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·练习 某大学的校门(如图所示)是抛物线形水泥建筑物，大门的宽度为8 m，两侧距地面4 m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，那么校门的高是
温馨提示 同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式.通常应使已知点在坐标轴上.
$\frac{64}{7}$
m.温馨提示 同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式.通常应使已知点在坐标轴上.
答案
$\frac{64}{7}$
解析
【分析】
这是一道二次函数的实际应用问题，解题的核心是建立合适的平面直角坐标系简化计算。我们可以选择大门底部的中点为坐标原点，地面为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，此时抛物线的对称轴为y轴，可将解析式设为最简形式$y=ax^2+c(a≠0)$。接下来从题干中提取已知点的坐标：大门底部宽8m，因此底部与x轴的交点为$(4,0)$；两侧铁环距地面4m、水平距离6m，因此铁环所在点为$(3,4)$。将两个点代入解析式求解参数，顶点的纵坐标就是校门的高度。
【解析】
解：以大门底部中点为原点，地面所在直线为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系，此时抛物线对称轴为y轴，设抛物线的解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。
由题意可知：
1. 大门底部宽8m，故抛物线过点$(4,0)$，代入得：
$0=a×4^2 + c$，即$16a + c = 0$ ①
2. 铁环距地面4m，两铁环水平距离6m，故抛物线过点$(3,4)$，代入得：
$4=a×3^2 + c$，即$9a + c = 4$ ②
用①式减去②式得：$7a = -4$，解得$a=-\frac{4}{7}$。
将$a=-\frac{4}{7}$代入①式：$16×(-\frac{4}{7}) + c = 0$，解得$c=\frac{64}{7}$。
抛物线顶点坐标为$(0,\frac{64}{7})$，即校门的高度为$\frac{64}{7}$m。
【答案】
$\frac{64}{7}$
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，让抛物线对称轴与坐标轴重合，最大程度简化解析式的求解过程，再结合待定系数法求出参数即可得到所求高度，对学生的建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
这是一道二次函数的实际应用问题，解题的核心是建立合适的平面直角坐标系简化计算。我们可以选择大门底部的中点为坐标原点，地面为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，此时抛物线的对称轴为y轴，可将解析式设为最简形式$y=ax^2+c(a≠0)$。接下来从题干中提取已知点的坐标：大门底部宽8m，因此底部与x轴的交点为$(4,0)$；两侧铁环距地面4m、水平距离6m，因此铁环所在点为$(3,4)$。将两个点代入解析式求解参数，顶点的纵坐标就是校门的高度。
【解析】
解：以大门底部中点为原点，地面所在直线为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系，此时抛物线对称轴为y轴，设抛物线的解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。
由题意可知：
1. 大门底部宽8m，故抛物线过点$(4,0)$，代入得：
$0=a×4^2 + c$，即$16a + c = 0$ ①
2. 铁环距地面4m，两铁环水平距离6m，故抛物线过点$(3,4)$，代入得：
$4=a×3^2 + c$，即$9a + c = 4$ ②
用①式减去②式得：$7a = -4$，解得$a=-\frac{4}{7}$。
将$a=-\frac{4}{7}$代入①式：$16×(-\frac{4}{7}) + c = 0$，解得$c=\frac{64}{7}$。
抛物线顶点坐标为$(0,\frac{64}{7})$，即校门的高度为$\frac{64}{7}$m。
【答案】
$\frac{64}{7}$
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，让抛物线对称轴与坐标轴重合，最大程度简化解析式的求解过程，再结合待定系数法求出参数即可得到所求高度，对学生的建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1.某公路隧道的截面为抛物线形，如图为其截面示意图.线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.若OA = 12 m，抛物线的顶点P到OA的距离为9 m，则抛物线对应的函数解析式为(
A.$y=-\dfrac{1}{9}(x+6)^2+9$
B.$y=-\dfrac{1}{9}(x-6)^2+9$
C.$y=-\dfrac{1}{4}(x+6)^2+9$
D.$y=-\dfrac{1}{4}(x-6)^2+9$
D
).A.$y=-\dfrac{1}{9}(x+6)^2+9$
B.$y=-\dfrac{1}{9}(x-6)^2+9$
C.$y=-\dfrac{1}{4}(x+6)^2+9$
D.$y=-\dfrac{1}{4}(x-6)^2+9$
答案
1. D
解析
【分析】
要确定抛物线的函数解析式，首先结合已知条件找出抛物线的顶点坐标，由于已知顶点信息，优先选用顶点式设解析式，再代入抛物线上的已知点求出未知系数，最终得到解析式后匹配选项即可。第一步，由OA=12m可知抛物线过(0,0)和(12,0)两点，因此抛物线的对称轴为x=6，结合顶点P到OA的距离为9m，可得顶点P的坐标为(6,9)；第二步，设抛物线的顶点式为y=a(x-h)²+k，代入顶点坐标简化解析式；第三步，将原点(0,0)代入解析式求出系数a，即可得到最终解析式。
【解析】
解：
∵OA=12m，路面OA在x轴上，
∴抛物线过点O(0,0)和A(12,0)，抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+12}{2}=6$。
∵顶点P到OA的距离为9m，
∴顶点P的坐标为(6,9)。
设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），将顶点(6,9)代入得：
$y=a(x-6)^2+9$
将点O(0,0)代入上式：
$0=a×(0-6)^2+9$
$0=36a+9$
解得$a=-\frac{1}{4}$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{4}(x-6)^2+9$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的顶点式；二次函数的实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际几何问题中的应用，解题核心是根据题干信息准确获取顶点坐标，选择合适的解析式形式简化计算，掌握待定系数法求解析式的步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线的函数解析式，首先结合已知条件找出抛物线的顶点坐标，由于已知顶点信息，优先选用顶点式设解析式，再代入抛物线上的已知点求出未知系数，最终得到解析式后匹配选项即可。第一步，由OA=12m可知抛物线过(0,0)和(12,0)两点，因此抛物线的对称轴为x=6，结合顶点P到OA的距离为9m，可得顶点P的坐标为(6,9)；第二步，设抛物线的顶点式为y=a(x-h)²+k，代入顶点坐标简化解析式；第三步，将原点(0,0)代入解析式求出系数a，即可得到最终解析式。
【解析】
解：
∵OA=12m，路面OA在x轴上，
∴抛物线过点O(0,0)和A(12,0)，抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+12}{2}=6$。
∵顶点P到OA的距离为9m，
∴顶点P的坐标为(6,9)。
设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），将顶点(6,9)代入得：
$y=a(x-6)^2+9$
将点O(0,0)代入上式：
$0=a×(0-6)^2+9$
$0=36a+9$
解得$a=-\frac{1}{4}$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{4}(x-6)^2+9$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的顶点式；二次函数的实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际几何问题中的应用，解题核心是根据题干信息准确获取顶点坐标，选择合适的解析式形式简化计算，掌握待定系数法求解析式的步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
2.如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度(即OB的长度)是1 m，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为8 m时，达到最大高度1.8 m，则水流喷射的最远水平距离OC的长为(
A.20 m
B.18 m
C.10 m
D.8 m
A
).A.20 m
B.18 m
C.10 m
D.8 m
答案
2. A
解析
【分析】
这是二次函数解决实际问题的题型，解题思路如下：第一步，根据已知抛物线的顶点坐标(8,1.8)，优先选择顶点式设抛物线的解析式；第二步，将已知点B(0,1)代入解析式，求出未知系数a，确定抛物线的完整解析式；第三步，水流落地时高度y=0，令解析式中y=0，求解对应的x的正数值，即为OC的长度。
【解析】
由题意可知，抛物线的顶点坐标为(8, 1.8)，且过点B(0, 1)。
设抛物线的解析式为顶点式：$y = a(x - 8)^2 + 1.8$（$a ≠ 0$）
将点B(0, 1)代入解析式得：
$1 = a(0 - 8)^2 + 1.8$
化简得：$64a = 1 - 1.8 = -0.8$
解得：$a = -\frac{1}{80}$
因此抛物线解析式为：$y = -\frac{1}{80}(x - 8)^2 + 1.8$
水流喷射到最远点C时，高度$y = 0$，令$y = 0$，则：
$0 = -\frac{1}{80}(x - 8)^2 + 1.8$
移项得：$(x - 8)^2 = 1.8 × 80 = 144$
开平方得：$x - 8 = \pm 12$
解得：$x_1 = 20$，$x_2 = -4$（水平距离为正，舍去）
所以OC的长度为20m。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数顶点式；二次函数与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的常见应用题型，解题的核心是结合已知条件选择合适的形式设二次函数解析式，再通过代入点坐标求解析式，最后结合实际意义求解对应自变量的值，掌握二次函数的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
这是二次函数解决实际问题的题型，解题思路如下：第一步，根据已知抛物线的顶点坐标(8,1.8)，优先选择顶点式设抛物线的解析式；第二步，将已知点B(0,1)代入解析式，求出未知系数a，确定抛物线的完整解析式；第三步，水流落地时高度y=0，令解析式中y=0，求解对应的x的正数值，即为OC的长度。
【解析】
由题意可知，抛物线的顶点坐标为(8, 1.8)，且过点B(0, 1)。
设抛物线的解析式为顶点式：$y = a(x - 8)^2 + 1.8$（$a ≠ 0$）
将点B(0, 1)代入解析式得：
$1 = a(0 - 8)^2 + 1.8$
化简得：$64a = 1 - 1.8 = -0.8$
解得：$a = -\frac{1}{80}$
因此抛物线解析式为：$y = -\frac{1}{80}(x - 8)^2 + 1.8$
水流喷射到最远点C时，高度$y = 0$，令$y = 0$，则：
$0 = -\frac{1}{80}(x - 8)^2 + 1.8$
移项得：$(x - 8)^2 = 1.8 × 80 = 144$
开平方得：$x - 8 = \pm 12$
解得：$x_1 = 20$，$x_2 = -4$（水平距离为正，舍去）
所以OC的长度为20m。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数顶点式；二次函数与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的常见应用题型，解题的核心是结合已知条件选择合适的形式设二次函数解析式，再通过代入点坐标求解析式，最后结合实际意义求解对应自变量的值，掌握二次函数的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
3.某游乐场的圆形喷水池中心O处有一雕塑OA,从点A向四周喷水,喷出的水柱为抛物线,且形状相同.如图,以水平方向为x轴,点O为原点建立平面直角坐标系,点A在y轴上,x轴上的点C,D为水柱的落水点,水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为$y=-\frac{1}{6}(x-5)^2+6$,则CD的长为(
A.18 m
B.20 m
C.22 m
D.30 m
C
).A.18 m
B.20 m
C.22 m
D.30 m
答案
3. C
解析
【分析】
要计算CD的长度，已知水柱关于y轴对称，因此CD=2OD，只需先求出右侧落水点D的横坐标即可。D点是第一象限内抛物线与x轴的交点，即当y=0时x的正数值，求出OD长度后，结合对称性即可得到CD的总长。
【解析】
当水柱落到x轴上时，y=0，将y=0代入第一象限部分的抛物线解析式$y=-\frac{1}{6}(x-5)^2+6$，得：
$0=-\frac{1}{6}(x-5)^2+6$
移项整理得：$(x-5)^2=36$
开平方得：$x-5=\pm6$
解得$x_1=11$，$x_2=-1$
由于D点在x轴正半轴，因此D点坐标为$(11,0)$，即$OD=11\ \mathrm{m}$。
因为从A点喷出的水柱形状相同，且关于y轴对称，所以左侧落水点C到原点O的距离$OC=OD=11\ \mathrm{m}$。
因此$CD=OC+OD=11+11=22\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数与坐标轴的交点；抛物线的对称性
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题的关键是明确落水点对应函数值y=0的情况，再结合抛物线的对称性即可快速求出结果，注意舍去不符合取值范围的解。
【难度系数】
0.7
要计算CD的长度，已知水柱关于y轴对称，因此CD=2OD，只需先求出右侧落水点D的横坐标即可。D点是第一象限内抛物线与x轴的交点，即当y=0时x的正数值，求出OD长度后，结合对称性即可得到CD的总长。
【解析】
当水柱落到x轴上时，y=0，将y=0代入第一象限部分的抛物线解析式$y=-\frac{1}{6}(x-5)^2+6$，得：
$0=-\frac{1}{6}(x-5)^2+6$
移项整理得：$(x-5)^2=36$
开平方得：$x-5=\pm6$
解得$x_1=11$，$x_2=-1$
由于D点在x轴正半轴，因此D点坐标为$(11,0)$，即$OD=11\ \mathrm{m}$。
因为从A点喷出的水柱形状相同，且关于y轴对称，所以左侧落水点C到原点O的距离$OC=OD=11\ \mathrm{m}$。
因此$CD=OC+OD=11+11=22\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数与坐标轴的交点；抛物线的对称性
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题的关键是明确落水点对应函数值y=0的情况，再结合抛物线的对称性即可快速求出结果，注意舍去不符合取值范围的解。
【难度系数】
0.7
