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6. (2025·青海)如图3,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+bx-3(a≠0)$与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(1,0),点C(2,5)在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式.
(2)①求点A的坐标;
②当$y＜0$时,根据图象直接写出x的取值范围:.
(3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使$△ ACP$是以AC为直角边的直角三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式.
(2)①求点A的坐标;
②当$y＜0$时,根据图象直接写出x的取值范围:.
(3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使$△ ACP$是以AC为直角边的直角三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解：
(1) 将点$B(1,0)$、$C(2,5)$代入抛物线解析式$y=ax^2+bx-3$，得：
$\begin{cases}a + b - 3 = 0 \\4a + 2b - 3 = 5\end{cases}$
化简得$\begin{cases}a + b = 3 \\2a + b = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1 \\b=2\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$。
(2) ① 令$y=0$，即$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
已知点$B$坐标为$(1,0)$，
∴点$A$的坐标为$(-3,0)$。
② $-3＜x＜1$
(3) 存在，符合条件的点$P$的坐标为$(0,-3)$和$(0,7)$。
(1) 将点$B(1,0)$、$C(2,5)$代入抛物线解析式$y=ax^2+bx-3$，得：
$\begin{cases}a + b - 3 = 0 \\4a + 2b - 3 = 5\end{cases}$
化简得$\begin{cases}a + b = 3 \\2a + b = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1 \\b=2\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$。
(2) ① 令$y=0$，即$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
已知点$B$坐标为$(1,0)$，
∴点$A$的坐标为$(-3,0)$。
② $-3＜x＜1$
(3) 存在，符合条件的点$P$的坐标为$(0,-3)$和$(0,7)$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线一般式含两个未知参数a、b，且点B、C在抛物线上，将两点坐标代入解析式即可得到关于a、b的二元一次方程组，求解后就能确定解析式。
(2) ① 点A是抛物线与x轴的交点，交点纵坐标为0，因此令解析式中y=0，解一元二次方程得到两个根，结合已知点B的坐标即可确定点A的坐标；② y＜0对应抛物线在x轴下方的部分，抛物线开口向上，因此x的取值范围在两个交点横坐标之间。
(3) △ACP以AC为直角边，需分两种情况讨论：直角顶点为点A、直角顶点为点C；设点P坐标为(0,y)，利用勾股定理分别列等式求解y的值，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 将点$B(1,0)$、$C(2,5)$代入抛物线解析式$y=ax^2+bx-3$，得：
$\begin{cases}a + b - 3 = 0 \\4a + 2b - 3 = 5\end{cases}$
化简得$\begin{cases}a + b = 3 \\2a + b = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1 \\b=2\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$。
(2) ① 令$y=0$，即$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
已知点B坐标为$(1,0)$，
∴点A的坐标为$(-3,0)$。
② 抛物线开口向上，图象在x轴下方时y＜0，对应x的取值范围为$-3＜x＜1$。
(3) 存在，设点P坐标为$(0,y)$，由勾股定理可得：
$AC^2=(2+3)^2+(5-0)^2=50$，$AP^2=3^2+y^2=9+y^2$，$CP^2=2^2+(y-5)^2=4+(y-5)^2$。
当直角顶点为A时：$AC^2+AP^2=CP^2$，代入得$50+9+y^2=4+(y-5)^2$，解得$y=-3$，即$P(0,-3)$；
当直角顶点为C时：$AC^2+CP^2=AP^2$，代入得$50+4+(y-5)^2=9+y^2$，解得$y=7$，即$P(0,7)$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-3$
(2) ① $A(-3,0)$；② $\boldsymbol{-3＜x＜1}$
(3) $\boldsymbol{(0,-3)}$和$\boldsymbol{(0,7)}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程；直角三角形存在性
【点评】
本题是二次函数基础综合题，考查了解析式求解、函数与坐标轴交点计算、结合图象解不等式以及分类讨论求解直角三角形存在性问题，解题时需注意分类讨论不要漏解，保证计算准确。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线一般式含两个未知参数a、b，且点B、C在抛物线上，将两点坐标代入解析式即可得到关于a、b的二元一次方程组，求解后就能确定解析式。
(2) ① 点A是抛物线与x轴的交点，交点纵坐标为0，因此令解析式中y=0，解一元二次方程得到两个根，结合已知点B的坐标即可确定点A的坐标；② y＜0对应抛物线在x轴下方的部分，抛物线开口向上，因此x的取值范围在两个交点横坐标之间。
(3) △ACP以AC为直角边，需分两种情况讨论：直角顶点为点A、直角顶点为点C；设点P坐标为(0,y)，利用勾股定理分别列等式求解y的值，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 将点$B(1,0)$、$C(2,5)$代入抛物线解析式$y=ax^2+bx-3$，得：
$\begin{cases}a + b - 3 = 0 \\4a + 2b - 3 = 5\end{cases}$
化简得$\begin{cases}a + b = 3 \\2a + b = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1 \\b=2\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$。
(2) ① 令$y=0$，即$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
已知点B坐标为$(1,0)$，
∴点A的坐标为$(-3,0)$。
② 抛物线开口向上，图象在x轴下方时y＜0，对应x的取值范围为$-3＜x＜1$。
(3) 存在，设点P坐标为$(0,y)$，由勾股定理可得：
$AC^2=(2+3)^2+(5-0)^2=50$，$AP^2=3^2+y^2=9+y^2$，$CP^2=2^2+(y-5)^2=4+(y-5)^2$。
当直角顶点为A时：$AC^2+AP^2=CP^2$，代入得$50+9+y^2=4+(y-5)^2$，解得$y=-3$，即$P(0,-3)$；
当直角顶点为C时：$AC^2+CP^2=AP^2$，代入得$50+4+(y-5)^2=9+y^2$，解得$y=7$，即$P(0,7)$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-3$
(2) ① $A(-3,0)$；② $\boldsymbol{-3＜x＜1}$
(3) $\boldsymbol{(0,-3)}$和$\boldsymbol{(0,7)}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程；直角三角形存在性
【点评】
本题是二次函数基础综合题，考查了解析式求解、函数与坐标轴交点计算、结合图象解不等式以及分类讨论求解直角三角形存在性问题，解题时需注意分类讨论不要漏解，保证计算准确。
【难度系数】
0.7
1. (2026·成都)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数$y$的几组对应值如下表：
下列说法错误的是 ()
A.函数图象的开口向下
B.函数图象的对称轴是直线$x=-1$
C.$2a+c=0$
D.$b^2-4ac＞0$
下列说法错误的是 ()
A.函数图象的开口向下
B.函数图象的对称轴是直线$x=-1$
C.$2a+c=0$
D.$b^2-4ac＞0$
答案
C
解析
【分析】
首先观察表格中x和y的对应值，发现x=-2和x=0时y值相等，可先求出二次函数的对称轴；再代入特殊点求出函数解析式的系数a、b、c，最后逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
1. 求对称轴：
已知x=-2和x=0时y都为3，这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$，故B选项说法正确，不符合题意。
2. 求函数系数：
当x=0时，y=3，代入$y=ax^2+bx+c$得$c=3$；
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$；
再将x=1，y=0代入解析式得：$a+b+3=0$，把$b=2a$代入得$3a+3=0$，解得$a=-1$，$b=-2$，因此函数解析式为$y=-x^2-2x+3$。
3. 逐一判断选项：
A选项：$a=-1＜0$，抛物线开口向下，说法正确，不符合题意；
C选项：$2a+c=2×(-1)+3=1≠0$，说法错误，符合题意；
D选项：该二次函数与x轴有交点（如x=1时y=0），因此判别式$b^2-4ac＞0$，说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题核心是利用对称点快速确定对称轴，再结合特殊点代入求出函数系数即可判断选项，是二次函数性质部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先观察表格中x和y的对应值，发现x=-2和x=0时y值相等，可先求出二次函数的对称轴；再代入特殊点求出函数解析式的系数a、b、c，最后逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
1. 求对称轴：
已知x=-2和x=0时y都为3，这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$，故B选项说法正确，不符合题意。
2. 求函数系数：
当x=0时，y=3，代入$y=ax^2+bx+c$得$c=3$；
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$；
再将x=1，y=0代入解析式得：$a+b+3=0$，把$b=2a$代入得$3a+3=0$，解得$a=-1$，$b=-2$，因此函数解析式为$y=-x^2-2x+3$。
3. 逐一判断选项：
A选项：$a=-1＜0$，抛物线开口向下，说法正确，不符合题意；
C选项：$2a+c=2×(-1)+3=1≠0$，说法错误，符合题意；
D选项：该二次函数与x轴有交点（如x=1时y=0），因此判别式$b^2-4ac＞0$，说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题核心是利用对称点快速确定对称轴，再结合特殊点代入求出函数系数即可判断选项，是二次函数性质部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
2. 下列关于二次函数$y=(x-2)^2 -3$的说法正确的是（）
A.图象是一条开口向下的抛物线
B.图象与$x$轴没有交点
C.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
D.图象的顶点坐标是$(2,-3)$
A.图象是一条开口向下的抛物线
B.图象与$x$轴没有交点
C.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
D.图象的顶点坐标是$(2,-3)$
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先明确所给二次函数为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，先确定参数$a$、$h$、$k$的取值，再依次从开口方向、与x轴交点情况、增减性、顶点坐标四个维度逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x-2)^2-3$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1$，$h=2$，$k=-3$：
1. 判断选项A：$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，A选项错误；
2. 判断选项B：令$y=0$，可得方程$(x-2)^2-3=0$，整理得$(x-2)^2=3$，解得$x=2\pm\sqrt{3}$，因此图象与x轴有两个交点，B选项错误；
3. 判断选项C：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h=2$，因此当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，C选项错误；
4. 判断选项D：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此该函数图象的顶点坐标为$(2,-3)$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、抛物线与x轴交点判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次函数顶点式各参数对应图象特征的掌握，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先明确所给二次函数为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，先确定参数$a$、$h$、$k$的取值，再依次从开口方向、与x轴交点情况、增减性、顶点坐标四个维度逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x-2)^2-3$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1$，$h=2$，$k=-3$：
1. 判断选项A：$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，A选项错误；
2. 判断选项B：令$y=0$，可得方程$(x-2)^2-3=0$，整理得$(x-2)^2=3$，解得$x=2\pm\sqrt{3}$，因此图象与x轴有两个交点，B选项错误；
3. 判断选项C：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h=2$，因此当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，C选项错误；
4. 判断选项D：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此该函数图象的顶点坐标为$(2,-3)$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、抛物线与x轴交点判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次函数顶点式各参数对应图象特征的掌握，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 若二次函数$y=2x^2 - x + m$的图象与x轴有交点，则m的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{m ≤ \frac{1}{8}}$
解析
【分析】
二次函数图象与x轴有交点，等价于对应的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ≥0。本题中二次项系数为2≠0，无需考虑函数退化为一次函数的情况，只需代入对应系数求出Δ，再解关于m的不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其图象与x轴的交点个数由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：
$\Delta＞0$时，图象与x轴有两个交点；
$\Delta=0$时，图象与x轴有一个交点；
$\Delta＜0$时，图象与x轴没有交点。
已知二次函数$y=2x^2 - x + m$的图象与x轴有交点，因此$\Delta≥0$。
代入$a=2$，$b=-1$，$c=m$得：
$\Delta=(-1)^2 - 4×2× m ≥ 0$
化简得：$1 - 8m ≥ 0$
移项得：$8m ≤ 1$
解得：$m ≤ \frac{1}{8}$
【答案】
$\boldsymbol{m ≤ \frac{1}{8}}$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础考察题，核心要求掌握二次函数图象与x轴交点情况和对应一元二次方程根的情况的对应关系，熟练运用根的判别式列不等式求解即可。
【难度系数】
0.8
二次函数图象与x轴有交点，等价于对应的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ≥0。本题中二次项系数为2≠0，无需考虑函数退化为一次函数的情况，只需代入对应系数求出Δ，再解关于m的不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其图象与x轴的交点个数由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：
$\Delta＞0$时，图象与x轴有两个交点；
$\Delta=0$时，图象与x轴有一个交点；
$\Delta＜0$时，图象与x轴没有交点。
已知二次函数$y=2x^2 - x + m$的图象与x轴有交点，因此$\Delta≥0$。
代入$a=2$，$b=-1$，$c=m$得：
$\Delta=(-1)^2 - 4×2× m ≥ 0$
化简得：$1 - 8m ≥ 0$
移项得：$8m ≤ 1$
解得：$m ≤ \frac{1}{8}$
【答案】
$\boldsymbol{m ≤ \frac{1}{8}}$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础考察题，核心要求掌握二次函数图象与x轴交点情况和对应一元二次方程根的情况的对应关系，熟练运用根的判别式列不等式求解即可。
【难度系数】
0.8
4. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的顶点坐标$(-1,-3.2)$及部分图象(图4)，由图象可知关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的两个根分别是$x_1=1.3$和$x_2=$.
答案
$\boldsymbol{-3.3}$
解析
【分析】
解题需结合二次函数的性质推导：首先，二次函数的图象是轴对称图形，顶点的横坐标就是抛物线的对称轴；其次，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个根的平均值等于对称轴对应的x值。已知顶点坐标可直接得到对称轴，再结合已知的一个根，即可求出另一个根。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-1,-3.2)$
∴抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=-1}$
∵一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是抛物线与x轴两个交点的横坐标，两个交点关于对称轴对称
∴两个根满足$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$
将$x_1=1.3$代入上式：
$\frac{1.3+x_2}{2}=-1$
$1.3+x_2=-2$
解得：$x_2=-2-1.3=-3.3$
【答案】
$\boldsymbol{-3.3}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系；抛物线的对称轴
【点评】
本题属于基础题，无需求解二次函数的解析式，利用二次函数的对称性即可快速解题，核心是理解二次函数图象与对应一元二次方程根的对应关系，是二次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题需结合二次函数的性质推导：首先，二次函数的图象是轴对称图形，顶点的横坐标就是抛物线的对称轴；其次，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个根的平均值等于对称轴对应的x值。已知顶点坐标可直接得到对称轴，再结合已知的一个根，即可求出另一个根。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-1,-3.2)$
∴抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=-1}$
∵一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是抛物线与x轴两个交点的横坐标，两个交点关于对称轴对称
∴两个根满足$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$
将$x_1=1.3$代入上式：
$\frac{1.3+x_2}{2}=-1$
$1.3+x_2=-2$
解得：$x_2=-2-1.3=-3.3$
【答案】
$\boldsymbol{-3.3}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系；抛物线的对称轴
【点评】
本题属于基础题，无需求解二次函数的解析式，利用二次函数的对称性即可快速解题，核心是理解二次函数图象与对应一元二次方程根的对应关系，是二次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
