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10.(教材P62复习题T11变式)某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在5月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元.
(1)求y关于x的函数解析式.每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)若某日公司共获得销售利润12 160元，则这天售出了多少辆轮椅？
(1)求y关于x的函数解析式.每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)若某日公司共获得销售利润12 160元，则这天售出了多少辆轮椅？
答案
(1) $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = -0.4x^2 + 20x + 12 000$. 每辆轮椅降价 20 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 12 240 元。
(2) 64 辆
(2) 64 辆
解析
【分析】
(1) 本题属于商品利润类问题，解题核心是利用“总利润=单辆利润×销售量”建立函数关系。首先推导单辆利润和销售量的表达式：单辆利润为原盈利减去降价金额，即$(200-x)$元；销售量为原销量加上降价增加的销量，每降10元多售4辆，降x元多售$\frac{4x}{10}$辆，即销量为$(60+\frac{4x}{10})$辆。再根据“每辆利润不低于180元”确定自变量x的取值范围：$200-x≥180$，即$0≤ x≤20$。得到二次函数解析式后，结合二次函数的开口方向和对称轴，判断在x的取值范围内函数的增减性，即可求出最大利润。
(2) 第二问将总利润12160代入函数解析式，得到一元二次方程，求解后验证根是否符合x的取值范围，再代入销量公式计算即可。
【解析】
(1) 由题意得，每辆轮椅的利润为$(200-x)$元，每天的销售量为$60+\frac{x}{10}×4=60+0.4x$辆，且$200-x≥180$，解得$x≤20$，结合降价金额非负，得$0≤ x≤20$。
总利润$y=(200-x)(60+0.4x)$，展开整理得：
$y=-0.4x^2 + 20x + 12000$（$0≤ x≤20$）
该二次函数中$a=-0.4＜0$，开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-0.4)}=25$。
因为$x≤20＜25$，所以在$0≤ x≤20$范围内，y随x的增大而增大，因此当$x=20$时，y取得最大值：
$y_{max}=-0.4×20^2 +20×20 +12000=-160+400+12000=12240$（元）
(2) 当$y=12160$时，代入解析式得：
$-0.4x^2 +20x +12000=12160$
整理得$x^2-50x+400=0$，因式分解得$(x-10)(x-40)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=40$。
因为$0≤ x≤20$，所以$x=40$不符合题意，舍去，取$x=10$。
此时销售量为$60+0.4×10=64$（辆）
【答案】
(1) $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = -0.4x^2 + 20x + 12 000$（$0≤ x≤20$）. 每辆轮椅降价 20 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 12 240 元。
(2) 64 辆
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值计算，一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的销售利润类问题，解题的关键是正确梳理数量关系建立函数或方程，同时要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，避免忽略取值范围直接用二次函数顶点求最值、未验证方程根的合理性的错误。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于商品利润类问题，解题核心是利用“总利润=单辆利润×销售量”建立函数关系。首先推导单辆利润和销售量的表达式：单辆利润为原盈利减去降价金额，即$(200-x)$元；销售量为原销量加上降价增加的销量，每降10元多售4辆，降x元多售$\frac{4x}{10}$辆，即销量为$(60+\frac{4x}{10})$辆。再根据“每辆利润不低于180元”确定自变量x的取值范围：$200-x≥180$，即$0≤ x≤20$。得到二次函数解析式后，结合二次函数的开口方向和对称轴，判断在x的取值范围内函数的增减性，即可求出最大利润。
(2) 第二问将总利润12160代入函数解析式，得到一元二次方程，求解后验证根是否符合x的取值范围，再代入销量公式计算即可。
【解析】
(1) 由题意得，每辆轮椅的利润为$(200-x)$元，每天的销售量为$60+\frac{x}{10}×4=60+0.4x$辆，且$200-x≥180$，解得$x≤20$，结合降价金额非负，得$0≤ x≤20$。
总利润$y=(200-x)(60+0.4x)$，展开整理得：
$y=-0.4x^2 + 20x + 12000$（$0≤ x≤20$）
该二次函数中$a=-0.4＜0$，开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-0.4)}=25$。
因为$x≤20＜25$，所以在$0≤ x≤20$范围内，y随x的增大而增大，因此当$x=20$时，y取得最大值：
$y_{max}=-0.4×20^2 +20×20 +12000=-160+400+12000=12240$（元）
(2) 当$y=12160$时，代入解析式得：
$-0.4x^2 +20x +12000=12160$
整理得$x^2-50x+400=0$，因式分解得$(x-10)(x-40)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=40$。
因为$0≤ x≤20$，所以$x=40$不符合题意，舍去，取$x=10$。
此时销售量为$60+0.4×10=64$（辆）
【答案】
(1) $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = -0.4x^2 + 20x + 12 000$（$0≤ x≤20$）. 每辆轮椅降价 20 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 12 240 元。
(2) 64 辆
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值计算，一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的销售利润类问题，解题的关键是正确梳理数量关系建立函数或方程，同时要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，避免忽略取值范围直接用二次函数顶点求最值、未验证方程根的合理性的错误。
【难度系数】
0.7
11.综合与实践.
【问题情境】 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A,B,C,D,E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价（单位：元）与日销售量（单位：盆）情况，记录如下：
【数据整理】
（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中.
售价/(元·盆$^{-1}$)
日销售量/盆
【模型建立】
（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价之间的关系.
【拓展应用】
（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉的过程中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
【问题情境】 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A,B,C,D,E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价（单位：元）与日销售量（单位：盆）情况，记录如下：
【数据整理】
（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中.
售价/(元·盆$^{-1}$)
日销售量/盆
【模型建立】
（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价之间的关系.
【拓展应用】
（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉的过程中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
答案
(1) 按照售价从低到高的顺序排列如下：
(2) 日销售量 $y$ 与售价 $x$ 之间是一次函数关系，解析式为 $y = -2x + 90$。
(3) ① 25 元/盆或 35 元/盆
② 30 元/盆
解析
【分析】
（1）本问为数据整理题，解题思路是将原表格中售价按从小到大的顺序排列，再对应填写每组售价匹配的日销售量即可。
（2）本问需要探究两个变量的函数关系，观察整理后的数据可发现售价每增加1元，日销售量减少2盆，符合一次函数的变化规律，因此设日销售量$y$与售价$x$的函数解析式为$y=kx+b$，选取两组数据代入求解系数，再验证其余数据是否符合解析式即可。
（3）利润类问题的核心等量关系为：总利润=单盆利润×日销售量，单盆利润为（售价-进价）即$(x-15)$元，日销售量为第（2）问求出的$y=-2x+90$，据此列出总利润的表达式。①令总利润等于400，得到一元二次方程，解方程即可得到定价；②总利润的表达式是关于售价$x$的二次函数，根据二次函数的性质求最大值对应的$x$值即可，注意验证结果是否符合实际意义。
【解析】
（1）将原数据按售价从低到高排序，整理后表格如下：
（2）设日销售量$y$（盆）与售价$x$（元/盆）的函数解析式为$y=kx+b$，选取两组数据$\{\begin{array}{l}x=18\\y=54\end{array} $和$\{\begin{array}{l}x=20\\y=50\end{array} $代入解析式，得：
$\{\begin{array}{l}18k+b=54\\20k+b=50\end{array} $
用第二个方程减第一个方程得$2k=-4$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$18k+b=54$，得$18×(-2)+b=54$，解得$b=90$，
因此解析式为$y=-2x+90$，验证其余三组数据均符合该解析式，结合售价高于进价、日销售量非负的实际要求，自变量取值范围为$15＜x≤45$。
（3）设每天获得的利润为$W$元，根据题意得：
$W=(x-15)y=(x-15)(-2x+90)$
① 令$W=400$，则：
$(x-15)(-2x+90)=400$
展开整理得$x^2-60x+875=0$，
因式分解得$(x-25)(x-35)=0$，
解得$x_1=25$，$x_2=35$，均符合实际取值范围。
② 将利润表达式整理为顶点式：
$W=-2x^2+120x-1350=-2(x-30)^2+450$
$\because a=-2＜0$，抛物线开口向下，且$x=30$在取值范围内，
$\therefore$当$x=30$时，$W$取得最大值。
【答案】
(1)
(2) 日销售量 $y$ 与售价 $x$ 之间是一次函数关系，解析式为 $y = -2x + 90$。
(3) ① 25 元/盆或 35 元/盆
② 30 元/盆
【知识点】
一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的最值
【点评】
本题结合实际销售场景，将数据整理、函数建模、方程求解和二次函数最值问题融合在一起，既考查了数据处理能力，也考查了利用代数知识解决实际问题的能力，解题的关键是找准等量关系，正确建立函数和方程模型。
【难度系数】
0.6
（1）本问为数据整理题，解题思路是将原表格中售价按从小到大的顺序排列，再对应填写每组售价匹配的日销售量即可。
（2）本问需要探究两个变量的函数关系，观察整理后的数据可发现售价每增加1元，日销售量减少2盆，符合一次函数的变化规律，因此设日销售量$y$与售价$x$的函数解析式为$y=kx+b$，选取两组数据代入求解系数，再验证其余数据是否符合解析式即可。
（3）利润类问题的核心等量关系为：总利润=单盆利润×日销售量，单盆利润为（售价-进价）即$(x-15)$元，日销售量为第（2）问求出的$y=-2x+90$，据此列出总利润的表达式。①令总利润等于400，得到一元二次方程，解方程即可得到定价；②总利润的表达式是关于售价$x$的二次函数，根据二次函数的性质求最大值对应的$x$值即可，注意验证结果是否符合实际意义。
【解析】
（1）将原数据按售价从低到高排序，整理后表格如下：
（2）设日销售量$y$（盆）与售价$x$（元/盆）的函数解析式为$y=kx+b$，选取两组数据$\{\begin{array}{l}x=18\\y=54\end{array} $和$\{\begin{array}{l}x=20\\y=50\end{array} $代入解析式，得：
$\{\begin{array}{l}18k+b=54\\20k+b=50\end{array} $
用第二个方程减第一个方程得$2k=-4$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$18k+b=54$，得$18×(-2)+b=54$，解得$b=90$，
因此解析式为$y=-2x+90$，验证其余三组数据均符合该解析式，结合售价高于进价、日销售量非负的实际要求，自变量取值范围为$15＜x≤45$。
（3）设每天获得的利润为$W$元，根据题意得：
$W=(x-15)y=(x-15)(-2x+90)$
① 令$W=400$，则：
$(x-15)(-2x+90)=400$
展开整理得$x^2-60x+875=0$，
因式分解得$(x-25)(x-35)=0$，
解得$x_1=25$，$x_2=35$，均符合实际取值范围。
② 将利润表达式整理为顶点式：
$W=-2x^2+120x-1350=-2(x-30)^2+450$
$\because a=-2＜0$，抛物线开口向下，且$x=30$在取值范围内，
$\therefore$当$x=30$时，$W$取得最大值。
【答案】
(1)
(2) 日销售量 $y$ 与售价 $x$ 之间是一次函数关系，解析式为 $y = -2x + 90$。
(3) ① 25 元/盆或 35 元/盆
② 30 元/盆
【知识点】
一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的最值
【点评】
本题结合实际销售场景，将数据整理、函数建模、方程求解和二次函数最值问题融合在一起，既考查了数据处理能力，也考查了利用代数知识解决实际问题的能力，解题的关键是找准等量关系，正确建立函数和方程模型。
【难度系数】
0.6
