可，考查学生对二次函数基本性质的运用能力。
【难度系数】
0.8
5.一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m，宽为2 m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6 m，建立如图所示的平面直角坐标系。
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)该隧道内设双行道，中间隔离带宽1 m，一辆高4 m，宽2.5 m的货车能否安全通过？为什么？
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)该隧道内设双行道，中间隔离带宽1 m，一辆高4 m，宽2.5 m的货车能否安全通过？为什么？
答案
5. (1)$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$
(2)不能安全通过. 理由略.
(2)不能安全通过. 理由略.
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式时，首先根据题意确定抛物线的顶点坐标：最高点P在AB中央，距地面6m，AB长8m，因此顶点P坐标为(4,6)，可设抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，再代入已知点A(0,2)即可求出未知系数a，得到解析式。
(2) 判断货车能否安全通过，需先求出当高度为4m时，抛物线对应的水平宽度，再结合双行道、中间1m隔离带的限制，计算单侧车道在该高度处的有效通行宽度，将其和货车宽度2.5m比较即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得，长方形的宽OA=2m，因此A点坐标为(0,2)；抛物线顶点P为AB中点，距地面高度为6m，因此顶点P坐标为(4,6)。
设抛物线解析式为顶点式$y=a(x-4)^2+6$（$a\ne0$），将A(0,2)代入解析式：
$2=a(0-4)^2+6$
解得$a=-\frac{1}{4}$
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$（$0≤ x≤8$）。
(2) 货车不能安全通过，理由如下：
当车高为4m时，令$y=4$，代入抛物线解析式：
$4=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$
整理得$(x-4)^2=8$，解得$x_1=4-2\sqrt{2}$，$x_2=4+2\sqrt{2}$。
此时隧道内高度4m处的总水平宽度为$x_2-x_1=4\sqrt{2}\approx5.656$m。
已知隧道为双行道，中间隔离带宽1m，因此单侧车道的有效通行宽度为$\frac{4\sqrt{2}-1}{2}\approx2.328$m。
因为$2.328＜2.5$，所以该货车不能安全通过。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$
(2)不能安全通过
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用
【点评】
本题结合隧道通行的实际场景考查二次函数的应用，解题关键是结合已知条件选择合适的解析式形式，再根据实际限制条件计算比较对应量，能有效考查学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求解抛物线解析式时，首先根据题意确定抛物线的顶点坐标：最高点P在AB中央，距地面6m，AB长8m，因此顶点P坐标为(4,6)，可设抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，再代入已知点A(0,2)即可求出未知系数a，得到解析式。
(2) 判断货车能否安全通过，需先求出当高度为4m时，抛物线对应的水平宽度，再结合双行道、中间1m隔离带的限制，计算单侧车道在该高度处的有效通行宽度，将其和货车宽度2.5m比较即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得，长方形的宽OA=2m，因此A点坐标为(0,2)；抛物线顶点P为AB中点，距地面高度为6m，因此顶点P坐标为(4,6)。
设抛物线解析式为顶点式$y=a(x-4)^2+6$（$a\ne0$），将A(0,2)代入解析式：
$2=a(0-4)^2+6$
解得$a=-\frac{1}{4}$
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$（$0≤ x≤8$）。
(2) 货车不能安全通过，理由如下：
当车高为4m时，令$y=4$，代入抛物线解析式：
$4=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$
整理得$(x-4)^2=8$，解得$x_1=4-2\sqrt{2}$，$x_2=4+2\sqrt{2}$。
此时隧道内高度4m处的总水平宽度为$x_2-x_1=4\sqrt{2}\approx5.656$m。
已知隧道为双行道，中间隔离带宽1m，因此单侧车道的有效通行宽度为$\frac{4\sqrt{2}-1}{2}\approx2.328$m。
因为$2.328＜2.5$，所以该货车不能安全通过。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$
(2)不能安全通过
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用
【点评】
本题结合隧道通行的实际场景考查二次函数的应用，解题关键是结合已知条件选择合适的解析式形式，再根据实际限制条件计算比较对应量，能有效考查学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.65
6.(2025·广东)如图,某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km,主塔高0.27 km,主缆可视为抛物线,主缆垂度0.178 5 km,主缆最低处距离桥面0.001 5 km,桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系,并求该抛物线的解析式.
答案
6. (答案不唯一)图略. $y=\frac{21}{85}x^2+0.0015(-0.85≤ x≤ 0.85)$.
解析
【分析】
为简化计算，优先选择抛物线的对称轴为y轴，取桥面所在水平线为x轴，主跨对称轴与桥面的交点为坐标原点，此时抛物线顶点在y轴上，可直接使用顶点式设解析式。再根据主跨长度确定抛物线上端点的横坐标，结合垂度求出端点的纵坐标，代入解析式求出未知系数即可。
【解析】
解：建立平面直角坐标系：以桥面所在水平线为x轴，主跨的垂直平分线为y轴，两轴交点为原点，向上为y轴正方向，向右为x轴正方向。
由题意得，抛物线的顶点（主缆最低处）坐标为$(0,0.0015)$，因此设抛物线解析式为$y=ax^2+0.0015(a≠0)$。
主跨长1.7km，因此主塔处的横坐标为$x=\pm\frac{1.7}{2}=\pm0.85$；
主缆垂度为0.1785km，因此主塔处主缆的纵坐标为$0.1785+0.0015=0.18$，即点$(0.85,0.18)$在抛物线上。
将$(0.85,0.18)$代入解析式得：
$0.18=a×(0.85)^2+0.0015$
解得$a=\frac{0.18-0.0015}{0.85^2}=\frac{0.1785}{0.7225}=\frac{21}{85}$
结合主跨实际范围，自变量x的取值为$-0.85≤ x≤0.85$。
【答案】
$y=\frac{21}{85}x^2+0.0015(-0.85≤ x≤ 0.85)$（坐标系建立方式不唯一，对应解析式合理即可）
【知识点】
二次函数的实际应用、待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的典型题，核心是选择合适的坐标系降低计算难度，求解后注意结合实际意义标注自变量的取值范围。
【难度系数】
0.65
为简化计算，优先选择抛物线的对称轴为y轴，取桥面所在水平线为x轴，主跨对称轴与桥面的交点为坐标原点，此时抛物线顶点在y轴上，可直接使用顶点式设解析式。再根据主跨长度确定抛物线上端点的横坐标，结合垂度求出端点的纵坐标，代入解析式求出未知系数即可。
【解析】
解：建立平面直角坐标系：以桥面所在水平线为x轴，主跨的垂直平分线为y轴，两轴交点为原点，向上为y轴正方向，向右为x轴正方向。
由题意得，抛物线的顶点（主缆最低处）坐标为$(0,0.0015)$，因此设抛物线解析式为$y=ax^2+0.0015(a≠0)$。
主跨长1.7km，因此主塔处的横坐标为$x=\pm\frac{1.7}{2}=\pm0.85$；
主缆垂度为0.1785km，因此主塔处主缆的纵坐标为$0.1785+0.0015=0.18$，即点$(0.85,0.18)$在抛物线上。
将$(0.85,0.18)$代入解析式得：
$0.18=a×(0.85)^2+0.0015$
解得$a=\frac{0.18-0.0015}{0.85^2}=\frac{0.1785}{0.7225}=\frac{21}{85}$
结合主跨实际范围，自变量x的取值为$-0.85≤ x≤0.85$。
【答案】
$y=\frac{21}{85}x^2+0.0015(-0.85≤ x≤ 0.85)$（坐标系建立方式不唯一，对应解析式合理即可）
【知识点】
二次函数的实际应用、待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的典型题，核心是选择合适的坐标系降低计算难度，求解后注意结合实际意义标注自变量的取值范围。
【难度系数】
0.65
7.某班在进行掷实心球测试，一名男生在掷实心球时，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度$y$（单位：m）与水平距离$x$（单位：m）之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为2 m，当水平距离为4.5 m时，实心球行进至最高点$\frac{25}{8}$ m处。
(1)求$y$关于$x$的函数解析式。
(2)男生在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4 m，此项考试可得满分。按此评分标准，该生在此项考试中是否能得到满分？请说明理由。
(1)求$y$关于$x$的函数解析式。
(2)男生在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4 m，此项考试可得满分。按此评分标准，该生在此项考试中是否能得到满分？请说明理由。
答案
7. (1)$y=-\frac{1}{18}(x-\frac{9}{2})^2+\frac{25}{8}$
(2)该生在此项考试中不能得到满分. 理由略.
(2)该生在此项考试中不能得到满分. 理由略.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点坐标为$(\frac{9}{2},\frac{25}{8})$，因此选择顶点式设二次函数解析式，再代入起点坐标$(0,2)$即可求出未知参数$a$，得到函数解析式。
(2) 实心球落地时高度$y=0$，令解析式中$y=0$，求解得到正的$x$值即为落地点的水平距离，将该值与$12.4m$比较大小，即可判断是否能得满分。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的二次函数解析式为$y=a(x-\frac{9}{2})^2+\frac{25}{8} \ (a≠0)$。
将$x=0$，$y=2$代入解析式，得：
$2=a×(0-\frac{9}{2})^2+\frac{25}{8}$
整理得：$\frac{81}{4}a=-\frac{9}{8}$
解得：$a=-\frac{1}{18}$
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=-\frac{1}{18}(x-\frac{9}{2})^2+\frac{25}{8}$。
(2) 令$y=0$，代入解析式得：
$0=-\frac{1}{18}(x-\frac{9}{2})^2+\frac{25}{8}$
移项整理得：$(x-\frac{9}{2})^2=\frac{225}{4}$
开平方得：$x-\frac{9}{2}=\pm\frac{15}{2}$
解得：$x_1=12$，$x_2=-3$（不符合实际情况，舍去）。
即实心球落地点的水平距离为$12m$，因为$12＜12.4$，所以该生不能得到满分。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{18}(x-\frac{9}{2})^2+\frac{25}{8}$
(2)该生在此项考试中不能得到满分。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数实际应用
【点评】
本题结合掷实心球的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是根据已知条件选择合适的形式设函数解析式，求解时注意结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线的顶点坐标为$(\frac{9}{2},\frac{25}{8})$，因此选择顶点式设二次函数解析式，再代入起点坐标$(0,2)$即可求出未知参数$a$，得到函数解析式。
(2) 实心球落地时高度$y=0$，令解析式中$y=0$，求解得到正的$x$值即为落地点的水平距离，将该值与$12.4m$比较大小，即可判断是否能得满分。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的二次函数解析式为$y=a(x-\frac{9}{2})^2+\frac{25}{8} \ (a≠0)$。
将$x=0$，$y=2$代入解析式，得：
$2=a×(0-\frac{9}{2})^2+\frac{25}{8}$
整理得：$\frac{81}{4}a=-\frac{9}{8}$
解得：$a=-\frac{1}{18}$
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=-\frac{1}{18}(x-\frac{9}{2})^2+\frac{25}{8}$。
(2) 令$y=0$，代入解析式得：
$0=-\frac{1}{18}(x-\frac{9}{2})^2+\frac{25}{8}$
移项整理得：$(x-\frac{9}{2})^2=\frac{225}{4}$
开平方得：$x-\frac{9}{2}=\pm\frac{15}{2}$
解得：$x_1=12$，$x_2=-3$（不符合实际情况，舍去）。
即实心球落地点的水平距离为$12m$，因为$12＜12.4$，所以该生不能得到满分。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{18}(x-\frac{9}{2})^2+\frac{25}{8}$
(2)该生在此项考试中不能得到满分。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数实际应用
【点评】
本题结合掷实心球的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是根据已知条件选择合适的形式设函数解析式，求解时注意结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
