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4. (2025·巴中)如图8,计划用长为40 m的绳子围一个矩形围栏,其中一边靠墙(墙长25 m).
(1)矩形围栏的面积为150 m²时,三边分别长多少米?
(2)矩形围栏的面积最大时,三边分别长多少米?
(1)矩形围栏的面积为150 m²时,三边分别长多少米?
(2)矩形围栏的面积最大时,三边分别长多少米?
答案
解：
(1) 设垂直于墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的一边长为$ (40-2x) \, \mathrm{m} $。
由墙长为25 m，可得$ 0 ＜ 40-2x ≤ 25 $，解得$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $。
根据题意列方程：
$x(40-2x) = 150$
整理得$ x^2 - 20x + 75 = 0 $，
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 15 $。
因为$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $，所以$ x=5 $不符合题意，舍去。
此时平行于墙的边长为$ 40 - 2×15 = 10 \, \mathrm{m} $。
(2) 设矩形围栏的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，则：
$S = x(40-2x) = -2x^2 + 40x = -2(x-10)^2 + 200$
因为$ a=-2 ＜ 0 $，且$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $，所以当$ x=10 $时，$ S $取得最大值200。
此时平行于墙的边长为$ 40 - 2×10 = 20 \, \mathrm{m} $，$ 20 ＜ 25 $，符合墙长限制。
答：(1) 面积为$ 150 \, \mathrm{m}^2 $时，三边的长分别为15 m，10 m，15 m；(2) 矩形围栏面积最大时，三边的长分别为10 m，20 m，10 m。
(1) 设垂直于墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的一边长为$ (40-2x) \, \mathrm{m} $。
由墙长为25 m，可得$ 0 ＜ 40-2x ≤ 25 $，解得$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $。
根据题意列方程：
$x(40-2x) = 150$
整理得$ x^2 - 20x + 75 = 0 $，
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 15 $。
因为$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $，所以$ x=5 $不符合题意，舍去。
此时平行于墙的边长为$ 40 - 2×15 = 10 \, \mathrm{m} $。
(2) 设矩形围栏的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，则：
$S = x(40-2x) = -2x^2 + 40x = -2(x-10)^2 + 200$
因为$ a=-2 ＜ 0 $，且$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $，所以当$ x=10 $时，$ S $取得最大值200。
此时平行于墙的边长为$ 40 - 2×10 = 20 \, \mathrm{m} $，$ 20 ＜ 25 $，符合墙长限制。
答：(1) 面积为$ 150 \, \mathrm{m}^2 $时，三边的长分别为15 m，10 m，15 m；(2) 矩形围栏面积最大时，三边的长分别为10 m，20 m，10 m。
解析
【分析】
本题是靠墙围矩形的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 求固定面积对应的边长：首先明确绳子仅围3条边，设垂直于墙的边长为$x\,\mathrm{m}$，则平行于墙的边长为总绳长减去2个垂直边的长度，即$(40-2x)\,\mathrm{m}$；其次结合墙长限制确定$x$的取值范围：平行于墙的边长不能超过墙长25m且必须大于0，先解不等式得到$x$的合法范围；再根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后舍去不在取值范围内的根，即可得到各边长度。
(2) 求面积最大时的边长：将矩形面积表示为关于$x$的二次函数，通过配方转化为顶点式，结合二次函数开口方向和$x$的取值范围，找到使面积最大的$x$值，再计算对应各边长度，验证是否符合墙长限制即可。
【解析】
(1) 设垂直于墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的一边长为$ (40-2x) \, \mathrm{m} $。
由墙长限制可得$0 ＜ 40-2x ≤ 25$，解得$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $。
根据面积为$150\,\mathrm{m}^2$列方程：
$x(40-2x) = 150$
整理得$ x^2 - 20x + 75 = 0 $，
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 15 $。
因为$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $，所以$ x=5 $不符合题意，舍去。
此时平行于墙的边长为$ 40 - 2×15 = 10 \, \mathrm{m} $。
(2) 设矩形围栏的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，则：
$S = x(40-2x) = -2x^2 + 40x = -2(x-10)^2 + 200$
因为$ a=-2 ＜ 0 $，抛物线开口向下，且$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $，$x=10$在取值范围内，所以当$ x=10 $时，$ S $取得最大值200。
此时平行于墙的边长为$ 40 - 2×10 = 20 \, \mathrm{m} $，$ 20 ＜ 25 $，符合墙长限制。
【答案】
(1) 面积为$ 150 \, \mathrm{m}^2 $时，三边的长分别为15 m，10 m，15 m；
(2) 矩形围栏面积最大时，三边的长分别为10 m，20 m，10 m。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，自变量取值范围
【点评】
本题是生活中常见的围栏类实际问题，解题的关键是注意靠墙侧的边长存在实际限制，求解出结果后要验证是否符合实际条件，避免出现不符合要求的错解。
【难度系数】
0.65
本题是靠墙围矩形的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 求固定面积对应的边长：首先明确绳子仅围3条边，设垂直于墙的边长为$x\,\mathrm{m}$，则平行于墙的边长为总绳长减去2个垂直边的长度，即$(40-2x)\,\mathrm{m}$；其次结合墙长限制确定$x$的取值范围：平行于墙的边长不能超过墙长25m且必须大于0，先解不等式得到$x$的合法范围；再根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后舍去不在取值范围内的根，即可得到各边长度。
(2) 求面积最大时的边长：将矩形面积表示为关于$x$的二次函数，通过配方转化为顶点式，结合二次函数开口方向和$x$的取值范围，找到使面积最大的$x$值，再计算对应各边长度，验证是否符合墙长限制即可。
【解析】
(1) 设垂直于墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的一边长为$ (40-2x) \, \mathrm{m} $。
由墙长限制可得$0 ＜ 40-2x ≤ 25$，解得$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $。
根据面积为$150\,\mathrm{m}^2$列方程：
$x(40-2x) = 150$
整理得$ x^2 - 20x + 75 = 0 $，
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 15 $。
因为$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $，所以$ x=5 $不符合题意，舍去。
此时平行于墙的边长为$ 40 - 2×15 = 10 \, \mathrm{m} $。
(2) 设矩形围栏的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，则：
$S = x(40-2x) = -2x^2 + 40x = -2(x-10)^2 + 200$
因为$ a=-2 ＜ 0 $，抛物线开口向下，且$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $，$x=10$在取值范围内，所以当$ x=10 $时，$ S $取得最大值200。
此时平行于墙的边长为$ 40 - 2×10 = 20 \, \mathrm{m} $，$ 20 ＜ 25 $，符合墙长限制。
【答案】
(1) 面积为$ 150 \, \mathrm{m}^2 $时，三边的长分别为15 m，10 m，15 m；
(2) 矩形围栏面积最大时，三边的长分别为10 m，20 m，10 m。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，自变量取值范围
【点评】
本题是生活中常见的围栏类实际问题，解题的关键是注意靠墙侧的边长存在实际限制，求解出结果后要验证是否符合实际条件，避免出现不符合要求的错解。
【难度系数】
0.65
5. (2025·大庆)为推进我市“红色研学”文化旅游发展,大庆博物馆新推出A,B两种文创纪念品.已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元;4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元.一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成.规定:每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元(每套售价为整数).如果每套纪念品的售价为72元,那么每天可销售80套.经调查发现,每套纪念品的售价每降价1元,其销售量相应增加10套.设每天的利润为W(单位:元),每套纪念品的售价为a元(65≤a≤72且a为整数).
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本;
(2)求当a为何值时,每天的利润W最大.
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本;
(2)求当a为何值时,每天的利润W最大.
答案
解：
(1) 设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元。
根据题意得：
$\begin{cases}2x + 3y = 155 \\4x + y = 135\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 25 \\y = 35\end{cases}$
答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元。
(2) 由题意得，每套纪念品的成本为$25+35=60$元，
每天的销售量为$80 + 10(72 - a) = 800 - 10a$套，
则每天的利润：
$\begin{aligned}W&=(a - 60)(800 - 10a)\\&=-10a^2 + 1400a - 48000\\&=-10(a - 70)^2 + 1000\end{aligned}$
$\because -10＜0$，且$65≤ a≤72$，a为整数，
$\therefore$ 当$a=70$时，W取得最大值。
答：当a为70时，每天的利润W最大。
(1) 设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元。
根据题意得：
$\begin{cases}2x + 3y = 155 \\4x + y = 135\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 25 \\y = 35\end{cases}$
答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元。
(2) 由题意得，每套纪念品的成本为$25+35=60$元，
每天的销售量为$80 + 10(72 - a) = 800 - 10a$套，
则每天的利润：
$\begin{aligned}W&=(a - 60)(800 - 10a)\\&=-10a^2 + 1400a - 48000\\&=-10(a - 70)^2 + 1000\end{aligned}$
$\because -10＜0$，且$65≤ a≤72$，a为整数，
$\therefore$ 当$a=70$时，W取得最大值。
答：当a为70时，每天的利润W最大。
解析
【分析】
(1) 第一问求A、B两种纪念品的成本，题目给出两组不同数量的A、B成本和的等量关系，可通过设两个未知数，建立二元一次方程组求解。
(2) 第二问求利润最大时的售价，首先先计算每套纪念品的总成本，再根据售价和销量的变化规律写出销售量关于a的表达式，再根据“利润=单套利润×销售量”列出利润W关于a的二次函数解析式，将解析式化为顶点式后，结合二次函数的开口方向和a的取值范围，即可求出W取最大值时对应的a值。
【解析】
(1) 设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 155 \\4x + y = 135\end{cases}$
将第二个方程变形为$y=135-4x$，代入第一个方程得：
$2x+3(135-4x)=155$，解得$x=25$，
将$x=25$代入$y=135-4x$得$y=35$，
即方程组的解为$\begin{cases}x = 25 \\y = 35\end{cases}$。
(2) 每套纪念品的成本为$25+35=60$元，
当售价为a元时，销售量为$80 + 10(72 - a) = 800 - 10a$套，
则每天的利润：
$\begin{aligned}W&=(a - 60)(800 - 10a)\\&=-10a^2 + 1400a - 48000\\&=-10(a - 70)^2 + 1000\end{aligned}$
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，顶点处W取最大值，
又$\because 65≤ a≤72$且a为整数，顶点横坐标$a=70$在取值范围内，
$\therefore$ 当$a=70$时，W取得最大值。
【答案】
(1) 每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元；
(2) 当a为70时，每天的利润W最大。
【知识点】
二元一次方程组的应用，二次函数的实际应用，二次函数的最值
【点评】
本题以红色研学文创产品销售为背景，贴近生活实际，主要考查学生运用方程和函数知识解决实际问题的能力，解题核心是找准等量关系，正确列出方程组和函数解析式，结合自变量取值范围确定最值。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求A、B两种纪念品的成本，题目给出两组不同数量的A、B成本和的等量关系，可通过设两个未知数，建立二元一次方程组求解。
(2) 第二问求利润最大时的售价，首先先计算每套纪念品的总成本，再根据售价和销量的变化规律写出销售量关于a的表达式，再根据“利润=单套利润×销售量”列出利润W关于a的二次函数解析式，将解析式化为顶点式后，结合二次函数的开口方向和a的取值范围，即可求出W取最大值时对应的a值。
【解析】
(1) 设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 155 \\4x + y = 135\end{cases}$
将第二个方程变形为$y=135-4x$，代入第一个方程得：
$2x+3(135-4x)=155$，解得$x=25$，
将$x=25$代入$y=135-4x$得$y=35$，
即方程组的解为$\begin{cases}x = 25 \\y = 35\end{cases}$。
(2) 每套纪念品的成本为$25+35=60$元，
当售价为a元时，销售量为$80 + 10(72 - a) = 800 - 10a$套，
则每天的利润：
$\begin{aligned}W&=(a - 60)(800 - 10a)\\&=-10a^2 + 1400a - 48000\\&=-10(a - 70)^2 + 1000\end{aligned}$
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，顶点处W取最大值，
又$\because 65≤ a≤72$且a为整数，顶点横坐标$a=70$在取值范围内，
$\therefore$ 当$a=70$时，W取得最大值。
【答案】
(1) 每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元；
(2) 当a为70时，每天的利润W最大。
【知识点】
二元一次方程组的应用，二次函数的实际应用，二次函数的最值
【点评】
本题以红色研学文创产品销售为背景，贴近生活实际，主要考查学生运用方程和函数知识解决实际问题的能力，解题核心是找准等量关系，正确列出方程组和函数解析式，结合自变量取值范围确定最值。
【难度系数】
0.7
