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5.已知关于$x$的一元二次方程$x^2+x-m=0$.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围;
(2)二次函数$y=x^2+x-m$的部分图象如图5所示,求一元二次方程$x^2+x-m=0$的解.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围;
(2)二次函数$y=x^2+x-m$的部分图象如图5所示,求一元二次方程$x^2+x-m=0$的解.
答案
解：
(1) ∵一元二次方程$x^2+x-m=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-m) = 1 + 4m ＞ 0$，
解得$m ＞ -\frac{1}{4}$。
(2) 二次函数$y=x^2+x-m$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$，
由图象可知抛物线与x轴的一个交点为$(1,0)$，
根据抛物线的对称性，两个交点关于对称轴$x=-\frac{1}{2}$对称，
设另一个交点的横坐标为$x$，则$\frac{x+1}{2}=-\frac{1}{2}$，
解得$x=-2$，
∴抛物线与x轴的另一个交点为$(-2,0)$，
∴一元二次方程$x^2+x-m=0$的解为$x_1=1$，$x_2=-2$。
(1) ∵一元二次方程$x^2+x-m=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-m) = 1 + 4m ＞ 0$，
解得$m ＞ -\frac{1}{4}$。
(2) 二次函数$y=x^2+x-m$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$，
由图象可知抛物线与x轴的一个交点为$(1,0)$，
根据抛物线的对称性，两个交点关于对称轴$x=-\frac{1}{2}$对称，
设另一个交点的横坐标为$x$，则$\frac{x+1}{2}=-\frac{1}{2}$，
解得$x=-2$，
∴抛物线与x轴的另一个交点为$(-2,0)$，
∴一元二次方程$x^2+x-m=0$的解为$x_1=1$，$x_2=-2$。
解析
【分析】
(1) 遇到一元二次方程有两个不相等实数根的问题，优先考虑根的判别式：当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实根，代入方程对应系数列出不等式，求解即可得到$m$的取值范围。
(2) 一元二次方程的解就是对应二次函数图象与$x$轴交点的横坐标。先计算二次函数的对称轴，已知一个交点为$(1,0)$，利用抛物线关于对称轴对称的性质，就能求出另一个交点的横坐标，进而得到方程的解。
【解析】
(1) $\because$ 一元二次方程$x^2+x-m=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
代入$a=1$，$b=1$，$c=-m$可得：
$\Delta = 1^2 - 4×1×(-m) = 1 + 4m ＞ 0$，
解得$m ＞ -\frac{1}{4}$。
(2) 二次函数$y=x^2+x-m$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，代入系数得：
$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$，
由图象可知抛物线与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，
$\because$ 抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$x$，
则$\frac{x+1}{2}=-\frac{1}{2}$，
解得$x=-2$，即另一个交点为$(-2,0)$，
$\therefore$ 一元二次方程$x^2+x-m=0$的解为$x_1=1$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $m ＞ -\frac{1}{4}$
(2) $x_1=1$，$x_2=-2$
【知识点】
根的判别式；二次函数对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程和二次函数的基础知识点，解题的关键是熟练掌握根的判别式的应用、二次函数对称轴的计算方法，以及利用抛物线对称性求解交点的技巧，这类题型是二次函数章节的常规考法。
【难度系数】
0.7
(1) 遇到一元二次方程有两个不相等实数根的问题，优先考虑根的判别式：当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实根，代入方程对应系数列出不等式，求解即可得到$m$的取值范围。
(2) 一元二次方程的解就是对应二次函数图象与$x$轴交点的横坐标。先计算二次函数的对称轴，已知一个交点为$(1,0)$，利用抛物线关于对称轴对称的性质，就能求出另一个交点的横坐标，进而得到方程的解。
【解析】
(1) $\because$ 一元二次方程$x^2+x-m=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
代入$a=1$，$b=1$，$c=-m$可得：
$\Delta = 1^2 - 4×1×(-m) = 1 + 4m ＞ 0$，
解得$m ＞ -\frac{1}{4}$。
(2) 二次函数$y=x^2+x-m$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，代入系数得：
$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$，
由图象可知抛物线与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，
$\because$ 抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$x$，
则$\frac{x+1}{2}=-\frac{1}{2}$，
解得$x=-2$，即另一个交点为$(-2,0)$，
$\therefore$ 一元二次方程$x^2+x-m=0$的解为$x_1=1$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $m ＞ -\frac{1}{4}$
(2) $x_1=1$，$x_2=-2$
【知识点】
根的判别式；二次函数对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程和二次函数的基础知识点，解题的关键是熟练掌握根的判别式的应用、二次函数对称轴的计算方法，以及利用抛物线对称性求解交点的技巧，这类题型是二次函数章节的常规考法。
【难度系数】
0.7
1. (2025·甘肃)一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图6所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度$y$(单位:m)与水平距离$x$(单位:m)之间的关系式是$y=-x^2+2x+\frac{7}{4}(x＞0)$，则水流喷出的最大高度是 ()
A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
答案
B
解析
【分析】
本题要求水流喷出的最大高度，已知水流高度y与水平距离x的函数关系是二次函数，且二次项系数为-1＜0，因此该抛物线开口向下，函数的最大值就是水流的最大高度，对应抛物线顶点的纵坐标。我们可以通过配方法将函数转化为顶点式，或者代入二次函数顶点纵坐标公式求解最大值。
【解析】
解法1：配方法
将函数关系式配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 +1 +\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 +\frac{11}{4}\end{aligned}$
因为$-(x-1)^2≤0$，所以当$x=1$时，y取得最大值，最大值为$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
解法2：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，当$a＜0$时，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4} - 2^2}{4×(-1)}=\frac{-7-4}{-4}=\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数最值的求解，解题的核心是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数的最大值问题，熟练掌握二次函数顶点坐标或配方法求最值的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题要求水流喷出的最大高度，已知水流高度y与水平距离x的函数关系是二次函数，且二次项系数为-1＜0，因此该抛物线开口向下，函数的最大值就是水流的最大高度，对应抛物线顶点的纵坐标。我们可以通过配方法将函数转化为顶点式，或者代入二次函数顶点纵坐标公式求解最大值。
【解析】
解法1：配方法
将函数关系式配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 +1 +\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 +\frac{11}{4}\end{aligned}$
因为$-(x-1)^2≤0$，所以当$x=1$时，y取得最大值，最大值为$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
解法2：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，当$a＜0$时，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4} - 2^2}{4×(-1)}=\frac{-7-4}{-4}=\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数最值的求解，解题的核心是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数的最大值问题，熟练掌握二次函数顶点坐标或配方法求最值的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. (2025·巴中)从地面竖直向上抛出一小球,小球高度$h$(单位:m)与小球运动时间$t$(单位:s)之间关系式是$h=30t-5t^2(0≤t≤6)$.有下列结论:①小球运动时间是1 s时,高度为25 m;②小球运动中高度可以是50 m;③当$3≤t≤6$时,高度$h$随着时间$t$的增大而减小.其中正确结论的个数是 ()
A.0
B.1
C.2
D.3
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次函数在竖直上抛运动问题中的应用，解题时需逐一验证三个结论是否正确：①只需将t=1代入函数解析式计算h的值即可判断；②先将函数解析式配方为顶点式求出高度的最大值，和50m比较即可判断；③先确定二次函数的对称轴与开口方向，再根据二次函数的增减性判断3≤t≤6时h随t的变化规律即可。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 判断结论①：当t=1s时，代入$h=30t-5t^2$得：
$h=30×1 -5×1^2=30-5=25\mathrm{m}$，故①正确。
2. 判断结论②：将函数解析式配方为顶点式：
$h=30t-5t^2=-5(t^2-6t)=-5(t^2-6t+9)+45=-5(t-3)^2+45$
因为$-5＜0$，所以抛物线开口向下，h的最大值为45m，45＜50，因此小球运动中高度不可能达到50m，故②错误。
3. 判断结论③：由顶点式可知抛物线对称轴为直线$t=3$，且开口向下，因此当$t≥3$时，h随t的增大而减小，$3≤ t≤6$在对称轴右侧范围内，所以该区间内h随t的增大而减小，故③正确。
综上，正确的结论是①③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，需要结合代入求值、配方求顶点式、二次函数增减性等知识逐一判断结论，核心是熟练掌握二次函数的基本性质。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数在竖直上抛运动问题中的应用，解题时需逐一验证三个结论是否正确：①只需将t=1代入函数解析式计算h的值即可判断；②先将函数解析式配方为顶点式求出高度的最大值，和50m比较即可判断；③先确定二次函数的对称轴与开口方向，再根据二次函数的增减性判断3≤t≤6时h随t的变化规律即可。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 判断结论①：当t=1s时，代入$h=30t-5t^2$得：
$h=30×1 -5×1^2=30-5=25\mathrm{m}$，故①正确。
2. 判断结论②：将函数解析式配方为顶点式：
$h=30t-5t^2=-5(t^2-6t)=-5(t^2-6t+9)+45=-5(t-3)^2+45$
因为$-5＜0$，所以抛物线开口向下，h的最大值为45m，45＜50，因此小球运动中高度不可能达到50m，故②错误。
3. 判断结论③：由顶点式可知抛物线对称轴为直线$t=3$，且开口向下，因此当$t≥3$时，h随t的增大而减小，$3≤ t≤6$在对称轴右侧范围内，所以该区间内h随t的增大而减小，故③正确。
综上，正确的结论是①③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，需要结合代入求值、配方求顶点式、二次函数增减性等知识逐一判断结论，核心是熟练掌握二次函数的基本性质。
【难度系数】
0.7
3. (2025·连云港)如图7,小亮同学掷铅球时,铅球沿抛物线$y=a(x-3)^2+2.5$运行,其中x是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m,则铅球掷出的水平距离OB为 m.
答案
解：
由题意得，点A的坐标为$(0,1.6)$，将$x=0$，$y=1.6$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2+2.5$，得：
$1.6=a(0-3)^2+2.5$
$9a+2.5=1.6$
解得$a=-0.1$，
因此抛物线的解析式为$y=-0.1(x-3)^2+2.5$。
当铅球落地时，高度$y=0$，令$y=0$，得：
$-0.1(x-3)^2+2.5=0$
整理得$(x-3)^2=25$，
开平方得$x-3=\pm5$，
解得$x_1=8$，$x_2=-2$（不符合实际意义，舍去）。
答：铅球掷出的水平距离OB为$\boldsymbol{8}$ m。
由题意得，点A的坐标为$(0,1.6)$，将$x=0$，$y=1.6$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2+2.5$，得：
$1.6=a(0-3)^2+2.5$
$9a+2.5=1.6$
解得$a=-0.1$，
因此抛物线的解析式为$y=-0.1(x-3)^2+2.5$。
当铅球落地时，高度$y=0$，令$y=0$，得：
$-0.1(x-3)^2+2.5=0$
整理得$(x-3)^2=25$，
开平方得$x-3=\pm5$，
解得$x_1=8$，$x_2=-2$（不符合实际意义，舍去）。
答：铅球掷出的水平距离OB为$\boldsymbol{8}$ m。
解析
【分析】
解题时首先明确特殊点的实际意义：点A(0,1.6)是抛物线的初始点，OB对应铅球落地时的水平距离，此时y=0。第一步先将点A坐标代入给定的抛物线顶点式，求出未知参数a，得到完整的抛物线解析式；第二步令解析式中y=0，解关于x的一元二次方程，结合实际意义舍去负根，得到的正根就是OB的长度。
【解析】
由题意可知，点A的坐标为$(0,1.6)$，将$x=0$，$y=1.6$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2+2.5$，得：
$1.6=a(0-3)^2+2.5$
整理得$9a+2.5=1.6$
解得$a=-0.1$
因此抛物线的解析式为$y=-0.1(x-3)^2+2.5$
铅球落地时高度为0，令$y=0$，得：
$-0.1(x-3)^2+2.5=0$
整理得$(x-3)^2=25$
开平方得$x-3=\pm5$
解得$x_1=8$，$x_2=-2$
由于水平距离不能为负，故舍去$x_2=-2$，即OB的长度为8m。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的核心是将实际场景中的量与函数图象上的点坐标对应起来，结合实际意义对计算结果进行取舍，考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确特殊点的实际意义：点A(0,1.6)是抛物线的初始点，OB对应铅球落地时的水平距离，此时y=0。第一步先将点A坐标代入给定的抛物线顶点式，求出未知参数a，得到完整的抛物线解析式；第二步令解析式中y=0，解关于x的一元二次方程，结合实际意义舍去负根，得到的正根就是OB的长度。
【解析】
由题意可知，点A的坐标为$(0,1.6)$，将$x=0$，$y=1.6$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2+2.5$，得：
$1.6=a(0-3)^2+2.5$
整理得$9a+2.5=1.6$
解得$a=-0.1$
因此抛物线的解析式为$y=-0.1(x-3)^2+2.5$
铅球落地时高度为0，令$y=0$，得：
$-0.1(x-3)^2+2.5=0$
整理得$(x-3)^2=25$
开平方得$x-3=\pm5$
解得$x_1=8$，$x_2=-2$
由于水平距离不能为负，故舍去$x_2=-2$，即OB的长度为8m。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的核心是将实际场景中的量与函数图象上的点坐标对应起来，结合实际意义对计算结果进行取舍，考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
