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7.如图,在钝角三角形ABC中,AB=6 cm,AC=12 cm,动点D从A点出发沿AB运动到点B,动点E从C点出发沿CA运动到点A,点D运动的速度为1 cm/s,点E运动的速度为2 cm/s。如果两点同时从起点开始运动,那么当以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动的时间是
3 s或4.8 s
。答案
7.3 s或4.8 s
解析
【分析】
本题是动点结合三角形相似的求解问题，解题思路如下：①先设运动时间为t，用含t的代数式分别表示出线段AD、AE的长度；②由于△ADE和△ABC有公共角∠A，根据两边成比例且夹角相等的相似判定定理，两个三角形相似存在两种对应情况：△ADE∽△ABC、△ADE∽△ACB；③分别根据两种相似的对应边成比例列方程求解，最后检验所得的t是否符合动点的运动范围即可。
【解析】
设两点的运动时间为$ t \, \mathrm{s} $，由题意得：
$ AD = t \, \mathrm{cm} $，$ AE = AC - CE = 12 - 2t \, \mathrm{cm} $，其中$ 0 ≤ t ≤ 6 $（D从A到B最多用时6s，E从C到A最多用时6s）。
∵ $ ∠ A $是△ADE和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
1. 当$ △ ADE ∽ △ ABC $时，对应边成比例：
$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $
代入数值：$ \frac{t}{6} = \frac{12 - 2t}{12} $
交叉相乘得：$ 12t = 6(12 - 2t) $
解得：$ t = 3 $，符合取值范围。
2. 当$ △ ADE ∽ △ ACB $时，对应边成比例：
$ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} $
代入数值：$ \frac{t}{12} = \frac{12 - 2t}{6} $
交叉相乘得：$ 6t = 12(12 - 2t) $
解得：$ t = 4.8 $，符合取值范围。
综上，运动时间为3s或4.8s。
【答案】
3 s或4.8 s
【知识点】
相似三角形的判定，动点问题求解，分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题的核心是抓住公共角不变的特点，对相似的对应关系进行分类讨论，同时要注意验证解是否符合动点的实际运动范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
本题是动点结合三角形相似的求解问题，解题思路如下：①先设运动时间为t，用含t的代数式分别表示出线段AD、AE的长度；②由于△ADE和△ABC有公共角∠A，根据两边成比例且夹角相等的相似判定定理，两个三角形相似存在两种对应情况：△ADE∽△ABC、△ADE∽△ACB；③分别根据两种相似的对应边成比例列方程求解，最后检验所得的t是否符合动点的运动范围即可。
【解析】
设两点的运动时间为$ t \, \mathrm{s} $，由题意得：
$ AD = t \, \mathrm{cm} $，$ AE = AC - CE = 12 - 2t \, \mathrm{cm} $，其中$ 0 ≤ t ≤ 6 $（D从A到B最多用时6s，E从C到A最多用时6s）。
∵ $ ∠ A $是△ADE和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
1. 当$ △ ADE ∽ △ ABC $时，对应边成比例：
$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $
代入数值：$ \frac{t}{6} = \frac{12 - 2t}{12} $
交叉相乘得：$ 12t = 6(12 - 2t) $
解得：$ t = 3 $，符合取值范围。
2. 当$ △ ADE ∽ △ ACB $时，对应边成比例：
$ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} $
代入数值：$ \frac{t}{12} = \frac{12 - 2t}{6} $
交叉相乘得：$ 6t = 12(12 - 2t) $
解得：$ t = 4.8 $，符合取值范围。
综上，运动时间为3s或4.8s。
【答案】
3 s或4.8 s
【知识点】
相似三角形的判定，动点问题求解，分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题的核心是抓住公共角不变的特点，对相似的对应关系进行分类讨论，同时要注意验证解是否符合动点的实际运动范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,点 E,F 在边 BC 上,点 Q 在边 AB 上,且 $CF=BE,AE^2=AQ· AB$。
求证:(1)$∠CAE=∠BAF$;
(2)$CF· FQ=AF· BQ$。
求证:(1)$∠CAE=∠BAF$;
(2)$CF· FQ=AF· BQ$。
答案
8. 证明:(1)
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵CF=BE，
∴CF-EF=BE-EF，
∴CE=BF。
在△ACE和△ABF中，
$\begin{cases} AC=AB, \\ ∠C=∠B, \\ CE=BF, \end{cases}$
∴△ACE≌△ABF(SAS)，
∴∠CAE=∠BAF。
(2)
∵△ACE≌△ABF，
∴AE=AF,∠CAE=∠BAF。
∵$AE^2=AQ· AB,AC=AB$，
∴$\frac{AE}{AQ}=\frac{AC}{AF}$，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF。
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE。
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴$\frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$，
即$CF· FQ=AF· BQ$。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵CF=BE，
∴CF-EF=BE-EF，
∴CE=BF。
在△ACE和△ABF中，
$\begin{cases} AC=AB, \\ ∠C=∠B, \\ CE=BF, \end{cases}$
∴△ACE≌△ABF(SAS)，
∴∠CAE=∠BAF。
(2)
∵△ACE≌△ABF，
∴AE=AF,∠CAE=∠BAF。
∵$AE^2=AQ· AB,AC=AB$，
∴$\frac{AE}{AQ}=\frac{AC}{AF}$，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF。
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE。
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴$\frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$，
即$CF· FQ=AF· BQ$。
解析
【分析】
(1) 要证∠CAE=∠BAF，可通过证明两角所在的△ACE和△ABF全等实现。首先由等腰三角形AB=AC可得底角∠C=∠B，再根据CF=BE，两边同时减去公共线段EF可得CE=BF，满足SAS全等判定条件，证得全等后对应角相等即可得证。
(2) 要证等积式CF·FQ=AF·BQ，可先转化为比例式$\frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$，需证明△CAF和△BFQ相似。首先由(1)的全等结论可得AE=AF，结合已知$AE^2=AQ·AB$、AB=AC推导边的比例关系，再逐步推导对应角相等，即可证明三角形相似，最终将比例式转化为等积式得证。
【解析】
(1)
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵CF=BE，
∴CF-EF=BE-EF，即CE=BF。
在△ACE和△ABF中，
$\begin{cases} AC=AB, \\ ∠C=∠B, \\ CE=BF, \end{cases}$
∴△ACE≌△ABF(SAS)，
∴∠CAE=∠BAF。
(2)
∵△ACE≌△ABF，
∴AE=AF,∠CAE=∠BAF。
∵$AE^2=AQ· AB,AC=AB$，
∴$\frac{AE}{AQ}=\frac{AC}{AF}$，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF。
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE。
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴$\frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$，
即$CF· FQ=AF· BQ$。
【答案】
(1) ∠CAE=∠BAF得证；
(2) CF·FQ=AF·BQ得证。
（完整证明过程见解析）
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查全等和相似三角形的应用，解题核心是从已知条件出发逐步推导边、角的等量关系，先通过全等得到基础的边、角相等关系，再为相似证明创造条件，对逻辑推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证∠CAE=∠BAF，可通过证明两角所在的△ACE和△ABF全等实现。首先由等腰三角形AB=AC可得底角∠C=∠B，再根据CF=BE，两边同时减去公共线段EF可得CE=BF，满足SAS全等判定条件，证得全等后对应角相等即可得证。
(2) 要证等积式CF·FQ=AF·BQ，可先转化为比例式$\frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$，需证明△CAF和△BFQ相似。首先由(1)的全等结论可得AE=AF，结合已知$AE^2=AQ·AB$、AB=AC推导边的比例关系，再逐步推导对应角相等，即可证明三角形相似，最终将比例式转化为等积式得证。
【解析】
(1)
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵CF=BE，
∴CF-EF=BE-EF，即CE=BF。
在△ACE和△ABF中，
$\begin{cases} AC=AB, \\ ∠C=∠B, \\ CE=BF, \end{cases}$
∴△ACE≌△ABF(SAS)，
∴∠CAE=∠BAF。
(2)
∵△ACE≌△ABF，
∴AE=AF,∠CAE=∠BAF。
∵$AE^2=AQ· AB,AC=AB$，
∴$\frac{AE}{AQ}=\frac{AC}{AF}$，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF。
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE。
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴$\frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$，
即$CF· FQ=AF· BQ$。
【答案】
(1) ∠CAE=∠BAF得证；
(2) CF·FQ=AF·BQ得证。
（完整证明过程见解析）
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查全等和相似三角形的应用，解题核心是从已知条件出发逐步推导边、角的等量关系，先通过全等得到基础的边、角相等关系，再为相似证明创造条件，对逻辑推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
9.(2025·永修县校级三模)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,OA=8,OC=6,连接AC,D为AC的中点,点P在坐标轴上。若以P,A,D为顶点的三角形与△ABC相似,则点P的坐标为
$(4,0)$或$(\frac{7}{4},0)$或$(0,-\frac{7}{3})$
。答案
9.$(4,0)$或$(\frac{7}{4},0)$或$(0,-\frac{7}{3})$
解析
【分析】
首先根据矩形边长确定各点坐标：由矩形OABC中OA=8、OC=6，可得A(8,0)、C(0,6)、B(8,6)，D是AC中点，因此D坐标为(4,3)，AC长为10，故AD=5；△ABC是直角三角形，直角边AB=6、BC=8，斜边为10。
接下来分两类讨论：①点P在x轴上，②点P在y轴上；每类中根据相似三角形对应角、对应边的不同情况，结合相似判定条件（两边成比例且夹角相等）列等式求解，最后验证所得点是否符合相似条件，排除不符合的解。
【解析】
1. 求基础坐标与线段长度
∵四边形OABC是矩形，OA=8，OC=6
∴$A(8,0)$，$C(0,6)$，$B(8,6)$，$AC=\sqrt{8^2+6^2}=10$
∵D是AC中点，
∴$D(4,3)$，$AD=\frac{AC}{2}=5$
△ABC中，$∠ B=90°$，$AB=6$，$BC=8$。
2. 分情况求点P坐标
情况1：P在x轴上，设$P(p,0)$，$∠ PAD=∠ BCA$（OA//BC，内错角相等）
① 当$∠ APD=∠ B=90°$时，PD⊥x轴，此时P的横坐标与D相同，即$p=4$，得$P(4,0)$，验证可知对应边成比例，符合相似要求。
② 当$∠ ADP=∠ B=90°$时，△ADP∽△ABC，由相似性质得$\frac{AD}{BC}=\frac{AP}{AC}$，代入数据$\frac{5}{8}=\frac{AP}{10}$，解得$AP=\frac{25}{4}$，因此$p=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$，得$P(\frac{7}{4},0)$，验证符合要求。
情况2：P在y轴上，设$P(0,q)$，$∠ PAD=∠ BCA$
当$∠ ADP=∠ B=90°$时，△ADP∽△CBA，由相似性质得$\frac{AD}{AB}=\frac{AP}{AC}$，代入数据$\frac{5}{6}=\frac{AP}{10}$，解得$AP=\frac{25}{3}$。
由距离公式$\sqrt{8^2+q^2}=\frac{25}{3}$，平方后解得$q=\pm\frac{7}{3}$，$q=\frac{7}{3}$时角度不符合相似要求舍去，故$P(0,-\frac{7}{3})$。
【答案】
$(4,0)$或$(\frac{7}{4},0)$或$(0,-\frac{7}{3})$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定；平面直角坐标系
【点评】
本题结合矩形性质与相似三角形判定考查，解题时需注意分类讨论点P的位置，同时相似三角形对应关系不唯一，要全面分析避免漏解，对分类讨论思想的应用要求较高。
【难度系数】
0.4
首先根据矩形边长确定各点坐标：由矩形OABC中OA=8、OC=6，可得A(8,0)、C(0,6)、B(8,6)，D是AC中点，因此D坐标为(4,3)，AC长为10，故AD=5；△ABC是直角三角形，直角边AB=6、BC=8，斜边为10。
接下来分两类讨论：①点P在x轴上，②点P在y轴上；每类中根据相似三角形对应角、对应边的不同情况，结合相似判定条件（两边成比例且夹角相等）列等式求解，最后验证所得点是否符合相似条件，排除不符合的解。
【解析】
1. 求基础坐标与线段长度
∵四边形OABC是矩形，OA=8，OC=6
∴$A(8,0)$，$C(0,6)$，$B(8,6)$，$AC=\sqrt{8^2+6^2}=10$
∵D是AC中点，
∴$D(4,3)$，$AD=\frac{AC}{2}=5$
△ABC中，$∠ B=90°$，$AB=6$，$BC=8$。
2. 分情况求点P坐标
情况1：P在x轴上，设$P(p,0)$，$∠ PAD=∠ BCA$（OA//BC，内错角相等）
① 当$∠ APD=∠ B=90°$时，PD⊥x轴，此时P的横坐标与D相同，即$p=4$，得$P(4,0)$，验证可知对应边成比例，符合相似要求。
② 当$∠ ADP=∠ B=90°$时，△ADP∽△ABC，由相似性质得$\frac{AD}{BC}=\frac{AP}{AC}$，代入数据$\frac{5}{8}=\frac{AP}{10}$，解得$AP=\frac{25}{4}$，因此$p=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$，得$P(\frac{7}{4},0)$，验证符合要求。
情况2：P在y轴上，设$P(0,q)$，$∠ PAD=∠ BCA$
当$∠ ADP=∠ B=90°$时，△ADP∽△CBA，由相似性质得$\frac{AD}{AB}=\frac{AP}{AC}$，代入数据$\frac{5}{6}=\frac{AP}{10}$，解得$AP=\frac{25}{3}$。
由距离公式$\sqrt{8^2+q^2}=\frac{25}{3}$，平方后解得$q=\pm\frac{7}{3}$，$q=\frac{7}{3}$时角度不符合相似要求舍去，故$P(0,-\frac{7}{3})$。
【答案】
$(4,0)$或$(\frac{7}{4},0)$或$(0,-\frac{7}{3})$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定；平面直角坐标系
【点评】
本题结合矩形性质与相似三角形判定考查，解题时需注意分类讨论点P的位置，同时相似三角形对应关系不唯一，要全面分析避免漏解，对分类讨论思想的应用要求较高。
【难度系数】
0.4
10.如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,过点 C 任作一直线 $l$,过点 A 作 $AD⊥ l$ 于点 D,过点 B 作 $BE⊥ l$ 于点 E。
(1)指出图中的一对相似三角形并证明；
(2)若使 $△ ABC∽△ CBE$,需添加一个条件,这个条件可以是
(1)指出图中的一对相似三角形并证明；
(2)若使 $△ ABC∽△ CBE$,需添加一个条件,这个条件可以是
$∠BAC=∠BCE$(答案不唯一)
。(只要求写出一种情况即可)答案
10. 解:(1)$△ ACD∽△ CBE$。
证明:
∵$AD⊥ l$于点D,$BE⊥ l$于点E，
∴$∠ADC=∠CEB=90°$。
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠DAC+∠DCA=∠BCE+∠DCA=90°$，
∴$∠DAC=∠BCE$，
∴$△ ACD∽△ CBE$。
(2)$∠BAC=∠BCE$(答案不唯一)
证明:
∵$AD⊥ l$于点D,$BE⊥ l$于点E，
∴$∠ADC=∠CEB=90°$。
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠DAC+∠DCA=∠BCE+∠DCA=90°$，
∴$∠DAC=∠BCE$，
∴$△ ACD∽△ CBE$。
(2)$∠BAC=∠BCE$(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 首先观察图形中的直角特征：由AD垂直直线l、BE垂直直线l可得两个直角相等，再结合∠ACB=90°，可推导出∠DAC和∠BCE都是∠DCA的余角，根据同角的余角相等得到一组角相等，即可利用两角分别相等的判定定理证明三角形相似。
(2) 已知△ABC和△CBE都是直角三角形，已经有一组直角对应相等，根据相似三角形的判定规则，只需再添加一组对应角相等，或者一组直角边对应成比例即可满足相似要求，答案不唯一。
【解析】
(1) 相似三角形为$△ ACD ∽ △ CBE$，证明过程如下：
$\because AD ⊥ l$于点D，$BE ⊥ l$于点E，
$\therefore ∠ ADC = ∠ CEB = 90°$，
$\because ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ DAC + ∠ DCA = 90°$，$∠ BCE + ∠ DCA = 180° - ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ DAC = ∠ BCE$，
$\therefore △ ACD ∽ △ CBE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 已知$∠ ACB = ∠ CEB = 90°$，若添加$∠ BAC = ∠ BCE$，即可根据两角分别相等的判定定理得到$△ ABC ∽ △ CBE$。
【答案】
(1) $△ ACD ∽ △ CBE$，证明见解析；
(2) $∠ BAC = ∠ BCE$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定、同角的余角相等、垂直的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定方法，解题核心是结合已知的垂直条件和直角推导相等的角，第二问为开放性问题，只要符合相似三角形的判定条件即可。
【难度系数】
0.8
(1) 首先观察图形中的直角特征：由AD垂直直线l、BE垂直直线l可得两个直角相等，再结合∠ACB=90°，可推导出∠DAC和∠BCE都是∠DCA的余角，根据同角的余角相等得到一组角相等，即可利用两角分别相等的判定定理证明三角形相似。
(2) 已知△ABC和△CBE都是直角三角形，已经有一组直角对应相等，根据相似三角形的判定规则，只需再添加一组对应角相等，或者一组直角边对应成比例即可满足相似要求，答案不唯一。
【解析】
(1) 相似三角形为$△ ACD ∽ △ CBE$，证明过程如下：
$\because AD ⊥ l$于点D，$BE ⊥ l$于点E，
$\therefore ∠ ADC = ∠ CEB = 90°$，
$\because ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ DAC + ∠ DCA = 90°$，$∠ BCE + ∠ DCA = 180° - ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ DAC = ∠ BCE$，
$\therefore △ ACD ∽ △ CBE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 已知$∠ ACB = ∠ CEB = 90°$，若添加$∠ BAC = ∠ BCE$，即可根据两角分别相等的判定定理得到$△ ABC ∽ △ CBE$。
【答案】
(1) $△ ACD ∽ △ CBE$，证明见解析；
(2) $∠ BAC = ∠ BCE$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定、同角的余角相等、垂直的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定方法，解题核心是结合已知的垂直条件和直角推导相等的角，第二问为开放性问题，只要符合相似三角形的判定条件即可。
【难度系数】
0.8
