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1.如图，点$B,F,C,E$在同一直线上，$AB=DE$，$∠ B = ∠ E$，要运用“SAS”判定$△ ABC ≌ △ DEF$，还需补充一个条件，可以是（
A.$BF=EC$
B.$AC=FE$
C.$AC=DF$
D.$∠ A = ∠ D$
A
）A.$BF=EC$
B.$AC=FE$
C.$AC=DF$
D.$∠ A = ∠ D$
答案
1.A
解析
【分析】
要运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，首先明确SAS的判定要求：两个三角形有两组对应边相等，且这两组边的夹角也相等，即可判定全等。题目中已经给出AB=DE，∠B=∠E，其中∠B是AB与BC的夹角，∠E是DE与EF的夹角，因此缺少的条件是BC=EF，接下来逐一分析选项，判断哪个选项能推导出BC=EF即可。
【解析】
首先明确“SAS”判定三角形全等的条件：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
已知AB=DE，∠B=∠E，需补充夹∠B、∠E的另一组对应边相等，即BC=EF。
对各选项分析如下：
A. 若BF=EC，根据线段和的性质，BF+FC=EC+FC，可得BC=EF。此时在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}AB=DE\\∠B=∠E\\BC=EF\end{array} $
满足“SAS”判定条件，可证△ABC≌△DEF，符合要求。
B. AC=FE，AC不是∠B的夹边，FE不是∠E的夹边，不满足“SAS”的边对应要求，无法用SAS判定全等。
C. AC=DF，此时已知条件为AB=DE、∠B=∠E、AC=DF，属于“SSA”组合，不能判定三角形全等。
D. ∠A=∠D，此时已知条件为∠A=∠D、AB=DE、∠B=∠E，属于“ASA”判定，不符合题目要求的“SAS”判定。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
SAS判定三角形全等；线段和差计算；全等判定条件辨析
【点评】
本题重点考查对三角形全等“SAS”判定定理的理解，需注意定理中“夹角”的要求，不能混淆不同的全等判定条件，同时要熟练掌握线段和差的推导方法。
【难度系数】
0.8
要运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，首先明确SAS的判定要求：两个三角形有两组对应边相等，且这两组边的夹角也相等，即可判定全等。题目中已经给出AB=DE，∠B=∠E，其中∠B是AB与BC的夹角，∠E是DE与EF的夹角，因此缺少的条件是BC=EF，接下来逐一分析选项，判断哪个选项能推导出BC=EF即可。
【解析】
首先明确“SAS”判定三角形全等的条件：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
已知AB=DE，∠B=∠E，需补充夹∠B、∠E的另一组对应边相等，即BC=EF。
对各选项分析如下：
A. 若BF=EC，根据线段和的性质，BF+FC=EC+FC，可得BC=EF。此时在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}AB=DE\\∠B=∠E\\BC=EF\end{array} $
满足“SAS”判定条件，可证△ABC≌△DEF，符合要求。
B. AC=FE，AC不是∠B的夹边，FE不是∠E的夹边，不满足“SAS”的边对应要求，无法用SAS判定全等。
C. AC=DF，此时已知条件为AB=DE、∠B=∠E、AC=DF，属于“SSA”组合，不能判定三角形全等。
D. ∠A=∠D，此时已知条件为∠A=∠D、AB=DE、∠B=∠E，属于“ASA”判定，不符合题目要求的“SAS”判定。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
SAS判定三角形全等；线段和差计算；全等判定条件辨析
【点评】
本题重点考查对三角形全等“SAS”判定定理的理解，需注意定理中“夹角”的要求，不能混淆不同的全等判定条件，同时要熟练掌握线段和差的推导方法。
【难度系数】
0.8
2. 如图,将两根钢条$AA'$,$BB'$的中点$O$连接在一起,使$AA'$,$BB'$可以绕着点$O$自由转动,就做成了一个测量工具,则$A'B'$的长等于内槽宽$AB$,那么判定$△ OAB ≌ △ OA'B'$的基本事实简写为“
(第2题图) (第3题图)
SAS(或边角边)
”.(第2题图) (第3题图)
答案
2.SAS(或边角边)
解析
【分析】
解题时先从题目给出的中点条件入手，根据中点定义可得到两组对应边相等，再观察两个三角形的夹角，可知二者为对顶角，对顶角相等，刚好满足“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”的判定条件，即可确定对应的判定基本事实。
【解析】
已知O是$AA'$和$BB'$的中点，根据中点的定义可得：
$OA=OA'$，$OB=OB'$
又因为$∠AOB$和$∠A'OB'$是对顶角，根据对顶角的性质可得：
$∠ AOB=∠ A'OB'$
在$△ OAB$和$△ OA'B'$中：
$\begin{cases}OA=OA' \\∠ AOB=∠ A'OB' \\OB=OB'\end{cases}$
因此$△ OAB ≌ △ OA'B'$的判定依据是两边及其夹角对应相等，简写为SAS（边角边）。
【答案】
SAS(或边角边)
【知识点】
中点的定义，对顶角的性质，SAS判定全等
【点评】
本题结合实际测量工具的情境考查三角形全等的判定，解题的核心是从已知条件中梳理出对应相等的边和角，熟记全等三角形的各个判定定理就能快速作答，题目注重基础和知识的实际应用。
【难度系数】
0.9
解题时先从题目给出的中点条件入手，根据中点定义可得到两组对应边相等，再观察两个三角形的夹角，可知二者为对顶角，对顶角相等，刚好满足“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”的判定条件，即可确定对应的判定基本事实。
【解析】
已知O是$AA'$和$BB'$的中点，根据中点的定义可得：
$OA=OA'$，$OB=OB'$
又因为$∠AOB$和$∠A'OB'$是对顶角，根据对顶角的性质可得：
$∠ AOB=∠ A'OB'$
在$△ OAB$和$△ OA'B'$中：
$\begin{cases}OA=OA' \\∠ AOB=∠ A'OB' \\OB=OB'\end{cases}$
因此$△ OAB ≌ △ OA'B'$的判定依据是两边及其夹角对应相等，简写为SAS（边角边）。
【答案】
SAS(或边角边)
【知识点】
中点的定义，对顶角的性质，SAS判定全等
【点评】
本题结合实际测量工具的情境考查三角形全等的判定，解题的核心是从已知条件中梳理出对应相等的边和角，熟记全等三角形的各个判定定理就能快速作答，题目注重基础和知识的实际应用。
【难度系数】
0.9
3.如图，一块三角形玻璃破裂成Ⅰ，Ⅱ两块，现需要配同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上碎片
Ⅱ
（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）。答案
3.Ⅱ
解析
【分析】
要配出和原三角形完全相同的玻璃，本质是构造与原三角形全等的三角形，需要判断哪块碎片包含满足三角形全等判定的边角条件。首先观察两块碎片的特征：碎片Ⅰ仅保留了原三角形的一个顶角和两段不完整的边，没有足够的边角信息确定原三角形的形状和大小；碎片Ⅱ保留了原三角形的一条完整的底边，以及底边两端对应的原三角形的完整内角，还保留了两条侧边的方向信息，满足三角形全等的判定条件，可据此还原原三角形，因此只需携带碎片Ⅱ即可。
【解析】
解：配同样大小的三角形玻璃，等价于构造与原三角形全等的三角形，结合三角形全等的判定条件分析两块碎片：
1. 碎片Ⅰ仅保留原三角形的1个顶角和两段不完整的边，不满足任何三角形全等的判定要求，无法还原原三角形的形状和大小；
2. 碎片Ⅱ保留了原三角形的一条完整底边，以及该底边两端的两个完整内角，根据三角形全等的判定条件，可通过该碎片还原出和原三角形完全一致的三角形。
因此只需带上碎片Ⅱ。
【答案】
Ⅱ
【知识点】
三角形全等的判定，全等三角形的实际应用
【点评】
本题是三角形全等判定在生活中的典型应用，解题核心是结合全等判定条件判断碎片保留的原三角形边角信息是否足够还原原三角形，这类题目能很好地锻炼学生将数学知识结合实际场景运用的能力。
【难度系数】
0.9
要配出和原三角形完全相同的玻璃，本质是构造与原三角形全等的三角形，需要判断哪块碎片包含满足三角形全等判定的边角条件。首先观察两块碎片的特征：碎片Ⅰ仅保留了原三角形的一个顶角和两段不完整的边，没有足够的边角信息确定原三角形的形状和大小；碎片Ⅱ保留了原三角形的一条完整的底边，以及底边两端对应的原三角形的完整内角，还保留了两条侧边的方向信息，满足三角形全等的判定条件，可据此还原原三角形，因此只需携带碎片Ⅱ即可。
【解析】
解：配同样大小的三角形玻璃，等价于构造与原三角形全等的三角形，结合三角形全等的判定条件分析两块碎片：
1. 碎片Ⅰ仅保留原三角形的1个顶角和两段不完整的边，不满足任何三角形全等的判定要求，无法还原原三角形的形状和大小；
2. 碎片Ⅱ保留了原三角形的一条完整底边，以及该底边两端的两个完整内角，根据三角形全等的判定条件，可通过该碎片还原出和原三角形完全一致的三角形。
因此只需带上碎片Ⅱ。
【答案】
Ⅱ
【知识点】
三角形全等的判定，全等三角形的实际应用
【点评】
本题是三角形全等判定在生活中的典型应用，解题核心是结合全等判定条件判断碎片保留的原三角形边角信息是否足够还原原三角形，这类题目能很好地锻炼学生将数学知识结合实际场景运用的能力。
【难度系数】
0.9
4. 在$△ ABC$中，$AB = 5$，$AC = 3$，$AD$是$△ ABC$的中线，设$AD$长为$m$，则$m$的取值范围是
$1＜m＜4$
。答案
4.$1＜m＜4$ 【解析】如图,延长$AD$至点$E$,使$DE=AD$,连接$EC$,则$AE=2m$.
在$△ ABD$和$△ ECD$中,$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ ADB=∠ EDC, \\ AD=ED, \end{cases}$
所以$△ ABD≌△ ECD(\mathrm{SAS})$,所以$CE=AB=5$.
在$△ ACE$中,由三角形三边关系,得$5-3＜2m＜5+3$,解得$1＜m＜4$.
解析
【分析】
已知AD是△ABC的中线，要求中线AD的取值范围，可采用倍长中线的常用辅助线方法：延长AD构造全等三角形，将AB、AC和两倍AD转移到同一个三角形中，再利用三角形三边关系列不等式求解。
【解析】
延长$AD$至点$E$，使$DE=AD$，连接$EC$，则$AE=2m$。
在$△ ABD$和$△ ECD$中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ ADB=∠ EDC, \\ AD=ED, \end{cases}$
所以$△ ABD≌△ ECD(\mathrm{SAS})$，因此$CE=AB=5$。
在$△ ACE$中，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得$CE-AC＜AE＜CE+AC$，代入数值得$5-3＜2m＜5+3$，解得$1＜m＜4$。
【答案】
$1＜m＜4$
【知识点】
倍长中线辅助线、SAS证全等、三角形三边关系
【点评】
本题是三角形全等与三边关系的综合应用题，倍长中线是解决中线相关线段取值范围问题的典型辅助线技巧，掌握该方法后就能快速解决这类题型。
【难度系数】
0.7
已知AD是△ABC的中线，要求中线AD的取值范围，可采用倍长中线的常用辅助线方法：延长AD构造全等三角形，将AB、AC和两倍AD转移到同一个三角形中，再利用三角形三边关系列不等式求解。
【解析】
延长$AD$至点$E$，使$DE=AD$，连接$EC$，则$AE=2m$。
在$△ ABD$和$△ ECD$中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ ADB=∠ EDC, \\ AD=ED, \end{cases}$
所以$△ ABD≌△ ECD(\mathrm{SAS})$，因此$CE=AB=5$。
在$△ ACE$中，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得$CE-AC＜AE＜CE+AC$，代入数值得$5-3＜2m＜5+3$，解得$1＜m＜4$。
【答案】
$1＜m＜4$
【知识点】
倍长中线辅助线、SAS证全等、三角形三边关系
【点评】
本题是三角形全等与三边关系的综合应用题，倍长中线是解决中线相关线段取值范围问题的典型辅助线技巧，掌握该方法后就能快速解决这类题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=50°,∠ C=20°$.过点A作$AE⊥ BC$,垂足为E,延长EA至点D,使$AD=$
AC.在边AC上截取$AF=AB$,连接DF.求证:$DF=CB$.
AC.在边AC上截取$AF=AB$,连接DF.求证:$DF=CB$.答案
5.【证明】在$△ ABC$中,$∠ B=50°$,$∠ C=20°$,所以$∠ CAB=180°-∠ B-∠ C=110°$.因为$AE⊥ BC$,所以$∠ AEC=90°$,所以$∠ DAF=∠ AEC+∠ C=110°$,所以$∠ DAF=∠ CAB$.
在$△ DAF$和$△ CAB$中,$\begin{cases} AD=AC, \\ ∠ DAF=∠ CAB, \\ AF=AB, \end{cases}$
所以$△ DAF≌△ CAB(\mathrm{SAS})$,所以$DF=CB$.
在$△ DAF$和$△ CAB$中,$\begin{cases} AD=AC, \\ ∠ DAF=∠ CAB, \\ AF=AB, \end{cases}$
所以$△ DAF≌△ CAB(\mathrm{SAS})$,所以$DF=CB$.
解析
【分析】
要证明DF=CB，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知DF属于$△ DAF$，CB属于$△ CAB$，已知条件给出AD=AC、AF=AB，缺少两组对应边的夹角相等的条件。因此先利用三角形内角和计算$△ ABC$中$∠ CAB$的度数，再结合AE⊥BC的条件推导$∠ DAF$的度数，证明两个夹角相等后，即可用“SAS”判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=20°$，
所以$∠ CAB=180°-∠ B-∠ C=110°$。
因为$AE⊥ BC$，所以$∠ AEC=90°$，
所以$∠ DAF=∠ AEC+∠ C=110°$，即$∠ DAF=∠ CAB$。
在$△ DAF$和$△ CAB$中：
$\begin{cases}AD=AC, \\∠ DAF=∠ CAB, \\AF=AB,\end{cases}$
所以$△ DAF≌△ CAB(\mathrm{SAS})$，所以$DF=CB$。
【答案】
$DF=CB$，证明过程如上。
【知识点】
三角形内角和定理，SAS判定三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是利用全等三角形证明线段相等的基础题型，解题核心是将线段相等的证明转化为三角形全等的证明，需要学生结合已知条件推导全等所需的夹角相等条件，能帮助学生巩固“SAS”判定定理的应用。
【难度系数】
0.8
要证明DF=CB，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知DF属于$△ DAF$，CB属于$△ CAB$，已知条件给出AD=AC、AF=AB，缺少两组对应边的夹角相等的条件。因此先利用三角形内角和计算$△ ABC$中$∠ CAB$的度数，再结合AE⊥BC的条件推导$∠ DAF$的度数，证明两个夹角相等后，即可用“SAS”判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=20°$，
所以$∠ CAB=180°-∠ B-∠ C=110°$。
因为$AE⊥ BC$，所以$∠ AEC=90°$，
所以$∠ DAF=∠ AEC+∠ C=110°$，即$∠ DAF=∠ CAB$。
在$△ DAF$和$△ CAB$中：
$\begin{cases}AD=AC, \\∠ DAF=∠ CAB, \\AF=AB,\end{cases}$
所以$△ DAF≌△ CAB(\mathrm{SAS})$，所以$DF=CB$。
【答案】
$DF=CB$，证明过程如上。
【知识点】
三角形内角和定理，SAS判定三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是利用全等三角形证明线段相等的基础题型，解题核心是将线段相等的证明转化为三角形全等的证明，需要学生结合已知条件推导全等所需的夹角相等条件，能帮助学生巩固“SAS”判定定理的应用。
【难度系数】
0.8
6.两个大小不同的等腰直角三角尺如图1所示，图2是由它们抽象出的几何图形，其中B，C，E在同一条直线上，连接DC.
(1)请找出图2中的全等三角形，并说明理由；
(2)求证：$DC⊥BE$.
(1)请找出图2中的全等三角形，并说明理由；
(2)求证：$DC⊥BE$.
答案
6.(1)【解】题图2中$△ ABE≌△ ACD$.理由如下:
因为$△ ABC$与$△ AED$均为等腰直角三角形,
所以$AB=AC$,$AE=AD$,$∠ BAC=∠ EAD=90°$,所以$∠ BAC+∠ CAE=∠ EAD+∠ CAE$,
即$∠ BAE=∠ CAD$.
在$△ ABE$和$△ ACD$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAE=∠ CAD, \\ AE=AD, \end{cases}$
所以$△ ABE≌△ ACD(\mathrm{SAS})$.
(2)【证明】由(1)知$△ ABE≌△ ACD$,得$∠ ABE=∠ ACD=45°$.因为$∠ ACB=45°$,所以$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=90°$,所以$DC⊥ BE$.
因为$△ ABC$与$△ AED$均为等腰直角三角形,
所以$AB=AC$,$AE=AD$,$∠ BAC=∠ EAD=90°$,所以$∠ BAC+∠ CAE=∠ EAD+∠ CAE$,
即$∠ BAE=∠ CAD$.
在$△ ABE$和$△ ACD$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAE=∠ CAD, \\ AE=AD, \end{cases}$
所以$△ ABE≌△ ACD(\mathrm{SAS})$.
(2)【证明】由(1)知$△ ABE≌△ ACD$,得$∠ ABE=∠ ACD=45°$.因为$∠ ACB=45°$,所以$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=90°$,所以$DC⊥ BE$.
解析
【分析】
(1) 要找全等三角形，先结合已知的两个等腰直角三角形的性质，可得到两组相等的边：$AB=AC$、$AE=AD$，以及两个相等的直角$∠ BAC=∠ EAD=90°$。两个直角同时加上公共角$∠ CAE$，就能得到相等的夹角$∠ BAE=∠ CAD$，满足SAS全等判定的条件，即可确定全等三角形。
(2) 要证明$DC⊥BE$，即要证明$DC$和$BE$的夹角为$90°$。利用第一问全等三角形的结论，可得对应角$∠ ACD=∠ ABE=45°$，结合$△ ABC$中$∠ ACB=45°$，两个角度相加即可得到$∠ BCD=90°$，从而证明垂直。
【解析】
(1) 图2中$△ ABE≌△ ACD$，理由如下：
因为$△ ABC$与$△ AED$均为等腰直角三角形，
所以$AB=AC$，$AE=AD$，$∠ BAC=∠ EAD=90°$，
所以$∠ BAC+∠ CAE=∠ EAD+∠ CAE$，即$∠ BAE=∠ CAD$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠ BAE=∠ CAD \\ AE=AD \end{cases}$
所以$△ ABE≌△ ACD(\mathrm{SAS})$。
(2) 证明：由(1)中$△ ABE≌△ ACD$，可得$∠ ABE=∠ ACD=45°$。
因为$∠ ACB=45°$，
所以$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=45°+45°=90°$，
所以$DC⊥BE$。
【答案】
(1) $△ ABE≌△ ACD$；(2) $DC⊥BE$，证明成立。
【知识点】
等腰直角三角形的性质，SAS判定三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，结合了等腰直角三角形和全等三角形的相关知识，解题核心是先从已知条件中提取边、角的等量关系判定全等，再利用全等的性质推导角的关系，逻辑链条清晰，能够有效考查几何推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要找全等三角形，先结合已知的两个等腰直角三角形的性质，可得到两组相等的边：$AB=AC$、$AE=AD$，以及两个相等的直角$∠ BAC=∠ EAD=90°$。两个直角同时加上公共角$∠ CAE$，就能得到相等的夹角$∠ BAE=∠ CAD$，满足SAS全等判定的条件，即可确定全等三角形。
(2) 要证明$DC⊥BE$，即要证明$DC$和$BE$的夹角为$90°$。利用第一问全等三角形的结论，可得对应角$∠ ACD=∠ ABE=45°$，结合$△ ABC$中$∠ ACB=45°$，两个角度相加即可得到$∠ BCD=90°$，从而证明垂直。
【解析】
(1) 图2中$△ ABE≌△ ACD$，理由如下：
因为$△ ABC$与$△ AED$均为等腰直角三角形，
所以$AB=AC$，$AE=AD$，$∠ BAC=∠ EAD=90°$，
所以$∠ BAC+∠ CAE=∠ EAD+∠ CAE$，即$∠ BAE=∠ CAD$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠ BAE=∠ CAD \\ AE=AD \end{cases}$
所以$△ ABE≌△ ACD(\mathrm{SAS})$。
(2) 证明：由(1)中$△ ABE≌△ ACD$，可得$∠ ABE=∠ ACD=45°$。
因为$∠ ACB=45°$，
所以$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=45°+45°=90°$，
所以$DC⊥BE$。
【答案】
(1) $△ ABE≌△ ACD$；(2) $DC⊥BE$，证明成立。
【知识点】
等腰直角三角形的性质，SAS判定三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，结合了等腰直角三角形和全等三角形的相关知识，解题核心是先从已知条件中提取边、角的等量关系判定全等，再利用全等的性质推导角的关系，逻辑链条清晰，能够有效考查几何推理能力。
【难度系数】
0.7
