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6. (2025·东营)如图9，抛物线$y=-x^2+bx+c$交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中$A(-1,0),C(0,5)$。
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为对称轴上一点，当$△ ACP$的周长最小时，求点P的坐标；
(3)点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标。
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为对称轴上一点，当$△ ACP$的周长最小时，求点P的坐标；
(3)点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标。
答案
解：
(1) 将$A(-1,0)$，$C(0,5)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-(-1)^2 - b + c = 0 \\c = 5\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=4 \\ c=5\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5$。
(2) 由$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$，得抛物线对称轴为直线$x=2$。
令$y=0$，则$-x^2+4x+5=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
∴点$B$的坐标为$(5,0)$。
∵点$A$、$B$关于对称轴直线$x=2$对称，∴$PA=PB$。
$△ ACP$的周长为$AC+AP+CP=AC+CP+PB$，
∵$AC$为定值，∴当$C$、$P$、$B$三点共线时，$CP+PB$最小，此时$△ ACP$的周长最小。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+m$，代入$B(5,0)$、$C(0,5)$，得：
$\begin{cases}5k+m=0 \\ m=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ m=5\end{cases}$，即直线$BC$的解析式为$y=-x+5$。
将$x=2$代入$y=-x+5$，得$y=3$，
∴点$P$的坐标为$(2,3)$。
(3) 点$N$的坐标为$(1,8)$、$(3,8)$、$(-3,-16)$。
(1) 将$A(-1,0)$，$C(0,5)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-(-1)^2 - b + c = 0 \\c = 5\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=4 \\ c=5\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5$。
(2) 由$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$，得抛物线对称轴为直线$x=2$。
令$y=0$，则$-x^2+4x+5=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
∴点$B$的坐标为$(5,0)$。
∵点$A$、$B$关于对称轴直线$x=2$对称，∴$PA=PB$。
$△ ACP$的周长为$AC+AP+CP=AC+CP+PB$，
∵$AC$为定值，∴当$C$、$P$、$B$三点共线时，$CP+PB$最小，此时$△ ACP$的周长最小。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+m$，代入$B(5,0)$、$C(0,5)$，得：
$\begin{cases}5k+m=0 \\ m=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ m=5\end{cases}$，即直线$BC$的解析式为$y=-x+5$。
将$x=2$代入$y=-x+5$，得$y=3$，
∴点$P$的坐标为$(2,3)$。
(3) 点$N$的坐标为$(1,8)$、$(3,8)$、$(-3,-16)$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线上A、C两点的坐标，直接将两点坐标代入二次函数表达式，得到关于参数b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，进而得到抛物线解析式。
(2) △ACP的周长由AC、AP、CP三条线段组成，其中AC长度是定值，因此要让周长最小，只需使AP+CP的和最小。根据抛物线的对称性，点A与点B关于对称轴对称，故AP=BP，可将AP+CP转化为BP+CP，根据两点之间线段最短，当C、P、B三点共线时，BP+CP的和最小，此时求直线BC与对称轴的交点，即为所求的点P。
(3) 探究以A、C、M、N为顶点的平行四边形时，需分两类讨论：①AC为平行四边形的边；②AC为平行四边形的对角线。结合平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，结合抛物线对称轴和解析式即可求出所有符合条件的点N的坐标。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$，$C(0,5)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-(-1)^2 - b + c = 0 \\c = 5\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=4 \\ c=5\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5$。
(2) 由$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$，得抛物线对称轴为直线$x=2$。
令$y=0$，则$-x^2+4x+5=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
∴点$B$的坐标为$(5,0)$。
∵点$A$、$B$关于对称轴直线$x=2$对称，
∴$PA=PB$。
$△ ACP$的周长为$AC+AP+CP=AC+CP+PB$，
∵$AC$为定值，
∴当$C$、$P$、$B$三点共线时，$CP+PB$最小，此时$△ ACP$的周长最小。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+m$，代入$B(5,0)$、$C(0,5)$，得：
$\begin{cases}5k+m=0 \\ m=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ m=5\end{cases}$，即直线$BC$的解析式为$y=-x+5$。
将$x=2$代入$y=-x+5$，得$y=3$，
∴点$P$的坐标为$(2,3)$。
(3) 分情况讨论：
①若AC为平行四边形的边，平移AC使点A或点C落在对称轴$x=2$上，结合抛物线解析式可求得点N坐标为$(1,8)$、$(3,8)$；
②若AC为平行四边形的对角线，利用对角线中点重合的性质，可求得点N坐标为$(-3,-16)$。
综上，点N的坐标为$(1,8)$、$(3,8)$、$(-3,-16)$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+4x+5}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(2,3)}$；
(3) 点N的坐标为$\boldsymbol{(1,8)、(3,8)、(-3,-16)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称最短路径，平行四边形存在性
【点评】
本题属于二次函数综合题，覆盖了二次函数基本性质、一次函数求解、几何最值和特殊四边形判定等考点，解题过程中需要用到转化思想和分类讨论思想，第三问要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线上A、C两点的坐标，直接将两点坐标代入二次函数表达式，得到关于参数b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，进而得到抛物线解析式。
(2) △ACP的周长由AC、AP、CP三条线段组成，其中AC长度是定值，因此要让周长最小，只需使AP+CP的和最小。根据抛物线的对称性，点A与点B关于对称轴对称，故AP=BP，可将AP+CP转化为BP+CP，根据两点之间线段最短，当C、P、B三点共线时，BP+CP的和最小，此时求直线BC与对称轴的交点，即为所求的点P。
(3) 探究以A、C、M、N为顶点的平行四边形时，需分两类讨论：①AC为平行四边形的边；②AC为平行四边形的对角线。结合平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，结合抛物线对称轴和解析式即可求出所有符合条件的点N的坐标。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$，$C(0,5)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-(-1)^2 - b + c = 0 \\c = 5\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=4 \\ c=5\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5$。
(2) 由$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$，得抛物线对称轴为直线$x=2$。
令$y=0$，则$-x^2+4x+5=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
∴点$B$的坐标为$(5,0)$。
∵点$A$、$B$关于对称轴直线$x=2$对称，
∴$PA=PB$。
$△ ACP$的周长为$AC+AP+CP=AC+CP+PB$，
∵$AC$为定值，
∴当$C$、$P$、$B$三点共线时，$CP+PB$最小，此时$△ ACP$的周长最小。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+m$，代入$B(5,0)$、$C(0,5)$，得：
$\begin{cases}5k+m=0 \\ m=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ m=5\end{cases}$，即直线$BC$的解析式为$y=-x+5$。
将$x=2$代入$y=-x+5$，得$y=3$，
∴点$P$的坐标为$(2,3)$。
(3) 分情况讨论：
①若AC为平行四边形的边，平移AC使点A或点C落在对称轴$x=2$上，结合抛物线解析式可求得点N坐标为$(1,8)$、$(3,8)$；
②若AC为平行四边形的对角线，利用对角线中点重合的性质，可求得点N坐标为$(-3,-16)$。
综上，点N的坐标为$(1,8)$、$(3,8)$、$(-3,-16)$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+4x+5}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(2,3)}$；
(3) 点N的坐标为$\boldsymbol{(1,8)、(3,8)、(-3,-16)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称最短路径，平行四边形存在性
【点评】
本题属于二次函数综合题，覆盖了二次函数基本性质、一次函数求解、几何最值和特殊四边形判定等考点，解题过程中需要用到转化思想和分类讨论思想，第三问要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
