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7.将一张以AB为一边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（
A.$\frac{25}{2}$
B.$\frac{45}{4}$
C.10
D.$\frac{35}{4}$
A
）。A.$\frac{25}{2}$
B.$\frac{45}{4}$
C.10
D.$\frac{35}{4}$
答案
7.A
解析
【分析】
解题时首先明确：原图形是以AB为边的矩形，剪掉两个相似直角三角形后得到四边形ABCD，因此可以通过补形法将四边形还原为原矩形，补出的两个直角三角形就是剪掉的相似三角形。接下来分不同的相似对应情况，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，计算每种情况下两个直角三角形的斜边长，再和选项对比，排除可能的选项，剩下的就是不可能的结果。
【解析】
设原矩形为ABEF，A为矩形左下角顶点，B为右下角顶点，E为右上角顶点，F为左上角顶点，剪掉两个相似直角三角形后得到四边形ABCD，其中D在AF上，C在EF、BE边上，剪掉的两个直角三角形为△FDC和△BEC，两三角形均为直角三角形，∠F=∠E=90°，分相似对应情况讨论：
1. 当$\frac{FD}{BE}=\frac{FC}{CE}=\frac{CD}{BC}$时，设矩形高$AF=BE=h$，则$FD=h-AD=h-2$，$FC=AB-CE=9-CE$，代入比例式解得$h=14$，$CE=\frac{63}{13}$，此剪法下可求得剪掉的三角形斜边长包含$\frac{35}{4}$，故D选项可能，不符合题意；
2. 当$\frac{FD}{CE}=\frac{FC}{BE}=\frac{CD}{BC}$时，代入边长解得$CE=\frac{21}{5}$，$h=\frac{46}{5}$，此剪法下可求得剪掉的三角形斜边长包含10和$\frac{45}{4}$，故B、C选项均可能，不符合题意。
综上，只有$\frac{25}{2}$无法通过上述情况计算得到，不可能是剪掉的直角三角形的斜边长。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质；矩形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查几何补形方法和分类讨论思想的应用，解题的关键是明确相似三角形的对应关系不唯一，要分情况讨论计算，避免因漏看对应关系导致错解。
【难度系数】
0.4
解题时首先明确：原图形是以AB为边的矩形，剪掉两个相似直角三角形后得到四边形ABCD，因此可以通过补形法将四边形还原为原矩形，补出的两个直角三角形就是剪掉的相似三角形。接下来分不同的相似对应情况，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，计算每种情况下两个直角三角形的斜边长，再和选项对比，排除可能的选项，剩下的就是不可能的结果。
【解析】
设原矩形为ABEF，A为矩形左下角顶点，B为右下角顶点，E为右上角顶点，F为左上角顶点，剪掉两个相似直角三角形后得到四边形ABCD，其中D在AF上，C在EF、BE边上，剪掉的两个直角三角形为△FDC和△BEC，两三角形均为直角三角形，∠F=∠E=90°，分相似对应情况讨论：
1. 当$\frac{FD}{BE}=\frac{FC}{CE}=\frac{CD}{BC}$时，设矩形高$AF=BE=h$，则$FD=h-AD=h-2$，$FC=AB-CE=9-CE$，代入比例式解得$h=14$，$CE=\frac{63}{13}$，此剪法下可求得剪掉的三角形斜边长包含$\frac{35}{4}$，故D选项可能，不符合题意；
2. 当$\frac{FD}{CE}=\frac{FC}{BE}=\frac{CD}{BC}$时，代入边长解得$CE=\frac{21}{5}$，$h=\frac{46}{5}$，此剪法下可求得剪掉的三角形斜边长包含10和$\frac{45}{4}$，故B、C选项均可能，不符合题意。
综上，只有$\frac{25}{2}$无法通过上述情况计算得到，不可能是剪掉的直角三角形的斜边长。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质；矩形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查几何补形方法和分类讨论思想的应用，解题的关键是明确相似三角形的对应关系不唯一，要分情况讨论计算，避免因漏看对应关系导致错解。
【难度系数】
0.4
8.如图,在边长为1的正方形网格中有点P,A,B,C,则在图中所形成的三角形中,相似的三角形是
$△ APB∽ △ CPA$
。答案
8.$△ APB∽ △ CPA$
解析
【分析】
要判断网格中的相似三角形，首先可观察有无公共角的三角形，简化判定过程。图中△APB与△CPA有公共角∠P，此时只需验证两个三角形夹公共角的两组边是否对应成比例即可。我们可以先设网格边长为1，用勾股定理计算相关线段的长度，再计算边的比值验证是否成比例，进而判断三角形是否相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 由勾股定理计算$AP$的长度：$AP=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，因此$AP^2=10$；
2. 由图可得线段长度：$PB=2$，$PC=5$，因此$PB· PC=2×5=10$；
3. 可得$AP^2=PB· PC$，变形为$\frac{PB}{AP}=\frac{AP}{PC}$；
4. 又$∠ P$是$△ APB$和$△ CPA$的公共角，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ APB ∽ △ CPA$。
【答案】
$△ APB∽ △ CPA$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是网格背景下的相似三角形判定题，解题的核心是合理利用公共角这个隐含条件，结合勾股定理计算边长验证比例关系，易错点是容易找错两组对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
要判断网格中的相似三角形，首先可观察有无公共角的三角形，简化判定过程。图中△APB与△CPA有公共角∠P，此时只需验证两个三角形夹公共角的两组边是否对应成比例即可。我们可以先设网格边长为1，用勾股定理计算相关线段的长度，再计算边的比值验证是否成比例，进而判断三角形是否相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 由勾股定理计算$AP$的长度：$AP=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，因此$AP^2=10$；
2. 由图可得线段长度：$PB=2$，$PC=5$，因此$PB· PC=2×5=10$；
3. 可得$AP^2=PB· PC$，变形为$\frac{PB}{AP}=\frac{AP}{PC}$；
4. 又$∠ P$是$△ APB$和$△ CPA$的公共角，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ APB ∽ △ CPA$。
【答案】
$△ APB∽ △ CPA$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是网格背景下的相似三角形判定题，解题的核心是合理利用公共角这个隐含条件，结合勾股定理计算边长验证比例关系，易错点是容易找错两组对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
9.在方格纸(每个小方格的边长为1)中,每个小方格的顶点称为格点,以格点连线为边的三角形叫作格点三角形。如图,在$5×5$方格纸中,作格点$△ ABC$与$△ OAB$相似(相似比不为1),则C点坐标为
(5,2)或(4,4)
。答案
9.(5,2)或(4,4)
解析
【分析】
解题时首先确定已知△OAB的各顶点坐标，通过勾股定理计算其三边长度，得到三边比例为1:2:√5，且△OAB为直角三角形。要构造与它相似的格点△ABC（相似比不为1），则△ABC也需为直角三角形，且直角边比为1:2。接下来结合直角垂直的坐标性质、勾股定理，在格点中寻找满足边长比例的C点，同时排除相似比为1的全等情况即可。
【解析】
由题图可得各点坐标：$O(0,0)$，$A(1,0)$，$B(0,2)$。
1. 计算△OAB的边长：
$OA=1$，$OB=2$，$∠ AOB=90°$，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，因此△OAB的三边比为$OA:OB:AB=1:2:\sqrt{5}$。
2. 寻找符合条件的格点C：
要使△ABC与△OAB相似且相似比不为1，则△ABC的三边比也需为$1:2:\sqrt{5}$，且对应边长为$\sqrt{5}k$（$k≠1$）。
情况1：$∠ BAC=90°$，$AB$为短直角边，则长直角边$AC=2AB=2\sqrt{5}$。
设$C(x,y)$，由向量垂直性质和$AC=2\sqrt{5}$列方程求解，得到符合格点要求的解为$x=5,y=2$，即$C(5,2)$。
情况2：$∠ ABC=90°$，$AB$为短直角边，则长直角边$BC=2AB=2\sqrt{5}$。
设$C(x,y)$，由向量垂直性质和$BC=2\sqrt{5}$列方程，排除与△OAB全等的点后，得到符合格点要求的解为$x=4,y=4$，即$C(4,4)$。
【答案】
$(5,2)$或$(4,4)$
【知识点】
相似三角形的判定；勾股定理；平面直角坐标系
【点评】
本题属于格点相似三角形的构造类题目，需要先明确已知三角形的边长特征，再结合直角三角形的性质和格点的限制寻找对应点，解题时容易出现漏解或者未排除全等情况的错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先确定已知△OAB的各顶点坐标，通过勾股定理计算其三边长度，得到三边比例为1:2:√5，且△OAB为直角三角形。要构造与它相似的格点△ABC（相似比不为1），则△ABC也需为直角三角形，且直角边比为1:2。接下来结合直角垂直的坐标性质、勾股定理，在格点中寻找满足边长比例的C点，同时排除相似比为1的全等情况即可。
【解析】
由题图可得各点坐标：$O(0,0)$，$A(1,0)$，$B(0,2)$。
1. 计算△OAB的边长：
$OA=1$，$OB=2$，$∠ AOB=90°$，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，因此△OAB的三边比为$OA:OB:AB=1:2:\sqrt{5}$。
2. 寻找符合条件的格点C：
要使△ABC与△OAB相似且相似比不为1，则△ABC的三边比也需为$1:2:\sqrt{5}$，且对应边长为$\sqrt{5}k$（$k≠1$）。
情况1：$∠ BAC=90°$，$AB$为短直角边，则长直角边$AC=2AB=2\sqrt{5}$。
设$C(x,y)$，由向量垂直性质和$AC=2\sqrt{5}$列方程求解，得到符合格点要求的解为$x=5,y=2$，即$C(5,2)$。
情况2：$∠ ABC=90°$，$AB$为短直角边，则长直角边$BC=2AB=2\sqrt{5}$。
设$C(x,y)$，由向量垂直性质和$BC=2\sqrt{5}$列方程，排除与△OAB全等的点后，得到符合格点要求的解为$x=4,y=4$，即$C(4,4)$。
【答案】
$(5,2)$或$(4,4)$
【知识点】
相似三角形的判定；勾股定理；平面直角坐标系
【点评】
本题属于格点相似三角形的构造类题目，需要先明确已知三角形的边长特征，再结合直角三角形的性质和格点的限制寻找对应点，解题时容易出现漏解或者未排除全等情况的错误。
【难度系数】
0.6
10.如图，D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点。
（1）求证：△DEF∽△ABC；
（2）写出图中其他几对相似的三角形。
（1）求证：△DEF∽△ABC；
（2）写出图中其他几对相似的三角形。
答案
10.(1)证明:$\because D,E,F$分别是$BC,CA,AB$的中点,$\therefore DE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}AC,EF=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$,
$\therefore △ DEF∽ △ ABC$。
(2)解:$△ AEF∽ △ ACB$,$△ BDF∽ △ BCA$,
$△ DCE∽ △ BCA$,$△ BDF∽ △ EFD$,$△ BDF∽ △ FEA$,$△ AEF∽ △ DFE$,$△ DCE∽ △ FEA$,$△ DCE∽ △ EFD$,$△ DCE∽ △ BDF$。
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$,
$\therefore △ DEF∽ △ ABC$。
(2)解:$△ AEF∽ △ ACB$,$△ BDF∽ △ BCA$,
$△ DCE∽ △ BCA$,$△ BDF∽ △ EFD$,$△ BDF∽ △ FEA$,$△ AEF∽ △ DFE$,$△ DCE∽ △ FEA$,$△ DCE∽ △ EFD$,$△ DCE∽ △ BDF$。
解析
【分析】
（1）要证明△DEF∽△ABC，已知D、E、F是△ABC三边的中点，可先通过三角形中位线定理得到△DEF的三边与△ABC三边的数量关系，再利用“三边对应成比例的两个三角形相似”完成证明。（2）找其他相似三角形时，先观察中位线分割出的小三角形，它们都和大三角形满足三边成比例，因此都与△ABC相似；同时所有小三角形的边长均为大三角形对应边长的$\frac{1}{2}$，因此小三角形之间也两两相似，按规律枚举即可避免漏解。
【解析】
(1) 证明：$\because D,E,F$分别是$BC,CA,AB$的中点，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}AC,EF=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$,
$\therefore △ DEF∽ △ ABC$。
(2) 解：根据三角形中位线性质，同理可得各小三角形与大三角形、小三角形之间均满足三边对应成比例，因此相似的三角形还有：
$△ AEF∽ △ ACB$，$△ BDF∽ △ BCA$,
$△ DCE∽ △ BCA$，$△ BDF∽ △ EFD$，$△ BDF∽ △ FEA$，$△ AEF∽ △ DFE$，$△ DCE∽ △ FEA$，$△ DCE∽ △ EFD$，$△ DCE∽ △ BDF$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $△ AEF∽ △ ACB$，$△ BDF∽ △ BCA$，$△ DCE∽ △ BCA$，$△ BDF∽ △ EFD$，$△ BDF∽ △ FEA$，$△ AEF∽ △ DFE$，$△ DCE∽ △ FEA$，$△ DCE∽ △ EFD$，$△ DCE∽ △ BDF$
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定
【点评】
本题侧重考查基础定理的应用，解题关键是熟练掌握中位线的性质和相似三角形的判定方法，枚举相似三角形时可按“小三角形与大三角形、小三角形两两组合”的顺序查找，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△DEF∽△ABC，已知D、E、F是△ABC三边的中点，可先通过三角形中位线定理得到△DEF的三边与△ABC三边的数量关系，再利用“三边对应成比例的两个三角形相似”完成证明。（2）找其他相似三角形时，先观察中位线分割出的小三角形，它们都和大三角形满足三边成比例，因此都与△ABC相似；同时所有小三角形的边长均为大三角形对应边长的$\frac{1}{2}$，因此小三角形之间也两两相似，按规律枚举即可避免漏解。
【解析】
(1) 证明：$\because D,E,F$分别是$BC,CA,AB$的中点，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}AC,EF=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$,
$\therefore △ DEF∽ △ ABC$。
(2) 解：根据三角形中位线性质，同理可得各小三角形与大三角形、小三角形之间均满足三边对应成比例，因此相似的三角形还有：
$△ AEF∽ △ ACB$，$△ BDF∽ △ BCA$,
$△ DCE∽ △ BCA$，$△ BDF∽ △ EFD$，$△ BDF∽ △ FEA$，$△ AEF∽ △ DFE$，$△ DCE∽ △ FEA$，$△ DCE∽ △ EFD$，$△ DCE∽ △ BDF$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $△ AEF∽ △ ACB$，$△ BDF∽ △ BCA$，$△ DCE∽ △ BCA$，$△ BDF∽ △ EFD$，$△ BDF∽ △ FEA$，$△ AEF∽ △ DFE$，$△ DCE∽ △ FEA$，$△ DCE∽ △ EFD$，$△ DCE∽ △ BDF$
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定
【点评】
本题侧重考查基础定理的应用，解题关键是熟练掌握中位线的性质和相似三角形的判定方法，枚举相似三角形时可按“小三角形与大三角形、小三角形两两组合”的顺序查找，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11.一个用钢筋做的三角架各边长分别是30 cm,50 cm,70 cm,现在要做一个与其相似的钢筋三角架,现只有长35 cm和70 cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另两边,有几种不同的截法?
答案
11.解:有两种不同的截法。
①设以35 cm长的钢筋作为最长边,其他两边长分别为$x$ cm和$y$ cm,由$\frac{x}{30}=\frac{y}{50}=\frac{35}{70}$,解得$x=15,y=25$,且$15+25=40＜70$,符合题意;
②设以35 cm长的钢筋作为次长边,其他两边长分别为$a$ cm和$b$ cm,由$\frac{a}{30}=\frac{b}{70}=\frac{35}{50}$,解得$a=21,b=49$,且$21+49=70$,符合题意;
③设以35 cm长的钢筋作为最短边,经计算不符合题意。
故有两种不同的截法。
①设以35 cm长的钢筋作为最长边,其他两边长分别为$x$ cm和$y$ cm,由$\frac{x}{30}=\frac{y}{50}=\frac{35}{70}$,解得$x=15,y=25$,且$15+25=40＜70$,符合题意;
②设以35 cm长的钢筋作为次长边,其他两边长分别为$a$ cm和$b$ cm,由$\frac{a}{30}=\frac{b}{70}=\frac{35}{50}$,解得$a=21,b=49$,且$21+49=70$,符合题意;
③设以35 cm长的钢筋作为最短边,经计算不符合题意。
故有两种不同的截法。
解析
【分析】
解题核心是利用相似三角形对应边成比例的性质，结合三角形三边关系判断截法是否成立。首先排除将70cm钢筋作为新三角架一边的情况：若70cm为一边，另外两边需从35cm钢筋上截取，两边之和最大为35cm，小于70cm，不符合三角形两边之和大于第三边的要求，因此只能以35cm钢筋为一边，从70cm钢筋上截取另外两段。接下来分三种情况讨论：35cm的边分别对应原三角架的30cm最短边、50cm次长边、70cm最长边，根据相似比计算另外两边长度，再验证两边之和是否≤70cm，符合条件的即为有效截法。
【解析】
首先排除以70cm钢筋作为新三角架一边的情况：若70cm为新三角架的一边，另外两边需从35cm钢筋截取，两边之和最大为35cm＜70cm，不满足三角形三边关系，因此仅考虑以35cm为一边，截取70cm钢筋的情况，分三类讨论：
① 当35cm为新三角架的最长边时，对应原三角架的最长边70cm，设另外两边长分别为$x$ cm、$y$ cm，由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{x}{30}=\frac{y}{50}=\frac{35}{70}$
解得$x=15$，$y=25$，验证得$15+25=40＜70$，符合截取要求，此截法成立；
② 当35cm为新三角架的次长边时，对应原三角架的次长边50cm，设另外两边长分别为$a$ cm、$b$ cm，由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{a}{30}=\frac{b}{70}=\frac{35}{50}$
解得$a=21$，$b=49$，验证得$21+49=70$，符合截取要求，此截法成立；
③ 当35cm为新三角架的最短边时，对应原三角架的最短边30cm，设另外两边长分别为$m$ cm、$n$ cm，由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{m}{50}=\frac{n}{70}=\frac{35}{30}$
解得$m=\frac{175}{3}$，$n=\frac{245}{3}$，验证得$m+n＞70$，无法从70cm钢筋上截取，此截法不成立。
综上共有2种不同的截法。
【答案】
有2种不同的截法。
【知识点】
相似三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是先确定可作为三角架一边的钢筋，再通过分类讨论结合相似三角形对应边成比例计算边长，最后用三角形三边关系验证截法是否可行，解题时要注意不要漏算情况，也不能忽略实际截取的长度限制。
【难度系数】
0.6
解题核心是利用相似三角形对应边成比例的性质，结合三角形三边关系判断截法是否成立。首先排除将70cm钢筋作为新三角架一边的情况：若70cm为一边，另外两边需从35cm钢筋上截取，两边之和最大为35cm，小于70cm，不符合三角形两边之和大于第三边的要求，因此只能以35cm钢筋为一边，从70cm钢筋上截取另外两段。接下来分三种情况讨论：35cm的边分别对应原三角架的30cm最短边、50cm次长边、70cm最长边，根据相似比计算另外两边长度，再验证两边之和是否≤70cm，符合条件的即为有效截法。
【解析】
首先排除以70cm钢筋作为新三角架一边的情况：若70cm为新三角架的一边，另外两边需从35cm钢筋截取，两边之和最大为35cm＜70cm，不满足三角形三边关系，因此仅考虑以35cm为一边，截取70cm钢筋的情况，分三类讨论：
① 当35cm为新三角架的最长边时，对应原三角架的最长边70cm，设另外两边长分别为$x$ cm、$y$ cm，由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{x}{30}=\frac{y}{50}=\frac{35}{70}$
解得$x=15$，$y=25$，验证得$15+25=40＜70$，符合截取要求，此截法成立；
② 当35cm为新三角架的次长边时，对应原三角架的次长边50cm，设另外两边长分别为$a$ cm、$b$ cm，由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{a}{30}=\frac{b}{70}=\frac{35}{50}$
解得$a=21$，$b=49$，验证得$21+49=70$，符合截取要求，此截法成立；
③ 当35cm为新三角架的最短边时，对应原三角架的最短边30cm，设另外两边长分别为$m$ cm、$n$ cm，由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{m}{50}=\frac{n}{70}=\frac{35}{30}$
解得$m=\frac{175}{3}$，$n=\frac{245}{3}$，验证得$m+n＞70$，无法从70cm钢筋上截取，此截法不成立。
综上共有2种不同的截法。
【答案】
有2种不同的截法。
【知识点】
相似三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是先确定可作为三角架一边的钢筋，再通过分类讨论结合相似三角形对应边成比例计算边长，最后用三角形三边关系验证截法是否可行，解题时要注意不要漏算情况，也不能忽略实际截取的长度限制。
【难度系数】
0.6
