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2. 如图17,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子,向后退到B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E.再将镜子放到C处,然后后退到D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O,A,B,C,D在同一条直线上),测得AC=2 m,BD=2.1 m.如果小明眼睛距地面高度BF,DG为1.6 m,试确定楼的高度OE.
答案
解：设楼的高度$OE=x\ \mathrm{m}$，$AO=y\ \mathrm{m}$。
由光的反射定律得$∠ EAO=∠ FAB$，
$\because OE⊥ OD$，$BF⊥ OD$，
$\therefore ∠ EOA=∠ FBA=90°$，
$\therefore △ AOE ∽ △ ABF$，
$\therefore \dfrac{BF}{OE}=\dfrac{AB}{AO}$，即$\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{AB}{y}$，
整理得$AB=\dfrac{1.6y}{x}$。
同理可得$∠ ECO=∠ GCD$，$∠ EOC=∠ GDC=90°$，
$\therefore △ COE ∽ △ CDG$，
$\therefore \dfrac{DG}{OE}=\dfrac{CD}{CO}$，又$CO=AC+AO=2+y$，
即$\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{CD}{2+y}$，
整理得$CD=\dfrac{1.6(y+2)}{x}$。
由题意可知$BD=CD+BC$，$AC=AB+BC$，
两式相减得$BD-AC=CD-AB$，
代入$AC=2\ \mathrm{m}$，$BD=2.1\ \mathrm{m}$，得$CD-AB=0.1\ \mathrm{m}$，
将$AB$、$CD$代入得：
$\dfrac{1.6(y+2)}{x}-\dfrac{1.6y}{x}=0.1$
化简得$\dfrac{3.2}{x}=0.1$，
解得$x=32$。
答：楼的高度$OE$为$32\ \mathrm{m}$。
由光的反射定律得$∠ EAO=∠ FAB$，
$\because OE⊥ OD$，$BF⊥ OD$，
$\therefore ∠ EOA=∠ FBA=90°$，
$\therefore △ AOE ∽ △ ABF$，
$\therefore \dfrac{BF}{OE}=\dfrac{AB}{AO}$，即$\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{AB}{y}$，
整理得$AB=\dfrac{1.6y}{x}$。
同理可得$∠ ECO=∠ GCD$，$∠ EOC=∠ GDC=90°$，
$\therefore △ COE ∽ △ CDG$，
$\therefore \dfrac{DG}{OE}=\dfrac{CD}{CO}$，又$CO=AC+AO=2+y$，
即$\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{CD}{2+y}$，
整理得$CD=\dfrac{1.6(y+2)}{x}$。
由题意可知$BD=CD+BC$，$AC=AB+BC$，
两式相减得$BD-AC=CD-AB$，
代入$AC=2\ \mathrm{m}$，$BD=2.1\ \mathrm{m}$，得$CD-AB=0.1\ \mathrm{m}$，
将$AB$、$CD$代入得：
$\dfrac{1.6(y+2)}{x}-\dfrac{1.6y}{x}=0.1$
化简得$\dfrac{3.2}{x}=0.1$，
解得$x=32$。
答：楼的高度$OE$为$32\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题是利用相似三角形测量建筑物高度的实际问题，解题思路如下：首先根据光的反射定律可得反射角等于入射角，从而得到两组相等的角，结合垂直条件得到两对相似直角三角形；接下来设出楼的高度OE和距离AO，利用相似三角形对应边成比例，分别将AB、CD用所设未知数表示；再根据线段的和差关系，得出BD-AC=CD-AB，代入数值后可消去中间未知量AO，直接求解得到OE的长度即可。
【解析】
设楼的高度$OE=x\ \mathrm{m}$，$AO=y\ \mathrm{m}$。
由光的反射定律得$∠ EAO=∠ FAB$，
$\because OE⊥ OD$，$BF⊥ OD$，
$\therefore ∠ EOA=∠ FBA=90°$，
$\therefore △ AOE ∽ △ ABF$，
$\therefore \dfrac{BF}{OE}=\dfrac{AB}{AO}$，即$\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{AB}{y}$，
整理得$AB=\dfrac{1.6y}{x}$。
同理可得$∠ ECO=∠ GCD$，$∠ EOC=∠ GDC=90°$，
$\therefore △ COE ∽ △ CDG$，
$\therefore \dfrac{DG}{OE}=\dfrac{CD}{CO}$，又$CO=AC+AO=2+y$，
即$\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{CD}{2+y}$，
整理得$CD=\dfrac{1.6(y+2)}{x}$。
由题意可知$BD=CD+BC$，$AC=AB+BC$，
两式相减得$BD-AC=CD-AB$，
代入$AC=2\ \mathrm{m}$，$BD=2.1\ \mathrm{m}$，得$CD-AB=0.1\ \mathrm{m}$，
将$AB$、$CD$代入得：
$\dfrac{1.6(y+2)}{x}-\dfrac{1.6y}{x}=0.1$
化简得$\dfrac{3.2}{x}=0.1$，
解得$x=32$。
答：楼的高度$OE$为$32\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{32\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.光的反射定律
3.消元法求值
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，巧妙利用镜面反射构造相似三角形，无需直接测量被测建筑物到测量点的距离，通过两次测量的线段差值进行消元即可求解，解题的关键是准确识别相似三角形，理清线段之间的和差关系。
【难度系数】
0.6
本题是利用相似三角形测量建筑物高度的实际问题，解题思路如下：首先根据光的反射定律可得反射角等于入射角，从而得到两组相等的角，结合垂直条件得到两对相似直角三角形；接下来设出楼的高度OE和距离AO，利用相似三角形对应边成比例，分别将AB、CD用所设未知数表示；再根据线段的和差关系，得出BD-AC=CD-AB，代入数值后可消去中间未知量AO，直接求解得到OE的长度即可。
【解析】
设楼的高度$OE=x\ \mathrm{m}$，$AO=y\ \mathrm{m}$。
由光的反射定律得$∠ EAO=∠ FAB$，
$\because OE⊥ OD$，$BF⊥ OD$，
$\therefore ∠ EOA=∠ FBA=90°$，
$\therefore △ AOE ∽ △ ABF$，
$\therefore \dfrac{BF}{OE}=\dfrac{AB}{AO}$，即$\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{AB}{y}$，
整理得$AB=\dfrac{1.6y}{x}$。
同理可得$∠ ECO=∠ GCD$，$∠ EOC=∠ GDC=90°$，
$\therefore △ COE ∽ △ CDG$，
$\therefore \dfrac{DG}{OE}=\dfrac{CD}{CO}$，又$CO=AC+AO=2+y$，
即$\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{CD}{2+y}$，
整理得$CD=\dfrac{1.6(y+2)}{x}$。
由题意可知$BD=CD+BC$，$AC=AB+BC$，
两式相减得$BD-AC=CD-AB$，
代入$AC=2\ \mathrm{m}$，$BD=2.1\ \mathrm{m}$，得$CD-AB=0.1\ \mathrm{m}$，
将$AB$、$CD$代入得：
$\dfrac{1.6(y+2)}{x}-\dfrac{1.6y}{x}=0.1$
化简得$\dfrac{3.2}{x}=0.1$，
解得$x=32$。
答：楼的高度$OE$为$32\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{32\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.光的反射定律
3.消元法求值
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，巧妙利用镜面反射构造相似三角形，无需直接测量被测建筑物到测量点的距离，通过两次测量的线段差值进行消元即可求解，解题的关键是准确识别相似三角形，理清线段之间的和差关系。
【难度系数】
0.6
1. (2025·兰州)如图18,黄金矩形ABCD中$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,以宽AB为边在其内部作正方形ABFE,得到四边形CDEF是黄金矩形.依此作法,四边形DEGH,四边形KEGL也是黄金矩形.依次以点E,G,L为圆心作$\overset{\frown}{AF}$,$\overset{\frown}{FH}$,$\overset{\frown}{HK}$,曲线AFHK叫作“黄金螺线”.若AD=2,则“黄金螺线”AFHK的长为.(结果用π表示)
答案
$\boldsymbol{(\sqrt{5}-1)π}$
解析
【分析】
要求“黄金螺线”AFHK的长，实质是求$\overset{\frown}{AF}$、$\overset{\frown}{FH}$、$\overset{\frown}{HK}$三段弧的长度之和。首先回忆弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}$，本题中三段弧的圆心角均为90°，因此只需依次求出每段弧对应的半径，再代入公式计算求和即可。解题步骤为：①先根据黄金矩形的比例求出第一段弧的半径AB；②结合正方形的性质求出第二段弧的半径DE；③再根据黄金矩形的比例求出第三段弧的半径GE；④分别计算三段弧长后相加得到总长度。
【解析】
已知AD=2，黄金矩形ABCD中$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此：
$AB=AD×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
1. 求$\overset{\frown}{AF}$的长度：
圆心为E，圆心角为90°，半径$r_1=AB=\sqrt{5}-1$，
$l_1=\frac{90π× r_1}{180}=\frac{π(\sqrt{5}-1)}{2}$
2. 求$\overset{\frown}{FH}$的长度：
∵四边形ABFE是正方形，
∴$AE=AB=\sqrt{5}-1$，
∴$DE=AD-AE=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$，即半径$r_2=3-\sqrt{5}$，
$l_2=\frac{90π× r_2}{180}=\frac{π(3-\sqrt{5})}{2}$
3. 求$\overset{\frown}{HK}$的长度：
∵四边形CDEF是黄金矩形，
∴$\frac{GE}{DE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$GE=DE×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(3-\sqrt{5})×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-4$，即半径$r_3=2\sqrt{5}-4$，
$l_3=\frac{90π× r_3}{180}=\frac{π(2\sqrt{5}-4)}{2}=π(\sqrt{5}-2)$
4. 总长度：
$l=l_1+l_2+l_3=\frac{π(\sqrt{5}-1)}{2}+\frac{π(3-\sqrt{5})}{2}+π(\sqrt{5}-2)=(\sqrt{5}-1)π$
【答案】
$(\sqrt{5}-1)π$
【知识点】
弧长计算，黄金分割，正方形的性质
【点评】
本题将黄金分割的概念和弧长计算相结合，解题的关键是准确识别每段弧的圆心角和对应半径，按照黄金比例依次求出各段半径后代入公式计算即可，侧重考察对基础公式的应用和对新定义概念的理解能力。
【难度系数】
0.6
要求“黄金螺线”AFHK的长，实质是求$\overset{\frown}{AF}$、$\overset{\frown}{FH}$、$\overset{\frown}{HK}$三段弧的长度之和。首先回忆弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}$，本题中三段弧的圆心角均为90°，因此只需依次求出每段弧对应的半径，再代入公式计算求和即可。解题步骤为：①先根据黄金矩形的比例求出第一段弧的半径AB；②结合正方形的性质求出第二段弧的半径DE；③再根据黄金矩形的比例求出第三段弧的半径GE；④分别计算三段弧长后相加得到总长度。
【解析】
已知AD=2，黄金矩形ABCD中$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此：
$AB=AD×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
1. 求$\overset{\frown}{AF}$的长度：
圆心为E，圆心角为90°，半径$r_1=AB=\sqrt{5}-1$，
$l_1=\frac{90π× r_1}{180}=\frac{π(\sqrt{5}-1)}{2}$
2. 求$\overset{\frown}{FH}$的长度：
∵四边形ABFE是正方形，
∴$AE=AB=\sqrt{5}-1$，
∴$DE=AD-AE=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$，即半径$r_2=3-\sqrt{5}$，
$l_2=\frac{90π× r_2}{180}=\frac{π(3-\sqrt{5})}{2}$
3. 求$\overset{\frown}{HK}$的长度：
∵四边形CDEF是黄金矩形，
∴$\frac{GE}{DE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$GE=DE×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(3-\sqrt{5})×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-4$，即半径$r_3=2\sqrt{5}-4$，
$l_3=\frac{90π× r_3}{180}=\frac{π(2\sqrt{5}-4)}{2}=π(\sqrt{5}-2)$
4. 总长度：
$l=l_1+l_2+l_3=\frac{π(\sqrt{5}-1)}{2}+\frac{π(3-\sqrt{5})}{2}+π(\sqrt{5}-2)=(\sqrt{5}-1)π$
【答案】
$(\sqrt{5}-1)π$
【知识点】
弧长计算，黄金分割，正方形的性质
【点评】
本题将黄金分割的概念和弧长计算相结合，解题的关键是准确识别每段弧的圆心角和对应半径，按照黄金比例依次求出各段半径后代入公式计算即可，侧重考察对基础公式的应用和对新定义概念的理解能力。
【难度系数】
0.6
2. 宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫“黄金矩形”. 心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀称的美感. 现将小波同学在数学活动课中折叠“黄金矩形”的方法归纳如下(如图19所示):
第一步:作一个正方形$ABCD$;
第二步:分别取$AD,BC$的中点$M,N$,连接$MN$;
第三步:以$N$为圆心,$ND$长为半径画弧,交$BC$的延长线于$E$;
第四步:过$E$作$EF ⊥ AD$,交$AD$的延长线于$F$.
请你根据以上作法,证明矩形$DCEF$为“黄金矩形”.
第一步:作一个正方形$ABCD$;
第二步:分别取$AD,BC$的中点$M,N$,连接$MN$;
第三步:以$N$为圆心,$ND$长为半径画弧,交$BC$的延长线于$E$;
第四步:过$E$作$EF ⊥ AD$,交$AD$的延长线于$F$.
请你根据以上作法,证明矩形$DCEF$为“黄金矩形”.
答案
证明：
在正方形ABCD中，设其边长为$a$。
∵$N$是$BC$的中点，
∴$NC = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ DNC$中，$∠ DCN=90°$，$DC=a$，$NC=\frac{a}{2}$，由勾股定理得：
$ND = \sqrt{DC^2 + NC^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}a$
由作图可知，$NE = ND = \frac{\sqrt{5}}{2}a$，
∴$CE = NE - NC = \frac{\sqrt{5}}{2}a - \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}a$。
∴在矩形$DCEF$中：
$\frac{CE}{DC} = \frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}{a} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
即矩形$DCEF$的宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此矩形$DCEF$为“黄金矩形”。
在正方形ABCD中，设其边长为$a$。
∵$N$是$BC$的中点，
∴$NC = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ DNC$中，$∠ DCN=90°$，$DC=a$，$NC=\frac{a}{2}$，由勾股定理得：
$ND = \sqrt{DC^2 + NC^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}a$
由作图可知，$NE = ND = \frac{\sqrt{5}}{2}a$，
∴$CE = NE - NC = \frac{\sqrt{5}}{2}a - \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}a$。
∴在矩形$DCEF$中：
$\frac{CE}{DC} = \frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}{a} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
即矩形$DCEF$的宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此矩形$DCEF$为“黄金矩形”。
解析
【分析】
要证明矩形DCEF为黄金矩形，根据黄金矩形的定义，只需验证该矩形的宽与长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可。解题时可先设正方形ABCD的边长为参数$a$，首先利用正方形的性质和中点的定义求出$NC$的长度；再在$\mathrm{Rt}△DNC$中利用勾股定理求出$ND$的长度；接着根据作图中圆弧半径相等的性质得到$NE=ND$，进而求出$CE$的长度；最后计算$CE$与$DC$的比值，验证其符合黄金比即可完成证明。
【解析】
证明：在正方形$ABCD$中，设其边长为$a$。
∵$N$是$BC$的中点，
∴$NC = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ DNC$中，$∠ DCN=90°$，$DC=a$，$NC=\frac{a}{2}$，由勾股定理得：
$ND = \sqrt{DC^2 + NC^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}a$
由作图可知，$NE = ND = \frac{\sqrt{5}}{2}a$，
∴$CE = NE - NC = \frac{\sqrt{5}}{2}a - \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}a$。
∴在矩形$DCEF$中：
$\frac{CE}{DC} = \frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}{a} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
即矩形$DCEF$的宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此矩形$DCEF$为“黄金矩形”。
【答案】
矩形$DCEF$为“黄金矩形”
【知识点】
黄金矩形定义、勾股定理、正方形的性质
【点评】
本题结合几何作图考查黄金矩形的判定，核心是理解黄金矩形的判定标准，灵活运用正方形性质、勾股定理计算线段长度，解题时引入参数计算比值的方法能有效简化运算，是考查几何基础综合应用的典型题。
【难度系数】
0.7
要证明矩形DCEF为黄金矩形，根据黄金矩形的定义，只需验证该矩形的宽与长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可。解题时可先设正方形ABCD的边长为参数$a$，首先利用正方形的性质和中点的定义求出$NC$的长度；再在$\mathrm{Rt}△DNC$中利用勾股定理求出$ND$的长度；接着根据作图中圆弧半径相等的性质得到$NE=ND$，进而求出$CE$的长度；最后计算$CE$与$DC$的比值，验证其符合黄金比即可完成证明。
【解析】
证明：在正方形$ABCD$中，设其边长为$a$。
∵$N$是$BC$的中点，
∴$NC = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ DNC$中，$∠ DCN=90°$，$DC=a$，$NC=\frac{a}{2}$，由勾股定理得：
$ND = \sqrt{DC^2 + NC^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}a$
由作图可知，$NE = ND = \frac{\sqrt{5}}{2}a$，
∴$CE = NE - NC = \frac{\sqrt{5}}{2}a - \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}a$。
∴在矩形$DCEF$中：
$\frac{CE}{DC} = \frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}{a} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
即矩形$DCEF$的宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此矩形$DCEF$为“黄金矩形”。
【答案】
矩形$DCEF$为“黄金矩形”
【知识点】
黄金矩形定义、勾股定理、正方形的性质
【点评】
本题结合几何作图考查黄金矩形的判定，核心是理解黄金矩形的判定标准，灵活运用正方形性质、勾股定理计算线段长度，解题时引入参数计算比值的方法能有效简化运算，是考查几何基础综合应用的典型题。
【难度系数】
0.7
