14 整理与复习
知识梳理

专题探究

解：
① 去括号
② 移项
③ 合并同类项
④ 系数化为1
⑤ 等量关系
⑥ 相遇

【分析】
本题是一元一次方程章节的基础知识点梳理题，可分两部分推导答案：1. 回忆一元一次方程的标准求解步骤，按去分母后的顺序填空即可得到①~④的答案；2. 回忆一元一次方程应用的相关内容：列方程解应用题的核心前提是找到题目中的等量关系，行程问题的常见分类为相遇问题和追及问题，据此可得出⑤和⑥的答案。
【解析】
1. 一元一次方程的解法按操作顺序为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，因此①填去括号，②填移项，③填合并同类项，④填系数化为1。
2. 一元一次方程解应用题的步骤为：先寻找题目中的等量关系，再列方程、解方程、验证结果，因此⑤填等量关系。
3. 行程问题的常见题型包含相遇问题和追及问题，因此⑥填相遇。
【答案】
① 去括号
② 移项
③ 合并同类项
④ 系数化为1
⑤ 等量关系
⑥ 相遇
【知识点】
一元一次方程的解法；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础知识点考查题，内容均为一元一次方程章节的核心基础内容，熟练掌握这些知识点是正确求解一元一次方程、解决相关实际应用题的必要前提。
【难度系数】
0.9

1. 解方程：$\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{1}{6}(2x - 1) = -\frac{1}{3}(2x - 1) + 9$。

1. x=5

【分析】
观察方程可发现，左右两边的含未知数项都含有相同的整体因式$(2x-1)$，因此我们可以将$(2x-1)$看作一个整体进行运算，先通过移项把所有含$(2x-1)$的项移到方程左侧，再合并同类项简化方程，最后求解$x$即可，这种方法比直接去括号、去分母更简便，能减少计算错误。
【解析】
解：移项，得
$\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{1}{6}(2x - 1) + \frac{1}{3}(2x - 1) = 9$
将$(2x-1)$看作整体合并同类项，计算系数和：
$(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3})(2x - 1) = 9$
通分计算系数得$\frac{3}{6} + \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = 1$，因此化简为：
$2x - 1 = 9$
移项，得
$2x = 9 + 1$
合并同类项，得
$2x = 10$
系数化为1，得
$x = 5$
【答案】
$x=5$
【知识点】
一元一次方程的解法；移项；合并同类项
【点评】
本题既可以通过常规去分母、去括号的步骤求解，也可以通过观察式子结构，将相同的含未知数部分看作整体合并简化计算，解题时优先观察式子特点，选择简便方法可提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8

2.解方程：$2(x+1)-\frac{1}{2}(x-1)=2(x-1)+\frac{1}{2}(x+1)$。

2. x=4

【分析】这是一道一元一次方程求解题目，观察方程可发现左右两边都含有(x+1)和(x-1)的项，我们既可以按常规的去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，也可以将(x+1)、(x-1)看作整体，先移项合并同类项简化计算，移项时注意要改变符号。
【解析】
解：（可选两种方法任意一种）
方法一（整体简化法）
1. 移项：将含(x+1)的项统一移到方程左侧，含(x-1)的项统一移到方程右侧
$2(x+1)-\frac{1}{2}(x+1)=2(x-1)+\frac{1}{2}(x-1)$
2. 合并同类项：
$\frac{3}{2}(x+1)=\frac{5}{2}(x-1)$
3. 两边同时乘2消去分母：
$3(x+1)=5(x-1)$
4. 去括号：
$3x+3=5x-5$
5. 移项：
$3x-5x=-5-3$
6. 合并同类项：
$-2x=-8$
7. 系数化为1：
$x=4$
方法二（常规解法）
1. 两边同时乘2消去分母：
$4(x+1)-(x-1)=4(x-1)+(x+1)$
2. 去括号：
$4x+4-x+1=4x-4+x+1$
3. 合并同类项：
$3x+5=5x-3$
4. 移项：
$3x-5x=-3-5$
5. 合并同类项：
$-2x=-8$
6. 系数化为1：
$x=4$
【答案】$x=4$
【知识点】一元一次方程的解法；移项；合并同类项
【点评】本题既可以用常规步骤求解，也可以通过观察方程结构用整体思想简化计算，计算时要注意移项变号、去括号时符号的处理，避免低级计算错误。
【难度系数】0.8

3.如图所示的是由6个正方形拼成的长方形，若中间最小的正方形的边长为1，则拼成的长方形的面积是。

3. 143

【分析】
解决本题的核心是利用正方形边长相等、长方形对边相等的性质，通过设未知数建立方程求解。首先观察图形可知右下角的两个正方形大小相同，我们可设其边长为$x$，再结合最小正方形边长为1，依次表示出其余正方形的边长，最后根据长方形上下两条长相等的等量关系列方程，求出$x$后即可计算长方形的面积。
【解析】
设右下角两个大小相同的正方形的边长为$x$。
根据图形中正方形边长的关系，可得：
左下角正方形边长为$x+1$，
左上角正方形边长为$(x+1)+1=x+2$，
右上角正方形边长为$(x+2)+1=x+3$。
长方形的上边长为左上角正方形边长加右上角正方形边长，即：$(x+2)+(x+3)=2x+5$
长方形的下边长为左下角正方形边长加两个右下角正方形边长，即：$(x+1)+x+x=3x+1$
因为长方形对边相等，所以列方程：
$2x+5=3x+1$
解得：$x=4$
则长方形的长为$2×4+5=13$，
长方形的宽为右上角正方形边长加右下角正方形边长：$(x+3)+x=(4+3)+4=11$，
长方形面积为长乘宽：$13×11=143$。
【答案】
143
【知识点】
一元一次方程的应用；正方形的性质；长方形的性质
【点评】
本题是典型的几何与代数结合的应用题，解题的关键是准确找到图形中边长的等量关系，合理设未知数列出方程求解，很好地考察了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6

4.如图,在长方形ABCD中,AD=BC=12 cm,AB=DC=8 cm。动点P从点A出发沿AD向点D运动,速度是1 cm/s,动点Q从点C出发沿CB向点B运动,当到达点B后继续沿BA向点A运动,速度是3 cm/s。P,Q两点同时出发,并开始计时,设运动的时间是t s。
(1)当点Q在线段CB上运动,t为何值时,PD=CQ?
(2)当点Q在线段BA上运动,t为何值时,AP=AQ?
(3)当点Q在线段CB上运动,t为何值时,四边形PQCD的面积是长方形ABCD面积的$\frac{2}{3}$?

解:(1)由 PD=CQ，
得 12−t=3t，
即 4t=12，
解得 t=3。
(2)由 AP=AQ，
得 t=12+8−3t，
即 4t=20，
解得 t=5。
(3)由 $S_{四边形PQCD}=\frac{2}{3}S_{长方形ABCD}$，
得 $\frac{1}{2}×(12−t+3t)×8=\frac{2}{3}×12×8$，
即 6+t=8，
解得 t=2。

【分析】
(1) 首先根据动点的速度和运动时间，用含t的代数式表示对应线段长度：点P的运动路程AP=t cm，因此PD=AD-AP=(12-t)cm；点Q在线段CB上运动时，运动路程CQ=3t cm，结合PD=CQ的等量关系列一元一次方程即可求解。
(2) 当点Q在线段BA上运动时，点Q已经走完CB段的12 cm，总运动路程为3t cm，因此AQ的长度为CB+AB的总长度减去Q的总路程，即AQ=(12+8-3t)cm，AP=t cm，结合AP=AQ的等量关系列方程求解。
(3) 四边形PQCD是梯形，上底为PD=(12-t)cm，下底为CQ=3t cm，高为长方形的宽AB=8 cm，先计算长方形ABCD的面积，再根据四边形PQCD的面积是长方形面积的$\frac{2}{3}$的条件，结合梯形面积公式列方程求解即可。
【解析】
解：(1) 当点Q在线段CB上运动时，$AP=t\ \mathrm{cm}$，$CQ=3t\ \mathrm{cm}$，$PD=AD-AP=(12-t)\ \mathrm{cm}$，
由$PD=CQ$列方程：
$12-t=3t$
移项合并得$4t=12$，
解得$t=3$。
(2) 当点Q在线段BA上运动时，点Q总运动路程为$3t\ \mathrm{cm}$，$AQ=BC+AB-3t=(20-3t)\ \mathrm{cm}$，$AP=t\ \mathrm{cm}$，
由$AP=AQ$列方程：
$t=20-3t$
移项合并得$4t=20$，
解得$t=5$。
(3) 长方形ABCD的面积为$12×8=96\ \mathrm{cm}^2$，梯形PQCD的面积公式为$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，
由题意列方程：
$\frac{1}{2}×(12-t+3t)×8=\frac{2}{3}×96$
化简得$4×(12+2t)=64$，即$12+2t=16$，
解得$t=2$。
【答案】
(1)$t=3$；(2)$t=5$；(3)$t=2$
【知识点】
一元一次方程的应用，动点问题，梯形面积计算
【点评】
本题属于典型的几何动点结合方程的题型，核心是分情况判断动点的位置，准确用含t的代数式表示对应线段长度，再结合几何图形的性质或题给等量关系列方程求解，能够锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7