24. (10 分)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2kx + \frac{1}{2}k^2 - 2 = 0 $。
(1)求证：不论 $ k $ 为何值,方程 $ x^2 - 2kx + \frac{1}{2}k^2 - 2 = 0 $ 总有两个不相等的实数根；
(2)已知 $ x_1 $,$ x_2 $ 是方程 $ x^2 - 2kx + \frac{1}{2}k^2 - 2 = 0 $ 的两根,且 $ x_1^2 - 2kx_1 + 2x_1x_2 = 5 $,求 $ k $ 的值。

(1)Δ=4k²-4(1/2k²-2)=2k²+8＞0,
∴ 不论k为何值,方程x²-2kx+1/2k²-2=0总有两个不相等的实数根.
(2)
∵ x₁,x₂是方程x²-2kx+1/2k²-2=0的两根,且x₁²-2kx₁+2x₁x₂=5,
∴ x₁²-2kx₁+2(1/2k²-2)=5,
∴ x₁²-2kx₁+1/2k²-2+1/2k²-2=5,
∴ 0+1/2k²-2=5,即k²=14.解得k=±√14.

25. (8 分)某校举行以“助人为乐,乐在其中”为主题的演讲比赛,比赛设一个第一名,一个第二名,两个并列第三名。前四名中七、八年级各有一名同学,九年级有两名同学,小蒙同学认为前两名是九年级同学的概率是 $ \frac{1}{2} $,你赞成他的观点吗？请用列表法或画树状图法分析说明。

不赞同,概率是1/6.

不赞同。
设七年级同学为$A$，八年级同学为$B$，九年级两名同学为$C$、$D$。
所有可能的前两名排列情况如下：
$(A,B)$，$(A,C)$，$(A,D)$，$(B,A)$，$(B,C)$，$(B,D)$，$(C,A)$，$(C,B)$，$(C,D)$，$(D,A)$，$(D,B)$，$(D,C)$，共12种等可能结果。
其中前两名都是九年级同学的情况有$(C,D)$，$(D,C)$，共2种。
所以前两名是九年级同学的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
因此，小蒙的观点错误，概率是$\frac{1}{6}$。