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1.(2026·内蒙古)二次函数$y=x^2 -9$的图象与x轴交于A,B两点,则线段AB的长是 ()
A.3
B.6
C.9
D.18
A.3
B.6
C.9
D.18
答案
B
解析
【分析】要计算二次函数与x轴交点A、B之间的线段长度，首先明确x轴上点的纵坐标为0，因此先令函数中y=0，得到关于x的一元二次方程，求解得到两个根即为A、B两点的横坐标；再根据x轴上两点的距离等于横坐标之差的绝对值，代入数值计算即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2 -9$的图象与x轴交于A、B两点
∴令$y=0$，可得方程：$x^2 -9=0$
移项得$x^2=9$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$
即A、B两点的坐标为$(-3,0)$、$(3,0)$
∴线段AB的长为$|3 - (-3)|=6$
【答案】
B
【知识点】
二次函数与x轴交点特征；一元二次方程的解法；x轴上两点距离计算
【点评】
本题是二次函数相关的基础常考题，核心是掌握函数与坐标轴交点的坐标特征，能将函数问题转化为方程问题求解，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2 -9$的图象与x轴交于A、B两点
∴令$y=0$，可得方程：$x^2 -9=0$
移项得$x^2=9$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$
即A、B两点的坐标为$(-3,0)$、$(3,0)$
∴线段AB的长为$|3 - (-3)|=6$
【答案】
B
【知识点】
二次函数与x轴交点特征；一元二次方程的解法；x轴上两点距离计算
【点评】
本题是二次函数相关的基础常考题，核心是掌握函数与坐标轴交点的坐标特征，能将函数问题转化为方程问题求解，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. (2025·威海)已知点$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$都在二次函数$y=-(x-2)^2+c$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是 ()
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
C
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先明确二次函数的基本性质：该函数是顶点式，可直接确定开口方向和对称轴。对于开口向下的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大。因此我们只需要计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可判断y值的大小，无需计算具体的y值，简化计算过程。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-(x-2)^2+c$：
1. 确定开口方向和对称轴：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$；
2. 计算各点到对称轴的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴$x=2$的距离为$\vert -2 - 2\vert=4$；
点$(3,y_2)$到对称轴$x=2$的距离为$\vert 3 - 2\vert=1$；
点$(7,y_3)$到对称轴$x=2$的距离为$\vert 7 - 2\vert=5$；
3. 比较y值大小：开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越小，函数值越大，因为$1＜4＜5$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的图象性质
2. 二次函数顶点式
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数性质的常考基础题型，解题关键是掌握开口方向、对称轴与函数值大小的关系，利用点到对称轴的距离比较可快速得出结果，避免计算复杂的函数值，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，首先明确二次函数的基本性质：该函数是顶点式，可直接确定开口方向和对称轴。对于开口向下的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大。因此我们只需要计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可判断y值的大小，无需计算具体的y值，简化计算过程。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-(x-2)^2+c$：
1. 确定开口方向和对称轴：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$；
2. 计算各点到对称轴的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴$x=2$的距离为$\vert -2 - 2\vert=4$；
点$(3,y_2)$到对称轴$x=2$的距离为$\vert 3 - 2\vert=1$；
点$(7,y_3)$到对称轴$x=2$的距离为$\vert 7 - 2\vert=5$；
3. 比较y值大小：开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越小，函数值越大，因为$1＜4＜5$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的图象性质
2. 二次函数顶点式
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数性质的常考基础题型，解题关键是掌握开口方向、对称轴与函数值大小的关系，利用点到对称轴的距离比较可快速得出结果，避免计算复杂的函数值，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. (2025·上海)抛物线$y=3x^2$向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为.
答案
解：
二次函数图象上下平移遵循“上加下减”的规则，将抛物线$y=3x^2$向下平移2个单位长度，只需在原函数表达式的整体后减去2，因此所得抛物线的解析式为$y=3x^2 - 2$。
二次函数图象上下平移遵循“上加下减”的规则，将抛物线$y=3x^2$向下平移2个单位长度，只需在原函数表达式的整体后减去2，因此所得抛物线的解析式为$y=3x^2 - 2$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数图象上下平移的变化规律：上下平移只改变函数的纵坐标值，遵循“上加下减”的规则，即图象向上平移n个单位，就在原解析式整体后加n；向下平移n个单位，就在原解析式整体后减n，不需要改动x相关的项。本题是向下平移2个单位，直接套用该规则计算即可。
【解析】
二次函数图象上下平移遵循“上加下减”的规则，平移时仅对函数表达式的整体做常数项的加减，无需修改含x的项。
将抛物线$y=3x^2$向下平移2个单位长度，只需在原函数表达式的整体后减去2，因此所得抛物线的解析式为$y=3x^2 - 2$。
【答案】
$y=3x^2 - 2$
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移“上加下减”规则
【点评】
本题是基础类题型，重点考查二次函数上下平移的规律，熟练记忆平移规则即可快速解题，注意要和左右平移“左加右减”的规则做好区分，避免混淆。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆二次函数图象上下平移的变化规律：上下平移只改变函数的纵坐标值，遵循“上加下减”的规则，即图象向上平移n个单位，就在原解析式整体后加n；向下平移n个单位，就在原解析式整体后减n，不需要改动x相关的项。本题是向下平移2个单位，直接套用该规则计算即可。
【解析】
二次函数图象上下平移遵循“上加下减”的规则，平移时仅对函数表达式的整体做常数项的加减，无需修改含x的项。
将抛物线$y=3x^2$向下平移2个单位长度，只需在原函数表达式的整体后减去2，因此所得抛物线的解析式为$y=3x^2 - 2$。
【答案】
$y=3x^2 - 2$
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移“上加下减”规则
【点评】
本题是基础类题型，重点考查二次函数上下平移的规律，熟练记忆平移规则即可快速解题，注意要和左右平移“左加右减”的规则做好区分，避免混淆。
【难度系数】
0.9
4. 如图1,在同一平面直角坐标系中,作出①$y=-3x^2$,②$y=-\frac{1}{2}x^2$,③$y=-x^2$的图象,则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是(填序号).
答案
解：对于二次函数$y=ax^2$，当$a＜0$时，$|a|$的值越大，抛物线的开口越窄，图象越靠近y轴，即位置越靠里。
分别计算三个函数二次项系数的绝对值：
$|-3|=3$，$\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$，$|-1|=1$，
可得$3＞1＞\dfrac{1}{2}$，
因此从里到外的三条抛物线对应的函数依次是①③②。
分别计算三个函数二次项系数的绝对值：
$|-3|=3$，$\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$，$|-1|=1$，
可得$3＞1＞\dfrac{1}{2}$，
因此从里到外的三条抛物线对应的函数依次是①③②。
解析
【分析】
要判断三条抛物线从里到外对应的函数，首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：对于形如$y=ax^2$的二次函数，$|a|$的大小决定抛物线的开口宽窄，$|a|$越大，抛物线开口越窄，图象越靠近$y$轴，也就是位置越靠里；$|a|$越小，开口越宽，位置越靠外。因此我们只需要计算三个函数二次项系数的绝对值，比较大小后按绝对值从大到小排序，就能得到从里到外的函数顺序。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，当$a＜0$时，$|a|$的值越大，抛物线的开口越窄，图象越靠近$y$轴，即位置越靠里。
分别计算三个函数二次项系数的绝对值：
$|-3|=3$，$\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$，$|-1|=1$，
可得大小关系为$3＞1＞\dfrac{1}{2}$，
因此从里到外的三条抛物线对应的函数依次是①③②。
【答案】
①③②
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数开口规律
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，重点考查二次项系数的绝对值对抛物线开口宽窄的影响，牢记“$|a|$越大，开口越窄”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断三条抛物线从里到外对应的函数，首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：对于形如$y=ax^2$的二次函数，$|a|$的大小决定抛物线的开口宽窄，$|a|$越大，抛物线开口越窄，图象越靠近$y$轴，也就是位置越靠里；$|a|$越小，开口越宽，位置越靠外。因此我们只需要计算三个函数二次项系数的绝对值，比较大小后按绝对值从大到小排序，就能得到从里到外的函数顺序。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，当$a＜0$时，$|a|$的值越大，抛物线的开口越窄，图象越靠近$y$轴，即位置越靠里。
分别计算三个函数二次项系数的绝对值：
$|-3|=3$，$\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$，$|-1|=1$，
可得大小关系为$3＞1＞\dfrac{1}{2}$，
因此从里到外的三条抛物线对应的函数依次是①③②。
【答案】
①③②
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数开口规律
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，重点考查二次项系数的绝对值对抛物线开口宽窄的影响，牢记“$|a|$越大，开口越窄”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. (2025·潍坊)如图2,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx(a＜0)$与正比例函数$y=kx$的图象都经过点$A(3,3)$,点$P$为二次函数图象上点$O$与点$A$之间的一点,过点$P$作$x$轴的垂线,交$OA$于点$C$,交$x$轴于点$D$.
(1)若点$A$为该二次函数的顶点.
①求二次函数的解析式;
②求线段$PC$长度的最大值.
(2)若该二次函数与$x$轴的一交点为$B(m,0)$,且$m＞4$,求$a$的取值范围.
(1)若点$A$为该二次函数的顶点.
①求二次函数的解析式;
②求线段$PC$长度的最大值.
(2)若该二次函数与$x$轴的一交点为$B(m,0)$,且$m＞4$,求$a$的取值范围.
答案
解：
(1)① ∵二次函数$y=ax^2+bx$的顶点为$A(3,3)$，
∴设二次函数解析式为$y=a(x-3)^2+3$，
将点$O(0,0)$代入解析式得：
$0=a·(0-3)^2+3$，
解得$a=-\frac{1}{3}$，
展开得$y=-\frac{1}{3}(x-3)^2+3=-\frac{1}{3}x^2+2x$，
即二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{3}x^2+2x$。
② ∵正比例函数$y=kx$过点$A(3,3)$，
∴$3=3k$，解得$k=1$，即正比例函数解析式为$y=x$。
设点$P$的横坐标为$t$（$0＜t＜3$），则$P(t,-\frac{1}{3}t^2+2t)$，
由$PC⊥ x$轴可知点$C$横坐标也为$t$，故$C(t,t)$，
则$PC=(-\frac{1}{3}t^2+2t)-t=-\frac{1}{3}t^2+t$。
该二次函数开口向下，对称轴为$t=-\frac{1}{2×(-\frac{1}{3})}=\frac{3}{2}$，
将$t=\frac{3}{2}$代入得$PC$的最大值为$-\frac{1}{3}×(\frac{3}{2})^2+\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$。
(2) ∵二次函数$y=ax^2+bx$过点$A(3,3)$，
∴代入得$9a+3b=3$，整理得$b=1-3a$。
令$y=0$，则$ax^2+bx=0$，即$x(ax+b)=0$，
解得二次函数与$x$轴的交点为$x_1=0$，$x_2=-\frac{b}{a}$，
由题意得$m=-\frac{b}{a}$，将$b=1-3a$代入得：
$m=-\frac{1-3a}{a}=3-\frac{1}{a}$，
∵$m＞4$，∴$3-\frac{1}{a}＞4$，
移项得$-\frac{1}{a}＞1$，
又∵$a＜0$，不等式两边同乘$a$，不等号方向改变，得$-1＜a$，
结合$a＜0$，得$-1＜a＜0$。
综上，$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
(1)① ∵二次函数$y=ax^2+bx$的顶点为$A(3,3)$，
∴设二次函数解析式为$y=a(x-3)^2+3$，
将点$O(0,0)$代入解析式得：
$0=a·(0-3)^2+3$，
解得$a=-\frac{1}{3}$，
展开得$y=-\frac{1}{3}(x-3)^2+3=-\frac{1}{3}x^2+2x$，
即二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{3}x^2+2x$。
② ∵正比例函数$y=kx$过点$A(3,3)$，
∴$3=3k$，解得$k=1$，即正比例函数解析式为$y=x$。
设点$P$的横坐标为$t$（$0＜t＜3$），则$P(t,-\frac{1}{3}t^2+2t)$，
由$PC⊥ x$轴可知点$C$横坐标也为$t$，故$C(t,t)$，
则$PC=(-\frac{1}{3}t^2+2t)-t=-\frac{1}{3}t^2+t$。
该二次函数开口向下，对称轴为$t=-\frac{1}{2×(-\frac{1}{3})}=\frac{3}{2}$，
将$t=\frac{3}{2}$代入得$PC$的最大值为$-\frac{1}{3}×(\frac{3}{2})^2+\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$。
(2) ∵二次函数$y=ax^2+bx$过点$A(3,3)$，
∴代入得$9a+3b=3$，整理得$b=1-3a$。
令$y=0$，则$ax^2+bx=0$，即$x(ax+b)=0$，
解得二次函数与$x$轴的交点为$x_1=0$，$x_2=-\frac{b}{a}$，
由题意得$m=-\frac{b}{a}$，将$b=1-3a$代入得：
$m=-\frac{1-3a}{a}=3-\frac{1}{a}$，
∵$m＞4$，∴$3-\frac{1}{a}＞4$，
移项得$-\frac{1}{a}＞1$，
又∵$a＜0$，不等式两边同乘$a$，不等号方向改变，得$-1＜a$，
结合$a＜0$，得$-1＜a＜0$。
综上，$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
解析
【分析】
本题为二次函数与正比例函数的综合题，解题思路如下：
(1)①已知二次函数的顶点为A(3,3)，可先设顶点式解析式，再结合二次函数过原点O(0,0)，代入坐标求出参数a，整理即可得到二次函数的解析式；
②先利用点A(3,3)求出正比例函数的解析式，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），根据PD垂直x轴的特征，点C和点P横坐标相同，分别用t表示P、C的纵坐标，PC的长度为两点纵坐标的差，得到关于t的二次函数，结合二次函数的开口方向和对称轴即可求出PC的最大值；
(2)先将点A(3,3)代入二次函数解析式，得到b与a的关系，再求出二次函数与x轴另一交点B的横坐标关于a的表达式，结合m＞4的条件列不等式，结合a＜0的前提解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
(1)①
∵二次函数$y=ax^2+bx$的顶点为$A(3,3)$，
∴设二次函数解析式为$y=a(x-3)^2+3$，
将点$O(0,0)$代入解析式得：
$0=a·(0-3)^2+3$，
解得$a=-\frac{1}{3}$，
展开得$y=-\frac{1}{3}(x-3)^2+3=-\frac{1}{3}x^2+2x$。
②
∵正比例函数$y=kx$过点$A(3,3)$，
∴$3=3k$，解得$k=1$，即正比例函数解析式为$y=x$。
设点$P$的横坐标为$t$（$0＜t＜3$），则$P(t,-\frac{1}{3}t^2+2t)$，
由$PC⊥ x$轴可知点$C$横坐标也为$t$，故$C(t,t)$，
则$PC=(-\frac{1}{3}t^2+2t)-t=-\frac{1}{3}t^2+t$。
该二次函数开口向下，对称轴为$t=-\frac{1}{2×(-\frac{1}{3})}=\frac{3}{2}$，
将$t=\frac{3}{2}$代入得$PC$的最大值为$-\frac{1}{3}×(\frac{3}{2})^2+\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$。
(2)
∵二次函数$y=ax^2+bx$过点$A(3,3)$，
∴代入得$9a+3b=3$，整理得$b=1-3a$。
令$y=0$，则$ax^2+bx=0$，即$x(ax+b)=0$，
解得二次函数与$x$轴的交点为$x_1=0$，$x_2=-\frac{b}{a}$，
由题意得$m=-\frac{b}{a}$，将$b=1-3a$代入得：
$m=-\frac{1-3a}{a}=3-\frac{1}{a}$，
∵$m＞4$，
∴$3-\frac{1}{a}＞4$，
移项得$-\frac{1}{a}＞1$，
又
∵$a＜0$，不等式两边同乘$a$，不等号方向改变，得$-1＜a$，
结合$a＜0$，得$-1＜a＜0$。
【答案】
(1)①$y=-\frac{1}{3}x^2+2x$；②$\frac{3}{4}$；(2)$-1＜a＜0$
【知识点】
1.待定系数法求解析式 2.二次函数的最值 3.含参不等式求解
【点评】
本题是二次函数综合基础题，涵盖了函数解析式求解、二次函数最值计算、不等式求解等多个考点，解题时要注意参数的取值范围，解含负系数的不等式时需注意不等号方向的变化，是中考二次函数模块的常见考法。
【难度系数】
0.6
本题为二次函数与正比例函数的综合题，解题思路如下：
(1)①已知二次函数的顶点为A(3,3)，可先设顶点式解析式，再结合二次函数过原点O(0,0)，代入坐标求出参数a，整理即可得到二次函数的解析式；
②先利用点A(3,3)求出正比例函数的解析式，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），根据PD垂直x轴的特征，点C和点P横坐标相同，分别用t表示P、C的纵坐标，PC的长度为两点纵坐标的差，得到关于t的二次函数，结合二次函数的开口方向和对称轴即可求出PC的最大值；
(2)先将点A(3,3)代入二次函数解析式，得到b与a的关系，再求出二次函数与x轴另一交点B的横坐标关于a的表达式，结合m＞4的条件列不等式，结合a＜0的前提解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
(1)①
∵二次函数$y=ax^2+bx$的顶点为$A(3,3)$，
∴设二次函数解析式为$y=a(x-3)^2+3$，
将点$O(0,0)$代入解析式得：
$0=a·(0-3)^2+3$，
解得$a=-\frac{1}{3}$，
展开得$y=-\frac{1}{3}(x-3)^2+3=-\frac{1}{3}x^2+2x$。
②
∵正比例函数$y=kx$过点$A(3,3)$，
∴$3=3k$，解得$k=1$，即正比例函数解析式为$y=x$。
设点$P$的横坐标为$t$（$0＜t＜3$），则$P(t,-\frac{1}{3}t^2+2t)$，
由$PC⊥ x$轴可知点$C$横坐标也为$t$，故$C(t,t)$，
则$PC=(-\frac{1}{3}t^2+2t)-t=-\frac{1}{3}t^2+t$。
该二次函数开口向下，对称轴为$t=-\frac{1}{2×(-\frac{1}{3})}=\frac{3}{2}$，
将$t=\frac{3}{2}$代入得$PC$的最大值为$-\frac{1}{3}×(\frac{3}{2})^2+\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$。
(2)
∵二次函数$y=ax^2+bx$过点$A(3,3)$，
∴代入得$9a+3b=3$，整理得$b=1-3a$。
令$y=0$，则$ax^2+bx=0$，即$x(ax+b)=0$，
解得二次函数与$x$轴的交点为$x_1=0$，$x_2=-\frac{b}{a}$，
由题意得$m=-\frac{b}{a}$，将$b=1-3a$代入得：
$m=-\frac{1-3a}{a}=3-\frac{1}{a}$，
∵$m＞4$，
∴$3-\frac{1}{a}＞4$，
移项得$-\frac{1}{a}＞1$，
又
∵$a＜0$，不等式两边同乘$a$，不等号方向改变，得$-1＜a$，
结合$a＜0$，得$-1＜a＜0$。
【答案】
(1)①$y=-\frac{1}{3}x^2+2x$；②$\frac{3}{4}$；(2)$-1＜a＜0$
【知识点】
1.待定系数法求解析式 2.二次函数的最值 3.含参不等式求解
【点评】
本题是二次函数综合基础题，涵盖了函数解析式求解、二次函数最值计算、不等式求解等多个考点，解题时要注意参数的取值范围，解含负系数的不等式时需注意不等号方向的变化，是中考二次函数模块的常见考法。
【难度系数】
0.6
