3.(2025·绥化)在平面直角坐标系中,把△ABC以原点O为位似中心放大,得到△A'B'C'.若点A和它的对应点A'的坐标分别为(3,7),(-9,-21),则△ABC与△A'B'C'的相似比为.

$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$（或$1:3$）

【分析】
解决本题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的性质，其次要明确相似比的顺序是原图形（△ABC）与新图形（△A'B'C'）的比，不能颠倒。第一步先找到对应点A和A'的坐标，第二步计算原坐标与对应新坐标的比值，第三步取比值的绝对值就是所求的相似比。要注意位似比的符号仅表示位似图形与原图形的位置关系（同侧或异侧），相似比取正值即可。
【解析】
解：
∵ 以原点O为位似中心，把△ABC放大得到△A'B'C'，点A(3,7)的对应点为A'(-9,-21)，
∴ 位似变换中，对应点坐标的比为$\frac{3}{-9}=\frac{7}{-21}=-\frac{1}{3}$。
∵ 相似比是原图形与位似后图形的比值，且为正数，
∴ △ABC与△A'B'C'的相似比为$\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$，即$1:3$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$（或$\boldsymbol{1:3}$）
【知识点】
位似图形性质、坐标系中位似变换、相似比定义
【点评】
本题考查位似变换相关计算，解题的核心是明确相似比的先后顺序，掌握原点为位似中心时对应点坐标与位似比的关系，避免因颠倒原、新图形的顺序出现错误。
【难度系数】
0.8

4. (2025·安徽)如图15,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系$xOy$, $△ ABC$的顶点和$A_1$均为格点(网格线的交点).已知点$A$和$A_1$的坐标分别为$(-1,-3)$和$(2,6)$.
(1)在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$,并写出点$D$的坐标;
(2)以点$O$为位似中心,将$△ ABC$放大得到$△ A_1B_1C_1$,使得点$A$的对应点为$A_1$,请在所给的网格图中画出$△ A_1B_1C_1$.

解：
(1) 描出边AB的中点D，点D的坐标为$\boldsymbol{(-2,-1)}$。
(2) 由点$A(-1,-3)$和对应点$A_1(2,6)$，可得位似比为$-2$，分别计算得点B、C的对应点$B_1(6,-2)$、$C_1(4,-6)$，在网格中描出$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即得到放大后的$△ A_1B_1C_1$。

【分析】
(1) 求解AB的中点D，首先要根据网格确定点B的坐标，再利用中点坐标公式（两点横坐标的平均值为中点横坐标，纵坐标的平均值为中点纵坐标）计算D的坐标，最后在网格中对应位置描出点D即可。
(2) 位似中心为原点O时，位似变换的对应点坐标为原坐标乘位似比$k$。首先通过已知的点A和对应点$A_1$的坐标计算位似比$k$，再用$k$分别乘点B、C的坐标得到对应点$B_1$、$C_1$的坐标，在网格中描出三个对应点后顺次连接，即可得到放大后的$△ A_1B_1C_1$。
【解析】
(1) 由网格和已知$A(-1,-3)$，可得点B的坐标为$(-3,1)$。
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
代入A、B的坐标计算点D的坐标：
横坐标：$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，纵坐标：$\frac{-3+1}{2}=-1$，即$D(-2,-1)$，在AB边的对应位置描出点D。
(2) 已知位似中心为原点O，点$A(-1,-3)$的对应点为$A_1(2,6)$，计算位似比：$k=\frac{2}{-1}=\frac{6}{-3}=-2$。
由网格得点C坐标为$(-2,3)$，分别计算B、C的对应点坐标：
$B_1$坐标：$(-3×(-2),1×(-2))=(6,-2)$，$C_1$坐标：$(-2×(-2),3×(-2))=(4,-6)$。
在网格中描出$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
【答案】
(1) 点D的坐标为$\boldsymbol{(-2,-1)}$，描点见解析；
(2) $△ A_1B_1C_1$作图见解析。
【知识点】
中点坐标计算、位似图形性质、位似坐标变换
【点评】
本题结合网格考查平面直角坐标系中的基础计算和作图，难度较低，只要熟练掌握中点坐标公式和原点为位似中心的坐标变化规律，准确计算对应点坐标即可正确解题。
【难度系数】
0.7

1. 如图16,为了测量某棵树的高度,小明用长为2 m的竹竿做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点距离相距6 m,与树相距15 m,则树的高度为 m.

解：设树的高度为$x\ \mathrm{m}$。
∵ 竹竿与树都垂直于地面，
∴ 竹竿与树互相平行，
∴ 含竹竿的小直角三角形与含树的大直角三角形相似。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{2}{x}=\frac{6}{6+15}$
解得 $x=7$。
答：树的高度为7 m。

【分析】
本题是利用相似三角形测量物体高度的典型应用题，解题思路如下：首先，竹竿和树均垂直于地面，因此二者互相平行，可推出含公共角的两个直角三角形相似；其次，明确两个相似三角形的对应边：小三角形水平直角边为竹竿到影子端点的距离6m，竖直直角边为竹竿高度2m，大三角形水平直角边为影子端点到树的距离$(6+15)\mathrm{m}$，竖直直角边为树的高度；最后根据相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可。
【解析】
解：设树的高度为$x\ \mathrm{m}$。
∵ 竹竿与树都垂直于地面，
∴ 竹竿与树互相平行，
∴ 含竹竿的小直角三角形与含树的大直角三角形相似（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{2}{x}=\frac{6}{6+15}$
整理得$6x=2×21$，解得$x=7$。
【答案】
7
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的常见基础题型，解题核心是通过平行关系判定相似三角形，找准对应边的比例关系，计算时需注意不要误将树到竹竿的距离当作大三角形的水平边长。
【难度系数】
0.8