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11. 如图所示的是老师在黑板上的讲解,请仔细阅读,并解答所提出的问题。
请用运算律简便计算下列各题:
(1)$999×(-15)$;
(2)$999×118\frac{4}{5}+999×(-\frac{1}{5})-999×18\frac{3}{5}$。
请用运算律简便计算下列各题:
(1)$999×(-15)$;
(2)$999×118\frac{4}{5}+999×(-\frac{1}{5})-999×18\frac{3}{5}$。
答案
解:(1)原式$=(1\ 000-1)×(-15)=1\ 000×(-15)-1×(-15)=-15\ 000+15=-14\ 985$。
(2)原式$=999×(118\frac{4}{5}-\frac{1}{5}-18\frac{3}{5})=999×100=99\ 900$。
(2)原式$=999×(118\frac{4}{5}-\frac{1}{5}-18\frac{3}{5})=999×100=99\ 900$。
解析
【分析】
这两道题均可利用乘法分配律实现简便计算：
(1) 观察到999接近整千数1000，可将999改写为(1000-1)，再正向运用乘法分配律展开计算，避免直接计算大数乘法，简化运算过程。
(2) 观察到算式三个项都含有公因数999，可逆用乘法分配律，先计算括号内分数的加减运算，凑出整百数后再与999相乘，大幅降低计算难度。
【解析】
(1) 先拆分999，再运用乘法分配律计算：
原式$=(1000-1)×(-15)$
$=1000×(-15)-1×(-15)$
$=-15000+15$
$=-14985$
(2) 提取公因数999，先计算括号内的运算：
原式$=999×(118\frac{4}{5}-\frac{1}{5}-18\frac{3}{5})$
$=999×100$
$=99900$
【答案】
(1) $\boxed{-14985}$；(2) $\boxed{99900}$
【知识点】
乘法分配律，有理数简便运算
【点评】
本题重点考查运算律在有理数计算中的灵活运用，需要熟练掌握乘法分配律的正向、逆向使用方法，学会通过拆数凑整、提取公因数的技巧简化运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
这两道题均可利用乘法分配律实现简便计算：
(1) 观察到999接近整千数1000，可将999改写为(1000-1)，再正向运用乘法分配律展开计算，避免直接计算大数乘法，简化运算过程。
(2) 观察到算式三个项都含有公因数999，可逆用乘法分配律，先计算括号内分数的加减运算，凑出整百数后再与999相乘，大幅降低计算难度。
【解析】
(1) 先拆分999，再运用乘法分配律计算：
原式$=(1000-1)×(-15)$
$=1000×(-15)-1×(-15)$
$=-15000+15$
$=-14985$
(2) 提取公因数999，先计算括号内的运算：
原式$=999×(118\frac{4}{5}-\frac{1}{5}-18\frac{3}{5})$
$=999×100$
$=99900$
【答案】
(1) $\boxed{-14985}$；(2) $\boxed{99900}$
【知识点】
乘法分配律，有理数简便运算
【点评】
本题重点考查运算律在有理数计算中的灵活运用，需要熟练掌握乘法分配律的正向、逆向使用方法，学会通过拆数凑整、提取公因数的技巧简化运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
12.小明有5张写着不同数字的卡片(如图),请按要求抽出卡片,回答下列各题:
(1)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字的和最小,如何抽取?最小值是多少?
(2)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字的差最大,如何抽取?最大值是多少?
(3)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字的乘积最大,如何抽取?最大值是多少?
(4)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字相除的商最小,如何抽取?最小值是多少?
(1)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字的和最小,如何抽取?最小值是多少?
(2)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字的差最大,如何抽取?最大值是多少?
(3)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字的乘积最大,如何抽取?最大值是多少?
(4)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字相除的商最小,如何抽取?最小值是多少?
答案
解:(1)抽取上面数字为$-3$和$-5$的卡片,最小值是$-8$。
(2)抽取上面数字为4和$-5$的卡片,最大值是9。
(3)抽取上面数字为$-3$和$-5$的卡片,最大值是15。
(4)抽取上面数字为$-5$和3的卡片,最小值是$-\frac{5}{3}$。
(2)抽取上面数字为4和$-5$的卡片,最大值是9。
(3)抽取上面数字为$-3$和$-5$的卡片,最大值是15。
(4)抽取上面数字为$-5$和3的卡片,最小值是$-\frac{5}{3}$。
解析
【分析】
解题前先将5张卡片的数字按从小到大排序：$-5 ＜ -3 ＜ 0 ＜ 3 ＜ 4$，再逐个分析各小问：
(1)要使两数之和最小，需选取数值最小的两个数相加，根据有理数加法规则，两个负数相加和更小，因此选最小的两个负数即可；
(2)要使两数之差最大，根据“差=被减数-减数”，需选取最大的数作为被减数，最小的数作为减数，此时减去最小的负数相当于加它的绝对值，差最大；
(3)要使两数乘积最大，根据有理数乘法规则“同号得正，异号得负”，乘积为正数时更大，因此分别计算两组同号大数的乘积，比较后选取更大的即可；
(4)要使两数的商最小，由于正数都大于负数，因此商应为负数，需让商的绝对值最大，因此选取绝对值最大的负数作被除数，最小的正数作除数，得到的负商最小。
【解析】
先列出5张卡片的数字：$-5$、$-3$、$0$、$3$、$4$，排序得：$\boldsymbol{-5 ＜ -3 ＜ 0 ＜ 3 ＜ 4}$
(1) 要使和最小，选取最小的两个数$-5$和$-3$：
和为 $(-5)+(-3)=-8$
(2) 要使差最大，选取最大的数$4$作被减数，最小的数$-5$作减数：
差为 $4 - (-5)=4+5=9$
(3) 要使乘积最大，同号两数相乘得正，分别计算：
同正最大两数乘积：$3×4=12$
同负两数乘积：$(-3)×(-5)=15$
因为$15＞12$，所以最大乘积为$15$，选$-3$和$-5$。
(4) 要使商最小，商需为负数（负数＜正数），且绝对值最大：
可选组合中，$(-5)÷3=-\frac{5}{3}$，$4÷(-3)=-\frac{4}{3}$，比较得$-\frac{5}{3}＜-\frac{4}{3}$，因此最小商为$-\frac{5}{3}$，选$-5$和$3$。
【答案】
(1)抽取写有$-3$和$-5$的卡片，最小值是$-8$；
(2)抽取写有$4$和$-5$的卡片，最大值是$9$；
(3)抽取写有$-3$和$-5$的卡片，最大值是$15$；
(4)抽取写有$-5$和$3$的卡片，最小值是$-\frac{5}{3}$。
【知识点】
有理数加减运算；有理数乘除运算；有理数大小比较
【点评】
本题需要结合有理数四则运算的符号规则和数的大小规律选择合适的数字，解题时要注意负数运算的符号变化，尤其是做差和除法运算时避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7
解题前先将5张卡片的数字按从小到大排序：$-5 ＜ -3 ＜ 0 ＜ 3 ＜ 4$，再逐个分析各小问：
(1)要使两数之和最小，需选取数值最小的两个数相加，根据有理数加法规则，两个负数相加和更小，因此选最小的两个负数即可；
(2)要使两数之差最大，根据“差=被减数-减数”，需选取最大的数作为被减数，最小的数作为减数，此时减去最小的负数相当于加它的绝对值，差最大；
(3)要使两数乘积最大，根据有理数乘法规则“同号得正，异号得负”，乘积为正数时更大，因此分别计算两组同号大数的乘积，比较后选取更大的即可；
(4)要使两数的商最小，由于正数都大于负数，因此商应为负数，需让商的绝对值最大，因此选取绝对值最大的负数作被除数，最小的正数作除数，得到的负商最小。
【解析】
先列出5张卡片的数字：$-5$、$-3$、$0$、$3$、$4$，排序得：$\boldsymbol{-5 ＜ -3 ＜ 0 ＜ 3 ＜ 4}$
(1) 要使和最小，选取最小的两个数$-5$和$-3$：
和为 $(-5)+(-3)=-8$
(2) 要使差最大，选取最大的数$4$作被减数，最小的数$-5$作减数：
差为 $4 - (-5)=4+5=9$
(3) 要使乘积最大，同号两数相乘得正，分别计算：
同正最大两数乘积：$3×4=12$
同负两数乘积：$(-3)×(-5)=15$
因为$15＞12$，所以最大乘积为$15$，选$-3$和$-5$。
(4) 要使商最小，商需为负数（负数＜正数），且绝对值最大：
可选组合中，$(-5)÷3=-\frac{5}{3}$，$4÷(-3)=-\frac{4}{3}$，比较得$-\frac{5}{3}＜-\frac{4}{3}$，因此最小商为$-\frac{5}{3}$，选$-5$和$3$。
【答案】
(1)抽取写有$-3$和$-5$的卡片，最小值是$-8$；
(2)抽取写有$4$和$-5$的卡片，最大值是$9$；
(3)抽取写有$-3$和$-5$的卡片，最大值是$15$；
(4)抽取写有$-5$和$3$的卡片，最小值是$-\frac{5}{3}$。
【知识点】
有理数加减运算；有理数乘除运算；有理数大小比较
【点评】
本题需要结合有理数四则运算的符号规则和数的大小规律选择合适的数字，解题时要注意负数运算的符号变化，尤其是做差和除法运算时避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7
