21. (10 分)(2024·山东中考)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，点 $ P(2, -3) $ 在二次函数 $ y = ax^{2} + bx - 3(a ＞ 0) $ 的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线 $ x = m $。
(1)求 $ m $ 的值。
(2)若点 $ Q(m, -4) $ 在 $ y = ax^{2} + bx - 3 $ 的图象上，将该二次函数的图象向上平移 $ 5 $ 个单位长度，得到新的二次函数的图象。当 $ 0 ≤ x ≤ 4 $ 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和。
(3)设 $ y = ax^{2} + bx - 3 $ 的图象与 $ x $ 轴交点为 $ (x_{1}, 0) $，$ (x_{2}, 0)(x_{1} ＜ x_{2}) $。若 $ 4 ＜ x_{2} - x_{1} ＜ 6 $，求 $ a $ 的取值范围。

21. 解：(1)
∵点 P(2, -3) 在二次函数$ y = ax^{2} + bx - 3(a ＞ 0) $的图象上，
∴ 4a + 2b - 3 = -3，
解得 b = -2a.
∴抛物线为$ y = ax^{2} - 2ax - 3.$
∴抛物线的对称轴为直线$ x = -\frac{-2a}{2a} = 1.$
∴ m = 1.
(2)
∵点 Q(1, -4) 在$ y = ax^{2} - 2ax - 3 $的图象上，
∴ a - 2a - 3 = -4，
解得 a = 1.
∴抛物线为$ y = x^{2} - 2x - 3 = (x - 1)^{2} - 4.$
将该二次函数的图象向上平移 5 个单位长度，得到新的二次函数为$ y = (x - 1)^{2} - 4 + 5 = (x - 1)^{2} + 1.$
∵ 0 ≤ x ≤ 4，
∴当 x = 1 时，函数有最小值为 1；
当 x = 4 时，函数有最大值为$ (4 - 1)^{2} + 1 = 10.$
∴当 0 ≤ x ≤ 4 时，新的二次函数的最大值与最小值的和为 11.
(3)
∵$ y = ax^{2} - 2ax - 3 $的图象与 x 轴交点为$ (x_{1},0)$，$(x_{2},0)(x_{1} ＜ x_{2})$，
$\begin{aligned}&\therefore x_{1}+x_{2}=2,x_{1}· x_{2}=-\frac{3}{a},\\&\because x_{2}-x_{1}=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}},\\&\therefore x_{2}-x_{1}=\sqrt{4+\frac{12}{a}}=2\sqrt{1+\frac{3}{a}}.\\&\because 4＜ x_{2}-x_{1}＜6,\\&\therefore 4＜2\sqrt{1+\frac{3}{a}}＜6,\\&\mathrm{解得}\frac{3}{8}＜ a＜1.\end{aligned}$