20. (8 分)如图①(注：与图②完全相同)所示，抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + bx + c $ 经过 $ B $，$ D $ 两点，与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ A $，与 $ y $ 轴相交于点 $ C $。
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为 $ M $，求四边形 $ ABMC $ 的面积；(请在图①中探索)
(3)设点 $ Q $ 在 $ y $ 轴上，点 $ P $ 在抛物线上。要使以点 $ A $，$ B $，$ P $，$ Q $ 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 $ P $ 的坐标。(请在图②中探索)

20. 解：(1)把 $B(3,0)$ 和 $D(-2, -\frac{5}{2})$ 代入抛物线的解析式，得 $\begin{cases} -\frac{9}{2} + 3b + c = 0, \\ -2 - 2b + c = -\frac{5}{2}, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} b = 1, \\ c = \frac{3}{2}. \end{cases}$
∴抛物线的解析式为 $y = -\frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{3}{2}$.
(2)令 $x = 0$，得 $y = -\frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$，
∴ $C(0, \frac{3}{2})$.
令 $y = 0$，得 $-\frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{3}{2} = 0$，
解得 $x = -1$ 或 $x = 3$，
∴ $A(-1,0)$.
∵ $y = -\frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}(x - 1)^{2} + 2$，
∴ $M(1,2)$.
∴ $S_{四边形ABMC} = S_{△ AOC} + S_{△ COM} + S_{△ MOB}$
$ = \frac{1}{2}OA · OC + \frac{1}{2}OC · x_{M} + \frac{1}{2}OB · y_{M}$
$ = \frac{1}{2} × 1 × \frac{3}{2} + \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × 1 + \frac{1}{2} × 3 × 2 = \frac{9}{2}$.
　　　　　
(3)设 $Q(0,n)$，
①当 $AB$ 为平行四边形的边时，有 $AB // PQ$，$AB = PQ$.
当 $P$ 点在 $Q$ 点左边时，则 $P(-4,n)$，
把 $P(-4,n)$ 代入 $y = -\frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{3}{2}$，得 $n = -\frac{21}{2}$，
∴ $P(-4, -\frac{21}{2})$.
②当 $AB$ 为平行四边形的边时，有 $AB // PQ$，$AB = PQ$.
当 $P$ 点在 $Q$ 点右边时，则 $P(4,n)$，
把 $P(4,n)$ 代入 $y = -\frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{3}{2}$，得 $n = -\frac{5}{2}$，
∴ $P(4, -\frac{5}{2})$.
③当 $AB$ 为平行四边形的对角线时，如图②，$AB$ 与 $PQ$ 交于点 $E$，
　　　　　
则 $E(1,0)$.
∵ $PE = QE$，
∴ $P(2, -n)$，
把 $P(2, -n)$ 代入 $y = -\frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{3}{2}$，得 $-n = \frac{3}{2}$，
∴ $n = -\frac{3}{2}$.
∴ $P(2, \frac{3}{2})$.
综上，满足条件的 $P$ 点坐标为 $(-4, -\frac{21}{2})$ 或 $(4, -\frac{5}{2})$ 或 $(2, \frac{3}{2})$.