定义:三角分别、三边的两个三角形叫作相似三角形。
定理:两角分别的两个三角形相似。
定理:两边且相等的两个三角形相似。
定理:三边的两个三角形相似。

三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。
两角分别相等的两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
三边成比例的两个三角形相似。

【分析】
本题考查相似三角形的定义及判定定理的基础识记，解题时只需回忆课本中相关基础概念的内容，对应填入空缺处即可。首先回忆相似三角形的定义：核心包含角和边两类特征，角的特征是三个角分别相等，边的特征是三条边成比例；再回忆相似三角形的三个判定定理：从角的角度判定，只需两角分别相等即可；从两边加角的角度判定，要求两边成比例且两边的夹角相等；从三边的角度判定，只需三边成比例即可。
【解析】
根据相似三角形的定义和判定定理，依次填写空缺内容：
1. 相似三角形定义空缺处依次填：相等、成比例；
2. 第一个判定定理空缺处填：相等；
3. 第二个判定定理空缺处依次填：成比例、夹角；
4. 第三个判定定理空缺处填：成比例。
【答案】
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。
两角分别相等的两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
三边成比例的两个三角形相似。
【知识点】
相似三角形定义，相似三角形判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考察对相似三角形相关基础定义、判定定理的掌握熟练度，这些内容是解决相似三角形证明、计算类问题的核心基础，需要准确牢记。
【难度系数】
0.9

1. 下列条件能使$△ ABC$与$△ DEF$相似的是（）。

A.$AB=6, BC=6, AC=9$；
$DE=4, EF=4, DF=6$
B.$AB=4, BC=6, AC=8$；
$DE=5, EF=10, DF=15$
C.$AB=1, BC=\sqrt{2}, AC=2$；
$DE=\sqrt{6}, EF=\sqrt{3}, DF=\sqrt{5}$
D.$AB=1, BC=\sqrt{5}, AC=3$；
$DE=\sqrt{15}, EF=2\sqrt{3}, DF=\sqrt{6}$

1.A

【分析】
本题考查利用三边成比例判定三角形相似，解题思路如下：首先明确判定定理：三组对应边的比相等的两个三角形相似。解题时第一步先将每个选项中两个三角形的三边分别按从小到大的顺序排列，避免对应边匹配错误；第二步依次计算每组对应边的比值，若三个比值完全相等，则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
根据“三边成比例的两个三角形相似”逐一分析选项：
A选项：将△ABC的边从小到大排列为：AB=6，BC=6，AC=9；将△DEF的边从小到大排列为：DE=4，EF=4，DF=6。
计算对应边比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，三组对应边比值相等，故△ABC与△DEF相似。
B选项：△ABC的边从小到大排列为：AB=4，BC=6，AC=8；△DEF的边从小到大排列为：DE=5，EF=10，DF=15。
计算比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{4}{5}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，两个比值不相等，故两个三角形不相似。
C选项：△ABC的边从小到大排列为：AB=1，BC=$\sqrt{2}$，AC=2；△DEF的边从小到大排列为：EF=$\sqrt{3}$，DF=$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{6}$。
计算比值：$\frac{AB}{EF}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{BC}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，两个比值不相等，故两个三角形不相似。
D选项：△ABC的边从小到大排列为：AB=1，BC=$\sqrt{5}$，AC=3；△DEF的边从小到大排列为：DF=$\sqrt{6}$，EF=$2\sqrt{3}$，DE=$\sqrt{15}$。
计算比值：$\frac{AB}{DF}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，两个比值不相等，故两个三角形不相似。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
三边成比例判定三角形相似
【点评】
本题是三角形相似判定的基础题，解题的关键是先将两个三角形的边按大小顺序排列后再计算对应边的比值，避免因边对应错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8

2.如图所示的两个三角形。（填“相似”或“不相似”）

2.相似

【分析】
要判断两个三角形是否相似，已知两个三角形的三边长度，可使用“三边对应成比例的两个三角形相似”这一判定定理验证。解题思路如下：第一步，先把两个三角形的三边分别按从小到大的顺序排列，方便匹配对应边；第二步，分别计算三组对应边的比值；第三步，判断三个比值是否相等，若相等则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
解：将两个三角形的三边分别按从小到大的顺序排列：
第一个三角形三边：$5$，$6$，$8$；
第二个三角形三边：$\frac{25}{3}$，$10$，$\frac{40}{3}$。
计算对应边的比值：
$\frac{5}{\frac{25}{3}}=5×\frac{3}{25}=\frac{3}{5}$，
$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
$\frac{8}{\frac{40}{3}}=8×\frac{3}{40}=\frac{3}{5}$。
三组对应边的比值均为$\frac{3}{5}$，即三边对应成比例，因此两个三角形相似。
【答案】
相似
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 比例运算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题关键是掌握三边成比例判定三角形相似的方法，注意先对边排序再计算比值，避免出现对应边匹配错误的问题。
【难度系数】
0.8

3.在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=8$，在$△ A'B'C'$中，$A'B'=4$，$A'C'=3$。若$BC:B'C'=\_\_\_\_\_\_$，则$△ ABC ∽ △ A'C'B'$。

3.2:1

【分析】
要解决这道题，首先需要根据相似三角形的书写顺序找准对应顶点，明确对应边：△ABC∽△A'C'B'，说明对应顶点为A对应A'，B对应C'，C对应B'，因此对应边为AB对应A'C'，AC对应A'B'，BC对应B'C'。再根据“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，已知两组对应边的长度，先计算出这两组对应边的公共比值，第三组边的比就等于该公共比值。
【解析】
解：
∵ △ABC ∽ △A'C'B'
∴ 三组对应边成比例，即$\frac{AB}{A'C'}=\frac{AC}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$
代入已知边长：AB=6，A'C'=3，AC=8，A'B'=4
可得$\frac{AB}{A'C'}=\frac{6}{3}=2$，$\frac{AC}{A'B'}=\frac{8}{4}=2$
因此$\frac{BC}{B'C'}=2$，即BC:B'C'=2:1
【答案】
2:1
【知识点】
1. 相似三角形的对应关系
2. 三边法判定三角形相似
【点评】
本题的易错点是混淆相似三角形的对应边，解题核心是严格按照相似三角形的书写顺序确定对应顶点，进而找到对应边，再结合相似的判定定理计算即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7

4.如图,在大小为4×4的正方形网格中,是相似三角形的是和。(填序号)

4.① ③

【分析】
要判断网格中的相似三角形，我们可以选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理来求解。首先设每个小正方形的边长为1，借助勾股定理分别计算四个三角形的三边长，再将各三角形的边长按从小到大排序后计算边长比，三边比值对应相等的两个三角形就是相似三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出四个三角形的三边长（按从小到大排列）：
①的三边长：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三边比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
②的三边长：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$3$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$；
③的三边长：$2$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，三边比为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
④的三边长：$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{3^2+4^2}=5$，三边比为$2\sqrt{2}:\sqrt{10}:5$。
对比可知，①和③的三边对应成比例，因此①和③是相似三角形。
【答案】
①；③
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是网格中相似三角形判断的常规题型，解题核心是准确计算各三角形边长，再通过边长比验证是否满足相似条件，熟练掌握勾股定理和相似判定定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.7

5.如图，已知$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$。
(1)求证：$∠ BAD=∠ CAE$；
(2)若$AB=6$，$BD=3$，$AC=4$，求$CE$的长。

5.(1)证明:$\because \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
$\therefore △ ABC∽ △ ADE$,
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$,
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$,
即$∠ BAD=∠ CAE$。
(2)解:$\because \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,
由(1)知$∠ BAD=∠ CAE$,
$\therefore △ BAD∽ △ CAE$,
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$,即$\frac{6}{4}=\frac{3}{CE}$,
$\therefore CE=2$。

【分析】
(1)要证∠BAD=∠CAE，观察角的组成可知∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠CAE+∠DAC，因此只需证明∠BAC=∠DAE即可。题目给出三组对应边成比例，根据“三边成比例的两个三角形相似”可证△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应角相等得到∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共角∠DAC即可得证。
(2)要求CE的长，可通过证明CE所在三角形与已知边长的三角形相似求解。由(1)已得∠BAD=∠CAE，结合已知的$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，满足“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件，可证△BAD∽△CAE，再利用相似三角形对应边成比例代入数值计算即可得到CE的长度。
【解析】
(1)证明：$\because \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
$\therefore △ABC∽△ADE$（三边成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠BAC=∠DAE$，
$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，
即$∠BAD=∠CAE$。
(2)解：$\because \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
由(1)知$∠BAD=∠CAE$，
$\therefore △BAD∽△CAE$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$，即$\frac{6}{4}=\frac{3}{CE}$，
解得$CE=2$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$CE=2$
【知识点】
三边法判定相似，两边及夹角法判定相似，相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，解题核心是灵活运用相似三角形的判定定理找到对应相似的三角形，再结合相似三角形的性质推导角的关系或计算线段长度，解题时要注意找准边、角的对应关系。
【难度系数】
0.7

6.如图,在$4×4$的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与$△ ABC$相似的三角形所在的网格图是()。
(第6题) A C D

6.B

【分析】
要判断哪个三角形与△ABC相似，可依据“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。第一步先利用勾股定理计算△ABC的三边长，化简得到三边的比值；第二步再依次计算四个选项中三角形的三边长及对应的比值，找到比值与△ABC三边比值完全一致的选项即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的三边长：
$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC三边的比为$BC:AB:AC=\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
2. 依次计算各选项三角形的三边比：
A选项：三边长为$2\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$、$3$，比值为$2\sqrt{2}:\sqrt{10}:3$，与$1:2:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似；
B选项：三边长为$2$、$4$、$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，比值为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$，和△ABC三边比相等，两三角形相似；
C选项：三边长为$2$、$3$、$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，比值为$2:3:\sqrt{13}$，与$1:2:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似；
D选项：三边长为$2\sqrt{2}$、$2\sqrt{5}$、$4$，比值为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:2$，与$1:2:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是网格中相似三角形判定的常考题型，解题核心是熟练运用勾股定理计算格点三角形的边长，再通过三边比值是否一致判断相似，难度适中。
【难度系数】
0.7