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6. 一个圆柱的侧面展开图如图所示，则圆柱的底面半径为。
答案
解：
由圆柱侧面展开图的性质可知，该圆柱的底面周长为$6π$。
设圆柱的底面半径为$r$，根据圆的周长公式$C=2π r$，得
$2π r = 6π$
解得$r=3$。
故答案为：$\boldsymbol{3}$。
由圆柱侧面展开图的性质可知，该圆柱的底面周长为$6π$。
设圆柱的底面半径为$r$，根据圆的周长公式$C=2π r$，得
$2π r = 6π$
解得$r=3$。
故答案为：$\boldsymbol{3}$。
解析
【分析】
解题首先要明确圆柱侧面展开图的对应关系：圆柱侧面展开得到的长方形的长对应圆柱底面的周长，宽对应圆柱的高。本题已知展开图的长为6π，即已知圆柱底面周长，接下来结合圆的周长公式，就能求出底面半径。
【解析】
根据圆柱侧面展开图的性质，可知该圆柱的底面周长等于展开图长方形的长，即底面周长$C=6π$。
设圆柱的底面半径为$r$，根据圆的周长公式$C=2π r$，代入已知条件可得：
$2π r=6π$
等式两边同时除以$2π$，解得$r=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
圆柱展开图特征；圆的周长计算
【点评】
本题是立体图形和平面图形转化的基础典型题，核心是掌握圆柱侧面展开图各边和圆柱本身的对应关系，结合圆的周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确圆柱侧面展开图的对应关系：圆柱侧面展开得到的长方形的长对应圆柱底面的周长，宽对应圆柱的高。本题已知展开图的长为6π，即已知圆柱底面周长，接下来结合圆的周长公式，就能求出底面半径。
【解析】
根据圆柱侧面展开图的性质，可知该圆柱的底面周长等于展开图长方形的长，即底面周长$C=6π$。
设圆柱的底面半径为$r$，根据圆的周长公式$C=2π r$，代入已知条件可得：
$2π r=6π$
等式两边同时除以$2π$，解得$r=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
圆柱展开图特征；圆的周长计算
【点评】
本题是立体图形和平面图形转化的基础典型题，核心是掌握圆柱侧面展开图各边和圆柱本身的对应关系，结合圆的周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
7. 下列几何体的展开图中没有长方形的是 ()
A.正方体
B.圆柱
C.圆锥
D.棱柱
A.正方体
B.圆柱
C.圆锥
D.棱柱
答案
C
解析
【分析】
解题时可逐一分析各选项对应几何体的展开图组成，判断是否包含长方形，最终筛选出正确答案。首先回忆常见立体图形的展开图特征，明确正方形属于特殊的长方形，再依次核对每个几何体展开后包含的平面图形，排除存在长方形的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正方体的展开图由6个正方形构成，正方形是特殊的长方形，因此展开图包含长方形，不符合题意；
B. 圆柱的展开图包含2个圆形（上下底面）和1个长方形（侧面展开图），存在长方形，不符合题意；
C. 圆锥的展开图包含1个圆形（底面）和1个扇形（侧面展开图），没有长方形，符合题意；
D. 棱柱的侧面展开后均为长方形，上下底面为多边形，因此展开图包含长方形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
立体图形展开图；常见几何体特征；平面图形分类
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对常见立体图形展开图的掌握情况，牢记各类几何体展开图的构成即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时可逐一分析各选项对应几何体的展开图组成，判断是否包含长方形，最终筛选出正确答案。首先回忆常见立体图形的展开图特征，明确正方形属于特殊的长方形，再依次核对每个几何体展开后包含的平面图形，排除存在长方形的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正方体的展开图由6个正方形构成，正方形是特殊的长方形，因此展开图包含长方形，不符合题意；
B. 圆柱的展开图包含2个圆形（上下底面）和1个长方形（侧面展开图），存在长方形，不符合题意；
C. 圆锥的展开图包含1个圆形（底面）和1个扇形（侧面展开图），没有长方形，符合题意；
D. 棱柱的侧面展开后均为长方形，上下底面为多边形，因此展开图包含长方形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
立体图形展开图；常见几何体特征；平面图形分类
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对常见立体图形展开图的掌握情况，牢记各类几何体展开图的构成即可快速作答。
【难度系数】
0.9
8. 把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后,形成的平面展开图如图②所示。若剪开的三条棱中有两条是AB,AC,则剪开的另一条棱是(写出所有正确的答案)。
答案
BD、CD
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确正三棱锥的结构特征：正三棱锥共有4个正三角形面、6条棱，顶点A连接AB、AC、AD三条侧棱，底面是B、C、D构成的正三角形，对应棱为BC、BD、CD。再思考立体图形展开的规律：展开过程中剪开的棱，是展开后不再作为相邻两个面公共边的棱。已知剪开的两条棱是AB、AC，结合图②的展开图结构验证剩余棱即可：若剪开AD或BC，都无法得到图②中四个正三角形依次排列的结构，只有剪开BD或CD时，展开后刚好符合图②的形状。
【解析】
正三棱锥A-BCD的6条棱分别为AB、AC、AD、BC、BD、CD，将其剪开展为平面图形共需要剪开3条棱，已知其中两条为AB、AC。
观察展开图②的结构：
1. 若第三条剪开的棱为BD，沿AB、AC、BD剪开后，可将正三棱锥展开得到图②的形状；
2. 若第三条剪开的棱为CD，沿AB、AC、CD剪开后，同样可将正三棱锥展开得到图②的形状。
其余棱（AD、BC）作为剪开棱时，均无法得到题目给出的展开图。
【答案】
BD、CD
【知识点】
正三棱锥的特征；立体图形的展开与折叠
【点评】
本题重点考查空间想象能力，需要结合立体图形的结构特征，分析展开前后棱的对应关系，解题时也可通过动手折叠的方式辅助验证，是对立体图形和平面图形转化能力的基础考查。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确正三棱锥的结构特征：正三棱锥共有4个正三角形面、6条棱，顶点A连接AB、AC、AD三条侧棱，底面是B、C、D构成的正三角形，对应棱为BC、BD、CD。再思考立体图形展开的规律：展开过程中剪开的棱，是展开后不再作为相邻两个面公共边的棱。已知剪开的两条棱是AB、AC，结合图②的展开图结构验证剩余棱即可：若剪开AD或BC，都无法得到图②中四个正三角形依次排列的结构，只有剪开BD或CD时，展开后刚好符合图②的形状。
【解析】
正三棱锥A-BCD的6条棱分别为AB、AC、AD、BC、BD、CD，将其剪开展为平面图形共需要剪开3条棱，已知其中两条为AB、AC。
观察展开图②的结构：
1. 若第三条剪开的棱为BD，沿AB、AC、BD剪开后，可将正三棱锥展开得到图②的形状；
2. 若第三条剪开的棱为CD，沿AB、AC、CD剪开后，同样可将正三棱锥展开得到图②的形状。
其余棱（AD、BC）作为剪开棱时，均无法得到题目给出的展开图。
【答案】
BD、CD
【知识点】
正三棱锥的特征；立体图形的展开与折叠
【点评】
本题重点考查空间想象能力，需要结合立体图形的结构特征，分析展开前后棱的对应关系，解题时也可通过动手折叠的方式辅助验证，是对立体图形和平面图形转化能力的基础考查。
【难度系数】
0.6
9. 某长方体纸盒的表面展开图如图所示,根据图中数据可得该长方体纸盒的体积为 cm³。
答案
解：设长方体的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，高为$z\ \mathrm{cm}$。
根据展开图的数据可得：
$\begin{cases}x + 2y = 8 \\x + y = 6 \\x + 2z = 10\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$y=2$，
将$y=2$代入$x+y=6$，得$x=4$，
将$x=4$代入$x+2z=10$，得$z=3$。
因此长方体纸盒的体积为$x· y· z = 4× 2× 3 = 24\ \mathrm{cm^3}$。
$\boldsymbol{24}$
根据展开图的数据可得：
$\begin{cases}x + 2y = 8 \\x + y = 6 \\x + 2z = 10\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$y=2$，
将$y=2$代入$x+y=6$，得$x=4$，
将$x=4$代入$x+2z=10$，得$z=3$。
因此长方体纸盒的体积为$x· y· z = 4× 2× 3 = 24\ \mathrm{cm^3}$。
$\boldsymbol{24}$
解析
【分析】
要计算长方体纸盒的体积，需先求出长方体的长、宽、高。我们可以先设长方体的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，高为$z\ \mathrm{cm}$，再观察展开图的边长关系：标注8cm的边对应“长+2个宽”的长度和，标注6cm的边对应“长+1个宽”的长度和，标注10cm的边对应“长+2个高”的长度和，据此列出三元一次方程组，通过加减消元和代入消元依次求出$y$、$x$、$z$的值，最后根据长方体体积=长×宽×高计算即可。
【解析】
解：设长方体的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，高为$z\ \mathrm{cm}$。
根据展开图的边长关系列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 8 \\x + y = 6 \\x + 2z = 10\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$(x+2y)-(x+y)=8-6$，解得$y=2$。
将$y=2$代入$x+y=6$，得$x+2=6$，解得$x=4$。
将$x=4$代入$x+2z=10$，得$4+2z=10$，解得$z=3$。
因此长方体纸盒的体积为：$V=x·y·z = 4×2×3 = 24\ \mathrm{cm^3}$。
【答案】
$24$
【知识点】
长方体展开图；三元一次方程组的应用；长方体体积计算
【点评】
本题结合长方体展开图考查方程的应用，解题的关键是准确识别展开图各线段与长方体长宽高的对应关系，从中提取等量关系列方程求解，整体计算量小，掌握长方体展开图的特征即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
要计算长方体纸盒的体积，需先求出长方体的长、宽、高。我们可以先设长方体的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，高为$z\ \mathrm{cm}$，再观察展开图的边长关系：标注8cm的边对应“长+2个宽”的长度和，标注6cm的边对应“长+1个宽”的长度和，标注10cm的边对应“长+2个高”的长度和，据此列出三元一次方程组，通过加减消元和代入消元依次求出$y$、$x$、$z$的值，最后根据长方体体积=长×宽×高计算即可。
【解析】
解：设长方体的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，高为$z\ \mathrm{cm}$。
根据展开图的边长关系列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 8 \\x + y = 6 \\x + 2z = 10\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$(x+2y)-(x+y)=8-6$，解得$y=2$。
将$y=2$代入$x+y=6$，得$x+2=6$，解得$x=4$。
将$x=4$代入$x+2z=10$，得$4+2z=10$，解得$z=3$。
因此长方体纸盒的体积为：$V=x·y·z = 4×2×3 = 24\ \mathrm{cm^3}$。
【答案】
$24$
【知识点】
长方体展开图；三元一次方程组的应用；长方体体积计算
【点评】
本题结合长方体展开图考查方程的应用，解题的关键是准确识别展开图各线段与长方体长宽高的对应关系，从中提取等量关系列方程求解，整体计算量小，掌握长方体展开图的特征即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
10. 我们知道,将长方体的表面沿某些棱剪开,可以展开成一个平面图形。
(1)至少需要剪开条棱。
(2)如图甲所示的长方体,长、宽、高分别为4,3,6,若将它的表面沿某些棱剪开,展成一个平面图形,则下列平面图形中,可能是该长方体表面展开图的有(多选,填序号);
(3)如图乙是(2)中长方体的一种表面展开图,它的外围周长为52,事实上,题(2)中长方体的表面展开图还有不少,请聪明的你写出该长方体表面展开图的最大外围周长为。
(1)至少需要剪开条棱。
(2)如图甲所示的长方体,长、宽、高分别为4,3,6,若将它的表面沿某些棱剪开,展成一个平面图形,则下列平面图形中,可能是该长方体表面展开图的有(多选,填序号);
(3)如图乙是(2)中长方体的一种表面展开图,它的外围周长为52,事实上,题(2)中长方体的表面展开图还有不少,请聪明的你写出该长方体表面展开图的最大外围周长为。
答案
(1) $\boldsymbol{7}$
(2) $\boldsymbol{①②③}$
(3) $\boldsymbol{70}$
(2) $\boldsymbol{①②③}$
(3) $\boldsymbol{70}$
解析
【分析】
(1) 首先回忆长方体的总棱数，展开成平面图形时，6个面需要有未剪开的棱将它们连在一起，用总棱数减去未剪开的棱数，就能得到至少需要剪开的棱数。
(2) 结合长方体表面展开图的特点，逐一判断每个图形折叠后是否能得到长、宽、高为4、3、6的长方体，排除会出现面重叠、无法匹配边长的图形即可。
(3) 要得到最大外围周长，需要让外围尽可能多地包含更长的棱（本题最长棱为6，其次是4，最短为3），让最短的棱尽可能少出现在外围，再计算总周长即可。
【解析】
(1) 长方体一共有12条棱，将表面展开成平面图形时，6个面之间有5条棱是相连未剪开的，因此至少需要剪开的棱数为$12-5=7$条。
(2) 对四个展开图逐一判断：
①折叠后各边可对应长方体的长宽高4、3、6，符合要求；
②折叠后各边可对应长方体的长宽高4、3、6，符合要求；
③折叠后各边可对应长方体的长宽高4、3、6，符合要求；
④折叠时会出现面重叠的问题，无法折成该长方体，不符合要求。
因此符合的是①②③。
(3) 要使外围周长最大，尽可能多的将长为6的棱、长为4的棱放在外围，最少的长为3的棱放在外围，计算得最大外围周长为：$6×8 + 4×4 + 3×2=48+16+6=70$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7}$
(2) $\boldsymbol{①②③}$
(3) $\boldsymbol{70}$
【知识点】
长方体的基本特征；长方体的表面展开图
【点评】
本题围绕长方体展开图设题，既考查对展开图基本特征的掌握，也对空间想象能力有一定要求，第三问需要结合边长特征分析最优情况，有一定的灵活性。
【难度系数】
0.65
(1) 首先回忆长方体的总棱数，展开成平面图形时，6个面需要有未剪开的棱将它们连在一起，用总棱数减去未剪开的棱数，就能得到至少需要剪开的棱数。
(2) 结合长方体表面展开图的特点，逐一判断每个图形折叠后是否能得到长、宽、高为4、3、6的长方体，排除会出现面重叠、无法匹配边长的图形即可。
(3) 要得到最大外围周长，需要让外围尽可能多地包含更长的棱（本题最长棱为6，其次是4，最短为3），让最短的棱尽可能少出现在外围，再计算总周长即可。
【解析】
(1) 长方体一共有12条棱，将表面展开成平面图形时，6个面之间有5条棱是相连未剪开的，因此至少需要剪开的棱数为$12-5=7$条。
(2) 对四个展开图逐一判断：
①折叠后各边可对应长方体的长宽高4、3、6，符合要求；
②折叠后各边可对应长方体的长宽高4、3、6，符合要求；
③折叠后各边可对应长方体的长宽高4、3、6，符合要求；
④折叠时会出现面重叠的问题，无法折成该长方体，不符合要求。
因此符合的是①②③。
(3) 要使外围周长最大，尽可能多的将长为6的棱、长为4的棱放在外围，最少的长为3的棱放在外围，计算得最大外围周长为：$6×8 + 4×4 + 3×2=48+16+6=70$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7}$
(2) $\boldsymbol{①②③}$
(3) $\boldsymbol{70}$
【知识点】
长方体的基本特征；长方体的表面展开图
【点评】
本题围绕长方体展开图设题，既考查对展开图基本特征的掌握，也对空间想象能力有一定要求，第三问需要结合边长特征分析最优情况，有一定的灵活性。
【难度系数】
0.65
