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5.某商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元每个出售时，每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价
5
元.答案
5. 5
解析
【分析】
这是典型的销售利润最值问题，解题思路如下：首先设降价金额为未知数，分别表示出降价后的单个商品利润、每日销售量；再根据“总利润=单个商品利润×日销售量”的等量关系，列出总利润关于降价金额的二次函数表达式；最后结合二次函数的性质，求出总利润最大时对应的降价金额即可，注意自变量取值要符合实际意义。
【解析】
解：设应降价$ x $元，每日获得的总利润为$ y $元。
1. 表示单个利润：降价后单个商品的售价为$ (100 - x) $元，单个利润为$ 100 - x - 70 = (30 - x) $元；
2. 表示日销售量：每降价1元日销量增加1个，降价$ x $元后日销量为$ (20 + x) $个；
3. 列总利润函数：
$ y = (30 - x)(20 + x) $
展开整理得：
$ y = -x^2 + 10x + 600 $
该函数是二次函数，且二次项系数$ a=-1＜0 $，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$ x = -\frac{b}{2a} $，其中$ a=-1 $，$ b=10 $，代入得：
$ x = -\frac{10}{2×(-1)} = 5 $
经检验，$ x=5 $符合实际销售的取值要求，即降价5元时可获得最大利润。
【答案】
5
【知识点】
二次函数最值，销售利润计算，函数建模
【点评】
本题是销售类最值问题的常规考法，解题核心是准确梳理价格变动后单个利润、销售量的变化，正确建立二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，整体逻辑清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
这是典型的销售利润最值问题，解题思路如下：首先设降价金额为未知数，分别表示出降价后的单个商品利润、每日销售量；再根据“总利润=单个商品利润×日销售量”的等量关系，列出总利润关于降价金额的二次函数表达式；最后结合二次函数的性质，求出总利润最大时对应的降价金额即可，注意自变量取值要符合实际意义。
【解析】
解：设应降价$ x $元，每日获得的总利润为$ y $元。
1. 表示单个利润：降价后单个商品的售价为$ (100 - x) $元，单个利润为$ 100 - x - 70 = (30 - x) $元；
2. 表示日销售量：每降价1元日销量增加1个，降价$ x $元后日销量为$ (20 + x) $个；
3. 列总利润函数：
$ y = (30 - x)(20 + x) $
展开整理得：
$ y = -x^2 + 10x + 600 $
该函数是二次函数，且二次项系数$ a=-1＜0 $，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$ x = -\frac{b}{2a} $，其中$ a=-1 $，$ b=10 $，代入得：
$ x = -\frac{10}{2×(-1)} = 5 $
经检验，$ x=5 $符合实际销售的取值要求，即降价5元时可获得最大利润。
【答案】
5
【知识点】
二次函数最值，销售利润计算，函数建模
【点评】
本题是销售类最值问题的常规考法，解题核心是准确梳理价格变动后单个利润、销售量的变化，正确建立二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，整体逻辑清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
6.某电商以每件 40 元的价格购进某款短袖,以每件 60 元的价格出售.经统计,“十一黄金周”的前一个星期每天的销售量为 500 件,该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售.经调查,发现该短袖在“十一黄金周”前一个星期销售量的基础上,每降价 1 元,“十一黄金周”期间每天的销售量就会增加 50 件.若要求销售单价不低于进价,且按照物价部门规定销售利润率不高于 30％,那么当该电商获得最大利润时,每件短袖的售价为
52
元.答案
6. 52
解析
【分析】
本题属于商品利润最值问题，解题思路如下：①首先根据题干给出的限制条件（售价不低于进价、销售利润率不高于30%），先确定售价的合法取值范围；②设售价为自变量，总利润为因变量，依据“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系列出二次函数解析式；③结合二次函数的开口方向和增减性，在合法的售价取值范围内找到对应利润最大的售价，注意若二次函数顶点不在自变量取值范围内，需结合函数增减性从区间端点取最值。
【解析】
设每件短袖的售价为$x$元，每天总利润为$w$元。
1. 确定售价的取值范围
售价不低于进价：$x≥40$
销售利润率不高于30%，根据$\mathrm{利润率}=\frac{\mathrm{售价}-\mathrm{进价}}{\mathrm{进价}}$，可得：
$\frac{x-40}{40}≤30\%$，解得$x≤40×(1+30\%)=52$
因此售价的取值范围为$40≤ x≤52$。
2. 列总利润的函数表达式
每件利润为$(x-40)$元，相比原价60元每件降价$(60-x)$元，因此每天销售量为$500+50(60-x)$件，可得：
$ \begin{aligned} w&=(x-40)[500+50(60-x)]\\ &=(x-40)(3500-50x)\\ &=-50x^2+5500x-140000 \end{aligned} $
3. 求最大利润对应的售价
二次函数中$a=-50＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{5500}{2×50}=55$。
当$x≤55$时，$w$随$x$的增大而增大，结合取值范围$40≤ x≤52＜55$，因此当$x=52$时，$w$取得最大值。
【答案】
52
【知识点】
二次函数的实际应用，销售利润计算，二次函数增减性
【点评】
本题的易错点是容易忽略利润率的限制条件，直接取二次函数顶点对应的售价，解题时要先明确自变量的合法范围，再结合函数性质求最值。
【难度系数】
0.65
本题属于商品利润最值问题，解题思路如下：①首先根据题干给出的限制条件（售价不低于进价、销售利润率不高于30%），先确定售价的合法取值范围；②设售价为自变量，总利润为因变量，依据“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系列出二次函数解析式；③结合二次函数的开口方向和增减性，在合法的售价取值范围内找到对应利润最大的售价，注意若二次函数顶点不在自变量取值范围内，需结合函数增减性从区间端点取最值。
【解析】
设每件短袖的售价为$x$元，每天总利润为$w$元。
1. 确定售价的取值范围
售价不低于进价：$x≥40$
销售利润率不高于30%，根据$\mathrm{利润率}=\frac{\mathrm{售价}-\mathrm{进价}}{\mathrm{进价}}$，可得：
$\frac{x-40}{40}≤30\%$，解得$x≤40×(1+30\%)=52$
因此售价的取值范围为$40≤ x≤52$。
2. 列总利润的函数表达式
每件利润为$(x-40)$元，相比原价60元每件降价$(60-x)$元，因此每天销售量为$500+50(60-x)$件，可得：
$ \begin{aligned} w&=(x-40)[500+50(60-x)]\\ &=(x-40)(3500-50x)\\ &=-50x^2+5500x-140000 \end{aligned} $
3. 求最大利润对应的售价
二次函数中$a=-50＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{5500}{2×50}=55$。
当$x≤55$时，$w$随$x$的增大而增大，结合取值范围$40≤ x≤52＜55$，因此当$x=52$时，$w$取得最大值。
【答案】
52
【知识点】
二次函数的实际应用，销售利润计算，二次函数增减性
【点评】
本题的易错点是容易忽略利润率的限制条件，直接取二次函数顶点对应的售价，解题时要先明确自变量的合法范围，再结合函数性质求最值。
【难度系数】
0.65
7.某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于60元.经调查每天的销售量y(单位:kg)与售价x(单位:元/kg)满足一次函数关系，部分数据如下表：
设销售该商品每天的利润为W(单位：元)，则W的最大值为(
A.1 800
B.1 600
C.1 400
D.1 200
设销售该商品每天的利润为W(单位：元)，则W的最大值为(
B
).A.1 800
B.1 600
C.1 400
D.1 200
答案
7. B
解析
【分析】
解题思路分为三步：①首先根据销售量y与售价x满足一次函数关系，设出一次函数解析式，代入表格中的两组数据求出y与x的函数关系式，同时验证解析式正确性；②根据“总利润=每千克利润×销售量”的公式，列出利润W关于售价x的函数关系式，整理为二次函数的形式；③结合题目给出的售价取值范围（$40≤ x≤60$），利用二次函数的增减性求出W的最大值。
【解析】
设销售量y与售价x的一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$\begin{cases}x=40,y=120\\x=50,y=100\end{cases}$代入解析式得：
$\begin{cases}40k + b = 120 \\50k + b = 100\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$10k=-20$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$40k + b = 120$，得$-80 + b =120$，解得$b=200$，
因此一次函数解析式为$y=-2x+200$，代入$x=60$验证，得$y=-120+200=80$，与表格数据一致，解析式正确。
根据总利润公式可得：
$W=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)$
展开整理得：$W=-2x^2+280x-8000$
该二次函数中$a=-2＜0$，图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{280}{4}=70$，
由题意可知售价x的取值范围为$40≤ x≤60$，在对称轴左侧，此时W随x的增大而增大，
因此当$x=60$时，W取得最大值，
代入计算：$W_{\mathrm{max}}=(60-40)×(-2×60+200)=20×80=1600$
【答案】
B
【知识点】
一次函数解析式求解；销售利润计算；二次函数最值应用
【点评】
本题属于销售利润类的常规题型，易错点是容易忽略售价的取值范围，直接将二次函数顶点处的函数值作为最大值，解题时一定要结合自变量的实际取值范围判断最值的取得位置。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：①首先根据销售量y与售价x满足一次函数关系，设出一次函数解析式，代入表格中的两组数据求出y与x的函数关系式，同时验证解析式正确性；②根据“总利润=每千克利润×销售量”的公式，列出利润W关于售价x的函数关系式，整理为二次函数的形式；③结合题目给出的售价取值范围（$40≤ x≤60$），利用二次函数的增减性求出W的最大值。
【解析】
设销售量y与售价x的一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$\begin{cases}x=40,y=120\\x=50,y=100\end{cases}$代入解析式得：
$\begin{cases}40k + b = 120 \\50k + b = 100\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$10k=-20$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$40k + b = 120$，得$-80 + b =120$，解得$b=200$，
因此一次函数解析式为$y=-2x+200$，代入$x=60$验证，得$y=-120+200=80$，与表格数据一致，解析式正确。
根据总利润公式可得：
$W=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)$
展开整理得：$W=-2x^2+280x-8000$
该二次函数中$a=-2＜0$，图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{280}{4}=70$，
由题意可知售价x的取值范围为$40≤ x≤60$，在对称轴左侧，此时W随x的增大而增大，
因此当$x=60$时，W取得最大值，
代入计算：$W_{\mathrm{max}}=(60-40)×(-2×60+200)=20×80=1600$
【答案】
B
【知识点】
一次函数解析式求解；销售利润计算；二次函数最值应用
【点评】
本题属于销售利润类的常规题型，易错点是容易忽略售价的取值范围，直接将二次函数顶点处的函数值作为最大值，解题时一定要结合自变量的实际取值范围判断最值的取得位置。
【难度系数】
0.7
8.某超市对进货价为10元/kg的某品种苹果的销售情况进行统计,发现每天的销售量y(单位:kg)与销售单价x(单位:元/kg)之间存在一次函数关系,如图.
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围).
(2)应怎样确定销售单价,才能使该品种苹果每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围).
(2)应怎样确定销售单价,才能使该品种苹果每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
答案
(1) $y = -2x + 60$
(2) 当销售单价定为 20 元/kg 时，该品种苹果每天的销售利润最大，最大利润是 200 元。
(2) 当销售单价定为 20 元/kg 时，该品种苹果每天的销售利润最大，最大利润是 200 元。
解析
【分析】
(1) 已知销售量y与销售单价x为一次函数关系，采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从图像中提取两个已知点坐标$(20,20)$和$(30,0)$，代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数即可得到函数解析式。
(2) 销售利润=每千克利润×销售量，其中每千克利润为$(x-10)$元，销售量为第一问求出的y，据此构建利润w关于x的二次函数，由于二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，计算顶点坐标即可得到最大利润和对应销售单价。
【解析】
(1) 设y关于x的一次函数解析式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
由图像可知函数过点$(20,20)$和$(30,0)$，代入得：
$\begin{cases}20k + b = 20 \\30k + b = 0\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$10k=-20$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$30k + b = 0$，得$b=60$，
因此y关于x的函数解析式为$y=-2x+60$。
(2) 设每天销售利润为w元，每千克利润为$(x-10)$元，因此：
$w=(x-10)y$
将$y=-2x+60$代入得：
$\begin{aligned}w&=(x-10)(-2x+60)\\&=-2x^2+80x-600\\&=-2(x-20)^2+200\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$x=20$时，w取得最大值200。
【答案】
(1) $y = -2x + 60$
(2) 当销售单价定为20元/kg时，该品种苹果每天的销售利润最大，最大利润是200元。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 二次函数最值应用
3. 销售利润计算
【点评】
本题是典型的函数实际应用题，结合一次函数与二次函数考查销售利润最值问题，解题核心是先根据图像求出一次函数解析式，再结合利润公式构建二次函数模型，最终利用二次函数性质求解最值，需注意理清售价、进价、销量、利润之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 已知销售量y与销售单价x为一次函数关系，采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从图像中提取两个已知点坐标$(20,20)$和$(30,0)$，代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数即可得到函数解析式。
(2) 销售利润=每千克利润×销售量，其中每千克利润为$(x-10)$元，销售量为第一问求出的y，据此构建利润w关于x的二次函数，由于二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，计算顶点坐标即可得到最大利润和对应销售单价。
【解析】
(1) 设y关于x的一次函数解析式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
由图像可知函数过点$(20,20)$和$(30,0)$，代入得：
$\begin{cases}20k + b = 20 \\30k + b = 0\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$10k=-20$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$30k + b = 0$，得$b=60$，
因此y关于x的函数解析式为$y=-2x+60$。
(2) 设每天销售利润为w元，每千克利润为$(x-10)$元，因此：
$w=(x-10)y$
将$y=-2x+60$代入得：
$\begin{aligned}w&=(x-10)(-2x+60)\\&=-2x^2+80x-600\\&=-2(x-20)^2+200\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$x=20$时，w取得最大值200。
【答案】
(1) $y = -2x + 60$
(2) 当销售单价定为20元/kg时，该品种苹果每天的销售利润最大，最大利润是200元。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 二次函数最值应用
3. 销售利润计算
【点评】
本题是典型的函数实际应用题，结合一次函数与二次函数考查销售利润最值问题，解题核心是先根据图像求出一次函数解析式，再结合利润公式构建二次函数模型，最终利用二次函数性质求解最值，需注意理清售价、进价、销量、利润之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
9.某宾馆有40间客房,当客房的定价为210元/天时,客房全部住满;当房价每上调10元时,会有1间客房空置,宾馆对居住的每间客房支出30元/天的费用,根据规定,房价不得高于300元/天.设房价上调10x元(x为正整数),一天订住的房间数为y.
(1)写出y关于x的函数解析式:
(2)若宾馆一天的利润为7770元,则房价应该为多少元?
(3)当房价为多少元时,宾馆的利润最大?最大利润为多少元?
(1)写出y关于x的函数解析式:
$y=40-x$
,自变量x的取值范围是$0＜x≤9$，且$x$为正整数
.(2)若宾馆一天的利润为7770元,则房价应该为多少元?
(3)当房价为多少元时,宾馆的利润最大?最大利润为多少元?
答案
(1) $y = 40 - x$，$0＜x≤9$，且 $x$ 为正整数
(2) 240 元
(3) 当房价为 300 元时，宾馆的利润最大，最大利润是 8 370 元。
(2) 240 元
(3) 当房价为 300 元时，宾馆的利润最大，最大利润是 8 370 元。
解析
【分析】
(1) 分析订住房间数与上调价格的关系：每上调10x元就空置x间房，订住房间数=总房数-空置房间数，即可得到y与x的函数式；再根据房价最高300元列不等式，结合x为正整数即可求出自变量取值范围。
(2) 明确利润等量关系：总利润=（每间房价-每间支出费用）× 订住房间数，代入利润7770列方程求解，再结合x的取值范围舍去不符合条件的解，即可算出对应房价。
(3) 先将总利润表示为关于x的二次函数，整理成顶点式后结合二次函数的增减性，以及x的取值范围，找到利润最大时对应的x值，再计算对应房价和最大利润。
【解析】
(1) 由题意，上调10x元时会空置x间房，因此订住房间数$y=40-x$；
房价不得高于300元，即$210+10x≤300$，解得$x≤9$，又x为正整数，故自变量x的取值范围是$0＜x≤9$且x为正整数。
(2) 设总利润为W元，每间房的利润为$(210+10x-30)$元，订住房间数为$(40-x)$间，列方程得：
$(210+10x-30)(40-x)=7770$
整理得：$(180+10x)(40-x)=7770$
展开化简：$x^2-22x+57=0$
因式分解得：$(x-3)(x-19)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=19$
$\because 0＜x≤9$，$\therefore x=19$不符合题意，舍去
此时房价为$210+10×3=240$元。
(3) 总利润表达式为：
$W=(180+10x)(40-x)=-10x^2+220x+7200$
整理为顶点式：$W=-10(x-11)^2+8410$
$\because a=-10＜0$，抛物线开口向下，在对称轴$x=11$左侧，W随x的增大而增大
又$\because 0＜x≤9$，$\therefore x=9$时W取得最大值
此时房价为$210+10×9=300$元
最大利润为$W=-10×(9-11)^2+8410=8370$元
【答案】
(1) $y = 40 - x$；$0＜x≤9$且$x$为正整数
(2) 240元
(3) 当房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润为8370元
【知识点】
一次函数应用；一元二次方程应用；二次函数最值
【点评】
本题是商品利润类的典型考题，需要结合自变量的实际取值范围筛选计算结果，求最值时要注意判断顶点是否在取值范围内，避免直接套用顶点公式出错。
【难度系数】
0.65
(1) 分析订住房间数与上调价格的关系：每上调10x元就空置x间房，订住房间数=总房数-空置房间数，即可得到y与x的函数式；再根据房价最高300元列不等式，结合x为正整数即可求出自变量取值范围。
(2) 明确利润等量关系：总利润=（每间房价-每间支出费用）× 订住房间数，代入利润7770列方程求解，再结合x的取值范围舍去不符合条件的解，即可算出对应房价。
(3) 先将总利润表示为关于x的二次函数，整理成顶点式后结合二次函数的增减性，以及x的取值范围，找到利润最大时对应的x值，再计算对应房价和最大利润。
【解析】
(1) 由题意，上调10x元时会空置x间房，因此订住房间数$y=40-x$；
房价不得高于300元，即$210+10x≤300$，解得$x≤9$，又x为正整数，故自变量x的取值范围是$0＜x≤9$且x为正整数。
(2) 设总利润为W元，每间房的利润为$(210+10x-30)$元，订住房间数为$(40-x)$间，列方程得：
$(210+10x-30)(40-x)=7770$
整理得：$(180+10x)(40-x)=7770$
展开化简：$x^2-22x+57=0$
因式分解得：$(x-3)(x-19)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=19$
$\because 0＜x≤9$，$\therefore x=19$不符合题意，舍去
此时房价为$210+10×3=240$元。
(3) 总利润表达式为：
$W=(180+10x)(40-x)=-10x^2+220x+7200$
整理为顶点式：$W=-10(x-11)^2+8410$
$\because a=-10＜0$，抛物线开口向下，在对称轴$x=11$左侧，W随x的增大而增大
又$\because 0＜x≤9$，$\therefore x=9$时W取得最大值
此时房价为$210+10×9=300$元
最大利润为$W=-10×(9-11)^2+8410=8370$元
【答案】
(1) $y = 40 - x$；$0＜x≤9$且$x$为正整数
(2) 240元
(3) 当房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润为8370元
【知识点】
一次函数应用；一元二次方程应用；二次函数最值
【点评】
本题是商品利润类的典型考题，需要结合自变量的实际取值范围筛选计算结果，求最值时要注意判断顶点是否在取值范围内，避免直接套用顶点公式出错。
【难度系数】
0.65
