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基础知识·预习
问题1 已知两个三角形有两对角分别相等、一组边相等，这两个三角形全等吗？
问题2 叙述判定三角形全等的基本事实“角边角”，叙述推论“角角边”。
问题1 已知两个三角形有两对角分别相等、一组边相等，这两个三角形全等吗？
问题2 叙述判定三角形全等的基本事实“角边角”，叙述推论“角角边”。
答案
解：
问题1
这两个三角形不一定全等。
若相等的一组边是对应边，则两个三角形满足全等判定条件，二者全等；若相等的一组边不是对应边，则两个三角形不全等。
问题2
“角边角”基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
“角角边”推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
问题1
这两个三角形不一定全等。
若相等的一组边是对应边，则两个三角形满足全等判定条件，二者全等；若相等的一组边不是对应边，则两个三角形不全等。
问题2
“角边角”基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
“角角边”推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
解析
【分析】
解决问题1时，需结合三角形全等的判定要求思考：两对角相等的两个三角形形状相同，仅当相等的边是两个三角形的对应边时，才满足角边角（ASA）或角角边（AAS）的全等判定条件；若相等的边不是对应边，两个三角形大小不同，不全等。解决问题2时，要准确区分两个判定规则的核心差异：“角边角”的相等边是两个等角的夹边，“角角边”的相等边是其中一组等角的对边，按照规范表述作答即可。
【解析】
问题1
这两个三角形不一定全等。
若相等的一组边是对应边，则两个三角形满足全等判定条件，二者全等；若相等的一组边不是对应边，则两个三角形不全等。
问题2
“角边角”基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
“角角边”推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
【答案】
问题1：这两个三角形不一定全等。若相等的一组边是对应边，则两个三角形满足全等判定条件，二者全等；若相等的一组边不是对应边，则两个三角形不全等。
问题2：“角边角”基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。“角角边”推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
【知识点】
ASA判定定理、AAS判定定理、全等对应要素
【点评】
本题是三角形全等判定的基础概念题，主要考查对ASA、AAS判定规则的理解与记忆，需特别注意判定中“边为对应边”的前提要求，准确掌握定理表述即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解决问题1时，需结合三角形全等的判定要求思考：两对角相等的两个三角形形状相同，仅当相等的边是两个三角形的对应边时，才满足角边角（ASA）或角角边（AAS）的全等判定条件；若相等的边不是对应边，两个三角形大小不同，不全等。解决问题2时，要准确区分两个判定规则的核心差异：“角边角”的相等边是两个等角的夹边，“角角边”的相等边是其中一组等角的对边，按照规范表述作答即可。
【解析】
问题1
这两个三角形不一定全等。
若相等的一组边是对应边，则两个三角形满足全等判定条件，二者全等；若相等的一组边不是对应边，则两个三角形不全等。
问题2
“角边角”基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
“角角边”推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
【答案】
问题1：这两个三角形不一定全等。若相等的一组边是对应边，则两个三角形满足全等判定条件，二者全等；若相等的一组边不是对应边，则两个三角形不全等。
问题2：“角边角”基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。“角角边”推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
【知识点】
ASA判定定理、AAS判定定理、全等对应要素
【点评】
本题是三角形全等判定的基础概念题，主要考查对ASA、AAS判定规则的理解与记忆，需特别注意判定中“边为对应边”的前提要求，准确掌握定理表述即可快速作答。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】如图,点A,D,C在同一条直线上,AB//CE,AC=CE,∠ACB=∠E.求证:AB=CD.
思路导引 如果能证明△ABC≌△CDE,就能得到AB=CD.由平行线的性质能得到∠A=∠ECD,从而△ABC与△CDE具备“角边角”的条件.
【证明】因为AB//CE,
所以∠A=∠ECD.
在△ABC与△CDE中,
$\{\begin{array}{l}∠A=∠ECD, \\AC=CE, \\∠ACB=∠E,\end{array} $
所以△ABC≌△CDE(ASA),
所以AB=CD.
思路导引 如果能证明△ABC≌△CDE,就能得到AB=CD.由平行线的性质能得到∠A=∠ECD,从而△ABC与△CDE具备“角边角”的条件.
【证明】因为AB//CE,
所以∠A=∠ECD.
在△ABC与△CDE中,
$\{\begin{array}{l}∠A=∠ECD, \\AC=CE, \\∠ACB=∠E,\end{array} $
所以△ABC≌△CDE(ASA),
所以AB=CD.
答案
证明：
∵ AB//CE，
∴ ∠A = ∠ECD。
在△ABC与△CDE中，
$\begin{cases}∠A = ∠ECD, \\AC = CE, \\∠ACB = ∠E,\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △CDE(ASA)，
∴ AB = CD。
∵ AB//CE，
∴ ∠A = ∠ECD。
在△ABC与△CDE中，
$\begin{cases}∠A = ∠ECD, \\AC = CE, \\∠ACB = ∠E,\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △CDE(ASA)，
∴ AB = CD。
解析
【分析】
要证明AB=CD，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现，即证△ABC≌△CDE。首先根据平行线的性质，由AB//CE可推出内错角∠A=∠ECD；结合题目给出的AC=CE、∠ACB=∠E，刚好满足“角边角（ASA）”的三角形全等判定条件，即可证明△ABC与△CDE全等，最后根据全等三角形对应边相等的性质即可得到AB=CD。
【解析】
证明：
∵ AB//CE，
∴ ∠A = ∠ECD。
在△ABC与△CDE中，
$\begin{cases}∠A = ∠ECD, \\AC = CE, \\∠ACB = ∠E,\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △CDE（ASA），
∴ AB = CD。
【答案】
证明：
∵ AB//CE，
∴ ∠A = ∠ECD。
在△ABC与△CDE中，
$\begin{cases}∠A = ∠ECD, \\AC = CE, \\∠ACB = ∠E,\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △CDE(ASA)，
∴ AB = CD。
【知识点】
平行线的性质、ASA判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，核心考查利用全等三角形证明线段相等的思路，解题的关键是准确找到两个三角形全等的对应条件，需熟练掌握平行线的性质和全等三角形的判定、性质。
【难度系数】
0.8
要证明AB=CD，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现，即证△ABC≌△CDE。首先根据平行线的性质，由AB//CE可推出内错角∠A=∠ECD；结合题目给出的AC=CE、∠ACB=∠E，刚好满足“角边角（ASA）”的三角形全等判定条件，即可证明△ABC与△CDE全等，最后根据全等三角形对应边相等的性质即可得到AB=CD。
【解析】
证明：
∵ AB//CE，
∴ ∠A = ∠ECD。
在△ABC与△CDE中，
$\begin{cases}∠A = ∠ECD, \\AC = CE, \\∠ACB = ∠E,\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △CDE（ASA），
∴ AB = CD。
【答案】
证明：
∵ AB//CE，
∴ ∠A = ∠ECD。
在△ABC与△CDE中，
$\begin{cases}∠A = ∠ECD, \\AC = CE, \\∠ACB = ∠E,\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △CDE(ASA)，
∴ AB = CD。
【知识点】
平行线的性质、ASA判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，核心考查利用全等三角形证明线段相等的思路，解题的关键是准确找到两个三角形全等的对应条件，需熟练掌握平行线的性质和全等三角形的判定、性质。
【难度系数】
0.8
1. 如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F.若AD=BD=4，且△ACD的面积为6，则AF的长度为 （
A.4
B.3
C.2
D.1
D
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
1.D 【解析】因为AD,BE是△ABC的高线,所以∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°,所以∠FBD + ∠C=∠CAD+∠C=90°,所以∠FBD=∠CAD.
在△ACD 和△BFD 中,$\begin{cases}∠CAD=∠FBD, \\AD=BD, \\∠ADC=∠BDF,\end{cases}$
所以△ACD≌△BFD(ASA),所以DC=DF.
因为$S_{△ACD}=\frac{1}{2}CD · AD=\frac{1}{2}CD×4=6$,所以CD=DF=3,所以AF=AD-DF=4-3=1. 故选 D.
在△ACD 和△BFD 中,$\begin{cases}∠CAD=∠FBD, \\AD=BD, \\∠ADC=∠BDF,\end{cases}$
所以△ACD≌△BFD(ASA),所以DC=DF.
因为$S_{△ACD}=\frac{1}{2}CD · AD=\frac{1}{2}CD×4=6$,所以CD=DF=3,所以AF=AD-DF=4-3=1. 故选 D.
解析
【分析】
解题时先从已知的高线入手，根据高线定义可得多个直角，再利用“同角的余角相等”推出∠FBD=∠CAD，结合已知AD=BD的条件，可通过ASA证明△ACD和△BFD全等，得到DF=CD；接下来利用△ACD的面积公式算出CD的长度，即可得到DF的长度，最后用AD的长度减去DF的长度就能求出AF的长度。
【解析】
∵AD、BE是△ABC的高线，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠FBD + ∠C = 90°，∠CAD + ∠C = 90°，
∴∠FBD=∠CAD（同角的余角相等）。
在△ACD和△BFD中：
$\begin{cases}∠CAD=∠FBD \\AD=BD \\∠ADC=∠BDF=90°\end{cases}$
∴△ACD≌△BFD（ASA），
∴DC=DF。
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · CD · AD = \frac{1}{2} × CD × 4 = 6$，
解得CD=3，
∴DF=CD=3，
∴AF=AD - DF = 4 - 3 = 1。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形高线的性质，ASA判定三角形全等，三角形面积计算
【点评】
本题属于全等三角形与三角形性质的综合应用题，解题的突破口是利用同角的余角相等得到对应角相等，进而证明三角形全等，实现线段的等量转换，既考查了基础定理的应用，也锻炼了学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的高线入手，根据高线定义可得多个直角，再利用“同角的余角相等”推出∠FBD=∠CAD，结合已知AD=BD的条件，可通过ASA证明△ACD和△BFD全等，得到DF=CD；接下来利用△ACD的面积公式算出CD的长度，即可得到DF的长度，最后用AD的长度减去DF的长度就能求出AF的长度。
【解析】
∵AD、BE是△ABC的高线，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠FBD + ∠C = 90°，∠CAD + ∠C = 90°，
∴∠FBD=∠CAD（同角的余角相等）。
在△ACD和△BFD中：
$\begin{cases}∠CAD=∠FBD \\AD=BD \\∠ADC=∠BDF=90°\end{cases}$
∴△ACD≌△BFD（ASA），
∴DC=DF。
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · CD · AD = \frac{1}{2} × CD × 4 = 6$，
解得CD=3，
∴DF=CD=3，
∴AF=AD - DF = 4 - 3 = 1。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形高线的性质，ASA判定三角形全等，三角形面积计算
【点评】
本题属于全等三角形与三角形性质的综合应用题，解题的突破口是利用同角的余角相等得到对应角相等，进而证明三角形全等，实现线段的等量转换，既考查了基础定理的应用，也锻炼了学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
