3. 如图20,在矩形ABCD中,CD=2,AD=4,点P在BC上,将△ABP沿AP折叠,点B恰好落在对角线AC上的E点,O为AC上一点,⊙O经过点A,P.
(1)求证:BC是⊙O的切线.
(2)在边CB上截取CF=CE,点F是线段BC的黄金分割点吗?请说明理由.

(1) 证明：
连接OP，
∵ OA、OP是⊙O的半径，
∴ OA=OP，
∴ ∠OAP=∠OPA，
由折叠的性质可得：∠OAP=∠BAP，
∴ ∠BAP=∠OPA，
∴ OP//AB，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，即AB⊥BC，
∴ OP⊥BC，
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ BC是⊙O的切线。
---
(2) 解：点F是线段BC的黄金分割点，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD=2，BC=AD=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$
由折叠的性质得：AE=AB=2，
∴ CE=AC-AE=2√5 - 2，
∵ CF=CE，
∴ CF=2√5 - 2，
计算得：
$CF^2=(2\sqrt{5}-2)^2=24-8\sqrt{5}$
$BF=BC-CF=4-(2\sqrt{5}-2)=6-2\sqrt{5}$
$BF· BC=(6-2\sqrt{5})×4=24-8\sqrt{5}$
∴ $CF^2=BF· BC$，即 $\frac{CF}{BC}=\frac{BF}{CF}$，符合黄金分割的定义，
∴ 点F是线段BC的黄金分割点。

【分析】
(1) 要证明BC是⊙O的切线，根据切线判定定理，需连接半径OP，证明OP⊥BC即可。首先由圆的半径相等可得∠OAP=∠OPA，结合折叠性质得∠OAP=∠BAP，进而推出OP//AB，再利用矩形中AB⊥BC的性质，即可得到OP⊥BC，完成证明。
(2) 判断点F是否为BC的黄金分割点，只需验证是否满足黄金分割的比例关系：较长线段的平方等于整条线段与较短线段的乘积（即$CF^2=BF·BC$）。首先利用矩形边长和勾股定理算出AC的长度，结合折叠性质得AE=AB，进而求出CE即CF的长度，再分别计算$CF^2$和$BF·BC$，比较二者是否相等即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
连接OP，
∵ OA、OP是⊙O的半径，
∴ OA=OP，
∴ ∠OAP=∠OPA，
由折叠的性质可得：∠OAP=∠BAP，
∴ ∠BAP=∠OPA，
∴ $OP// AB$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，即$AB⊥BC$，
∴ $OP⊥BC$，
又
∵ OP是⊙O的半径，
∴ BC是⊙O的切线。
(2) 解：点F是线段BC的黄金分割点，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB=CD=2$，$BC=AD=4$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$
由折叠的性质得：$AE=AB=2$，
∴ $CE=AC-AE=2\sqrt{5}-2$，
∵ $CF=CE$，
∴ $CF=2\sqrt{5}-2$，
计算得：
$CF^2=(2\sqrt{5}-2)^2=24-8\sqrt{5}$
$BF=BC-CF=4-(2\sqrt{5}-2)=6-2\sqrt{5}$
$BF· BC=(6-2\sqrt{5})×4=24-8\sqrt{5}$
∴ $CF^2=BF· BC$，即 $\frac{CF}{BC}=\frac{BF}{CF}$，符合黄金分割的定义，
∴ 点F是线段BC的黄金分割点。
【答案】
(1) BC是⊙O的切线；
(2) 点F是线段BC的黄金分割点。
【知识点】
切线的判定；折叠的性质；黄金分割
【点评】
本题结合矩形、圆、折叠变换考察核心几何定理的应用，解题思路指向性明确，难度适中，解题的关键是牢记切线判定方法、折叠的性质以及黄金分割的比例特征。
【难度系数】
0.7