26. (10 分)今年某水果销售店在草莓销售旺季,试销售成本为每千克 20 元的草莓,规定试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克 40 元。经试销发现,销售量 $ y $($ kg $)与销售单价 $ x $(元)符合一次函数关系,如图是 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系图象。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式,并直接写出 $ x $ 的取值范围；
(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为 $ w $ 元,求 $ w $ 的最大值。

(1) 设y=kx+b(k≠0),将(20,300),(30,280)代入,得y=-2x+340(20≤x≤40).
(2) w=(x-20)(-2x+340)=-2x²+380x-6800.对称轴为x=380/4=95.又
∵ 20≤x≤40,
∴ 当x=40时,w有最大值,为(40-20)×(-2×40+340)=5200.

27. (10 分)如图,$ \odot O $ 为 $ \triangle ABC $ 的外接圆,$ BC $ 为直径,点 $ E $ 在 $ AB $ 上,过点 $ E $ 作 $ EF \perp BC $,点 $ G $ 在 $ FE $ 的延长线上,且 $ GA = GE $。
(1)求证：$ AG $ 与 $ \odot O $ 相切；
(2)若 $ AC = 6 $,$ AB = 8 $,$ BE = 3 $,求线段 $ OE $ 的长。

(1) 连接 OA,因为OA=OB,所以∠B=∠BAO,又因为EF⊥BC,所以∠BFE=90°,所以∠B+∠BEF=90°.因为AG=GE,所以∠GAE=∠GEA.因为∠GEA=∠BEF,所以∠BAO+∠GAE=90°.所以GA⊥AO. 又 OA 为⊙O的半径,所以 AG 与⊙O相切.
(2) 过点 O 作OH⊥AB,垂足为 H,由垂径定理得,BH=AH=1/2AB=1/2×8=4.因为 BC 是直径,所以∠BAC=90°.又因为AB=8,AC=6,所以AB=√(8²+6²)=10. 所以OA=5,OH=3.又因为BH=4,BE=3,所以EH=1,所以OE=√(3²+1²)=√10.

28. (14 分)若抛物线 $ L: y = ax^2 + bx + c $($ a $,$ b $,$ c $ 是常数,$ a \neq 0 $)的顶点 $ P $ 在直线 $ l $ 上,则称该抛物线 $ L $ 与直线 $ l $ 具有“一带一路”关系。此时,抛物线 $ L $ 叫作直线 $ l $ 的“带线”,直线 $ l $ 叫作抛物线 $ L $ 的“路线”。
(1)求“带线”$ L: y = x^2 - 2mx + m^2 + m - 1 $($ m $ 是常数)的“路线”$ l $ 的解析式；
(2)若某“带线”$ L: y = \frac{1}{2}x^2 + bx + c $ 的顶点在二次函数 $ y = x^2 + 4x + 1 $ 的图象上,它的“路线”$ l $ 的解析式为 $ y = 2x + 4 $。
① 求此“带线”$ L $ 的解析式；
② 设“带线”$ L $ 与“路线”$ l $ 的另一个交点为 $ Q $,点 $ R $ 在 $ PQ $ 之间的“带线”$ L $ 上,当点 $ R $ 到“路线”$ l $ 的距离最大时,求点 $ R $ 的坐标。

(1) 由题意可得“带线”L 的顶点为(m,m-1),
∴ “路线”l 的解析式为y=x-1.
(2) ①设“带线”L:y=1/2x²+bx+c的顶点为(x,2x+4).
∵ 其顶点在二次函数y=x²+4x+1的图象上,
∴ 2x+4=x²+4x+1. 解得x₁=1,x₂=-3. “带线”L:y=1/2x²+bx+c的顶点为(1,6)或(-3,-2).
∴ “带线”L 的解析式为y=1/2x²-x+13/2或y=1/2x²+3x+5/2. ②若“带线”L 解析式为y=1/2x²-x+13/2,得“带线”L 与“路线”l 的另一个交点 Q 的坐标为(5,14).要使点 R 到线段 PQ 的距离最大,只要S△RPQ最大.
∴ S△RPQ=1/2(2x+4-1/2x²+x-13/2)×(5-1)=-x²+6x-5=-(x-3)²+4.
∴ 当x=3时,S△RPQ有最大值,此时点 R 的坐标为(3,8).若“带线”L 解析式为y=1/2x²+3x+5/2,同理可得点 R 的坐标为(-1,0).
∴ 点 R 的坐标为(3,8)或(-1,0).