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4. 化简$\frac{12}{m^2 -9} + \frac{3}{m+3}$，结果是（）.
A.$\frac{m+6}{m^2 -9}$
B.$\frac{3m+3}{m^2 -9}$
C.$\frac{2}{m+3}$
D.$\frac{2m+9}{m^2 -9}$
A.$\frac{m+6}{m^2 -9}$
B.$\frac{3m+3}{m^2 -9}$
C.$\frac{2}{m+3}$
D.$\frac{2m+9}{m^2 -9}$
答案
B
解析
【分析】
本题是异分母分式的加法计算，解题思路如下：第一步先利用平方差公式对第一个分式的分母因式分解，确定两个分式的最简公分母；第二步将第二个分式通分，转化为和第一个分式同分母的分式；第三步按照同分母分式加法法则，分母不变，分子相加，最后化简分子，匹配对应选项即可。
【解析】
解：首先对分母因式分解，得$m^2-9=(m+3)(m-3)$，因此两个分式的最简公分母为$m^2-9$。
对$\frac{3}{m+3}$通分，得：
$\frac{3}{m+3}=\frac{3(m-3)}{(m+3)(m-3)}=\frac{3m-9}{m^2-9}$
按照同分母分式加法法则计算：
$\frac{12}{m^2 -9} + \frac{3}{m+3}=\frac{12}{m^2-9}+\frac{3m-9}{m^2-9}=\frac{12+3m-9}{m^2-9}=\frac{3m+3}{m^2-9}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
异分母分式加减法、平方差公式因式分解、分式通分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题的关键是正确对分母因式分解、找准最简公分母，通分时要注意分子也要乘对应因式，避免出现漏乘的错误。
【难度系数】
0.8
本题是异分母分式的加法计算，解题思路如下：第一步先利用平方差公式对第一个分式的分母因式分解，确定两个分式的最简公分母；第二步将第二个分式通分，转化为和第一个分式同分母的分式；第三步按照同分母分式加法法则，分母不变，分子相加，最后化简分子，匹配对应选项即可。
【解析】
解：首先对分母因式分解，得$m^2-9=(m+3)(m-3)$，因此两个分式的最简公分母为$m^2-9$。
对$\frac{3}{m+3}$通分，得：
$\frac{3}{m+3}=\frac{3(m-3)}{(m+3)(m-3)}=\frac{3m-9}{m^2-9}$
按照同分母分式加法法则计算：
$\frac{12}{m^2 -9} + \frac{3}{m+3}=\frac{12}{m^2-9}+\frac{3m-9}{m^2-9}=\frac{12+3m-9}{m^2-9}=\frac{3m+3}{m^2-9}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
异分母分式加减法、平方差公式因式分解、分式通分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题的关键是正确对分母因式分解、找准最简公分母，通分时要注意分子也要乘对应因式，避免出现漏乘的错误。
【难度系数】
0.8
5. (2025 昆明期末)已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$，则$\frac{5x + xy - 5y}{x - xy - y} =$.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路清晰可分为两步：第一步先对已知条件$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$通分变形，推导出$x-y$和$xy$的数量关系；第二步观察待求分式的结构，将分子、分母整理为含$x-y$和$xy$的形式，把第一步得到的关系整体代入后约分即可得到结果，不需要单独求解$x$、$y$的具体值，用整体代入法可大幅简化计算。
【解析】
解：先对已知条件变形：
$\because \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$，通分得$\frac{y - x}{xy}=2$，
$\therefore y - x = 2xy$，即$x - y = -2xy$。
再对待求分式整理变形：
$\frac{5x + xy - 5y}{x - xy - y} = \frac{5(x - y) + xy}{(x - y) - xy}$
将$x - y = -2xy$代入上式：
原式$=\frac{5×(-2xy) + xy}{-2xy - xy} = \frac{-10xy + xy}{-3xy} = \frac{-9xy}{-3xy}$
$\because$原分式有意义，$\therefore x≠0,y≠0$，即$xy≠0$，约分可得：
原式$=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1.分式的基本运算
2.整体代入求值
3.分式化简
【点评】
本题是分式求值的常规题型，核心考查已知条件的变形技巧和整体代入思想，无需单独求解未知数即可简化计算，是分式章节的高频考点，需要熟练掌握通分、约分的基本操作。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路清晰可分为两步：第一步先对已知条件$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$通分变形，推导出$x-y$和$xy$的数量关系；第二步观察待求分式的结构，将分子、分母整理为含$x-y$和$xy$的形式，把第一步得到的关系整体代入后约分即可得到结果，不需要单独求解$x$、$y$的具体值，用整体代入法可大幅简化计算。
【解析】
解：先对已知条件变形：
$\because \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$，通分得$\frac{y - x}{xy}=2$，
$\therefore y - x = 2xy$，即$x - y = -2xy$。
再对待求分式整理变形：
$\frac{5x + xy - 5y}{x - xy - y} = \frac{5(x - y) + xy}{(x - y) - xy}$
将$x - y = -2xy$代入上式：
原式$=\frac{5×(-2xy) + xy}{-2xy - xy} = \frac{-10xy + xy}{-3xy} = \frac{-9xy}{-3xy}$
$\because$原分式有意义，$\therefore x≠0,y≠0$，即$xy≠0$，约分可得：
原式$=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1.分式的基本运算
2.整体代入求值
3.分式化简
【点评】
本题是分式求值的常规题型，核心考查已知条件的变形技巧和整体代入思想，无需单独求解未知数即可简化计算，是分式章节的高频考点，需要熟练掌握通分、约分的基本操作。
【难度系数】
0.7
6.化简：$\frac{1}{x+1} -1 =$
答案
$\boldsymbol{-\dfrac{x}{x+1}}$
解析
【分析】
本题是分式与整数的减法运算，属于异分母分式减法范畴。解题思路如下：首先将整数1转化为与分式$\frac{1}{x+1}$同分母的分式，即通分，将异分母减法转化为同分母减法；再根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减；最后对分子去括号、化简得到结果，注意去括号时括号前是负号，括号内各项要变号。
【解析】
解：$\frac{1}{x+1} -1$
$=\frac{1}{x+1} - \frac{x+1}{x+1}$（将1通分为分母是$x+1$的分式，统一分母）
$=\frac{1 - (x+1)}{x+1}$（同分母分式相减，分母不变，分子相减）
$=\frac{1 - x - 1}{x+1}$（去括号，括号前为负号，括号内各项变号）
$=\frac{-x}{x+1}$
$=-\frac{x}{x+1}$
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{x}{x+1}}$
【知识点】
分式的加减运算、通分、去括号法则
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查异分母分式减法的运算步骤，运算时要注意通分的正确性以及去括号的符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题是分式与整数的减法运算，属于异分母分式减法范畴。解题思路如下：首先将整数1转化为与分式$\frac{1}{x+1}$同分母的分式，即通分，将异分母减法转化为同分母减法；再根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减；最后对分子去括号、化简得到结果，注意去括号时括号前是负号，括号内各项要变号。
【解析】
解：$\frac{1}{x+1} -1$
$=\frac{1}{x+1} - \frac{x+1}{x+1}$（将1通分为分母是$x+1$的分式，统一分母）
$=\frac{1 - (x+1)}{x+1}$（同分母分式相减，分母不变，分子相减）
$=\frac{1 - x - 1}{x+1}$（去括号，括号前为负号，括号内各项变号）
$=\frac{-x}{x+1}$
$=-\frac{x}{x+1}$
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{x}{x+1}}$
【知识点】
分式的加减运算、通分、去括号法则
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查异分母分式减法的运算步骤，运算时要注意通分的正确性以及去括号的符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
7. 计算:
(1) $\frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3}$；
(2) $\frac{b}{3a^2} - \frac{1}{4ab}$；
(3) $\frac{1}{a+2} - \frac{a-2}{a^2+4a+4}$。
(1) $\frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3}$；
(2) $\frac{b}{3a^2} - \frac{1}{4ab}$；
(3) $\frac{1}{a+2} - \frac{a-2}{a^2+4a+4}$。
答案
解：
(1) 原式$=\frac{2x}{x^3} - \frac{3}{x^3}$
$=\frac{2x - 3}{x^3}$
(2) 原式$=\frac{4b^2}{12a^2b} - \frac{3a}{12a^2b}$
$=\frac{4b^2 - 3a}{12a^2b}$
(3) 原式$=\frac{1}{a+2} - \frac{a-2}{(a+2)^2}$
$=\frac{a+2}{(a+2)^2} - \frac{a-2}{(a+2)^2}$
$=\frac{(a+2)-(a-2)}{(a+2)^2}$
$=\frac{a+2 - a + 2}{(a+2)^2}$
$=\frac{4}{(a+2)^2}$
(1) 原式$=\frac{2x}{x^3} - \frac{3}{x^3}$
$=\frac{2x - 3}{x^3}$
(2) 原式$=\frac{4b^2}{12a^2b} - \frac{3a}{12a^2b}$
$=\frac{4b^2 - 3a}{12a^2b}$
(3) 原式$=\frac{1}{a+2} - \frac{a-2}{(a+2)^2}$
$=\frac{a+2}{(a+2)^2} - \frac{a-2}{(a+2)^2}$
$=\frac{(a+2)-(a-2)}{(a+2)^2}$
$=\frac{a+2 - a + 2}{(a+2)^2}$
$=\frac{4}{(a+2)^2}$
解析
【分析】
这三道题均为异分母分式的减法运算，解题思路遵循异分母分式减法的通用步骤：①先对可因式分解的分母进行因式分解，确定各分式的最简公分母；②利用分式的基本性质将各分式通分为同分母分式；③按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减；④最后将结果化简为最简分式。具体到各小题：(1)分母为$x^2$、$x^3$，最简公分母为$x^3$；(2)分母为$3a^2$、$4ab$，系数最小公倍数为12，相同字母取最高次幂，最简公分母为$12a^2b$；(3)先将第二个分式的分母$a^2+4a+4$因式分解为$(a+2)^2$，可得最简公分母为$(a+2)^2$，通分后计算时注意分子去括号的符号变化。
【解析】
(1) 通分，将两个分式化为同分母分式：
原式$=\frac{2x}{x^3} - \frac{3}{x^3}$
按同分母分式减法法则计算：
$=\frac{2x - 3}{x^3}$
(2) 确定最简公分母为$12a^2b$，通分：
原式$=\frac{4b^2}{12a^2b} - \frac{3a}{12a^2b}$
分子相减得结果：
$=\frac{4b^2 - 3a}{12a^2b}$
(3) 先分解第二个分式的分母，再通分：
原式$=\frac{1}{a+2} - \frac{a-2}{(a+2)^2}$
$=\frac{a+2}{(a+2)^2} - \frac{a-2}{(a+2)^2}$
分子相减，去括号合并同类项：
$=\frac{(a+2)-(a-2)}{(a+2)^2}$
$=\frac{a+2 - a + 2}{(a+2)^2}$
$=\frac{4}{(a+2)^2}$
【答案】
(1) $\frac{2x-3}{x^3}$；(2) $\frac{4b^2-3a}{12a^2b}$；(3) $\frac{4}{(a+2)^2}$
【知识点】
异分母分式减法，分式通分，因式分解
【点评】
本题是分式减法的基础运算题，核心是掌握异分母分式减法的运算流程，易错点在于确定最简公分母时易遗漏字母或系数，以及分子相减去括号时出现符号错误，计算完成后要注意检查结果是否为最简分式。
【难度系数】
0.7
这三道题均为异分母分式的减法运算，解题思路遵循异分母分式减法的通用步骤：①先对可因式分解的分母进行因式分解，确定各分式的最简公分母；②利用分式的基本性质将各分式通分为同分母分式；③按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减；④最后将结果化简为最简分式。具体到各小题：(1)分母为$x^2$、$x^3$，最简公分母为$x^3$；(2)分母为$3a^2$、$4ab$，系数最小公倍数为12，相同字母取最高次幂，最简公分母为$12a^2b$；(3)先将第二个分式的分母$a^2+4a+4$因式分解为$(a+2)^2$，可得最简公分母为$(a+2)^2$，通分后计算时注意分子去括号的符号变化。
【解析】
(1) 通分，将两个分式化为同分母分式：
原式$=\frac{2x}{x^3} - \frac{3}{x^3}$
按同分母分式减法法则计算：
$=\frac{2x - 3}{x^3}$
(2) 确定最简公分母为$12a^2b$，通分：
原式$=\frac{4b^2}{12a^2b} - \frac{3a}{12a^2b}$
分子相减得结果：
$=\frac{4b^2 - 3a}{12a^2b}$
(3) 先分解第二个分式的分母，再通分：
原式$=\frac{1}{a+2} - \frac{a-2}{(a+2)^2}$
$=\frac{a+2}{(a+2)^2} - \frac{a-2}{(a+2)^2}$
分子相减，去括号合并同类项：
$=\frac{(a+2)-(a-2)}{(a+2)^2}$
$=\frac{a+2 - a + 2}{(a+2)^2}$
$=\frac{4}{(a+2)^2}$
【答案】
(1) $\frac{2x-3}{x^3}$；(2) $\frac{4b^2-3a}{12a^2b}$；(3) $\frac{4}{(a+2)^2}$
【知识点】
异分母分式减法，分式通分，因式分解
【点评】
本题是分式减法的基础运算题，核心是掌握异分母分式减法的运算流程，易错点在于确定最简公分母时易遗漏字母或系数，以及分子相减去括号时出现符号错误，计算完成后要注意检查结果是否为最简分式。
【难度系数】
0.7
8. (2024 河北)已知 A 为整式,若计算$\frac{A}{xy+y^2}-\frac{y}{x^2+xy}$,结果为$\frac{x-y}{xy}$,则 A 等于().
A.$x$
B.$y$
C.$x+y$
D.$x-y$
A.$x$
B.$y$
C.$x+y$
D.$x-y$
答案
A
解析
【分析】
本题是已知分式减法的运算结果求整式A，解题思路如下：首先将等式中各分式的分母因式分解，确定最简公分母；再给等式两边同时乘最简公分母，消去所有分母，将分式等式转化为整式等式；最后通过整式的化简、运算求出A的值即可，该方法可以避免复杂的分式通分，降低计算出错概率。
【解析】
根据题意可列等式：
$\frac{A}{xy+y^2} - \frac{y}{x^2+xy} = \frac{x-y}{xy}$
第一步，对各分母因式分解：
$xy+y^2 = y(x+y)$，$x^2+xy = x(x+y)$，等式转化为：
$\frac{A}{y(x+y)} - \frac{y}{x(x+y)} = \frac{x-y}{xy}$
第二步，等式两边同时乘以最简公分母$xy(x+y)$（由分母可知$x≠0,y≠0,x+y≠0$，可直接去分母），得：
$xA - y^2 = (x-y)(x+y)$
第三步，化简等式：
根据平方差公式，右边展开为$x^2 - y^2$，代入得：
$xA - y^2 = x^2 - y^2$
两边同时加$y^2$得：$xA = x^2$
因为$x≠0$，两边同时除以$x$，得$A=x$
【答案】
A
【知识点】
分式的运算、因式分解、整式化简
【点评】
本题核心考查分式运算的逆用，解题的关键是通过去分母将分式等式转化为整式等式，计算时要注意给等式每一项都乘最简公分母，不要漏乘，同时要注意题目隐含的分母不为0的条件，确保变形的合理性。
【难度系数】
0.7
本题是已知分式减法的运算结果求整式A，解题思路如下：首先将等式中各分式的分母因式分解，确定最简公分母；再给等式两边同时乘最简公分母，消去所有分母，将分式等式转化为整式等式；最后通过整式的化简、运算求出A的值即可，该方法可以避免复杂的分式通分，降低计算出错概率。
【解析】
根据题意可列等式：
$\frac{A}{xy+y^2} - \frac{y}{x^2+xy} = \frac{x-y}{xy}$
第一步，对各分母因式分解：
$xy+y^2 = y(x+y)$，$x^2+xy = x(x+y)$，等式转化为：
$\frac{A}{y(x+y)} - \frac{y}{x(x+y)} = \frac{x-y}{xy}$
第二步，等式两边同时乘以最简公分母$xy(x+y)$（由分母可知$x≠0,y≠0,x+y≠0$，可直接去分母），得：
$xA - y^2 = (x-y)(x+y)$
第三步，化简等式：
根据平方差公式，右边展开为$x^2 - y^2$，代入得：
$xA - y^2 = x^2 - y^2$
两边同时加$y^2$得：$xA = x^2$
因为$x≠0$，两边同时除以$x$，得$A=x$
【答案】
A
【知识点】
分式的运算、因式分解、整式化简
【点评】
本题核心考查分式运算的逆用，解题的关键是通过去分母将分式等式转化为整式等式，计算时要注意给等式每一项都乘最简公分母，不要漏乘，同时要注意题目隐含的分母不为0的条件，确保变形的合理性。
【难度系数】
0.7
9. 设 $ p = \frac{a}{a+1} - \frac{b}{b+1} $，$ q = \frac{1}{a+1} - \frac{1}{b+1} $，则 $ p, q $ 的关系是().
A.$ p=q $
B.$ p＞q $
C.$ p=-q $
D.$ p＜q $
A.$ p=q $
B.$ p＞q $
C.$ p=-q $
D.$ p＜q $
答案
C
解析
【分析】
要判断p和q的数量关系，我们可以通过分别化简p、q的代数式，对比化简后的结果确定二者关系。解题时先运用分式加减的通分法则，分别对p、q进行运算化简，再观察两个化简结果的联系即可。
【解析】
先分别化简p和q：
1. 化简p：
根据异分母分式减法法则，先通分，最简公分母为$(a+1)(b+1)$
$ p = \frac{a}{a+1} - \frac{b}{b+1} = \frac{a(b+1) - b(a+1)}{(a+1)(b+1)} $
展开分子：$ a(b+1) - b(a+1) = ab + a - ab - b = a - b $
因此$ p = \frac{a - b}{(a+1)(b+1)} $
2. 化简q：
同理通分计算q：
$ q = \frac{1}{a+1} - \frac{1}{b+1} = \frac{(b+1) - (a+1)}{(a+1)(b+1)} = \frac{b - a}{(a+1)(b+1)} $
对比p和q的化简结果：$ p = \frac{a - b}{(a+1)(b+1)} = -\frac{b - a}{(a+1)(b+1)} = -q $
因此p和q的关系为$ p=-q $
【答案】
C
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 代数式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式的加减运算规则，除了通分化简的方法外，也可以用代入特殊值的方法快速验证结果，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
要判断p和q的数量关系，我们可以通过分别化简p、q的代数式，对比化简后的结果确定二者关系。解题时先运用分式加减的通分法则，分别对p、q进行运算化简，再观察两个化简结果的联系即可。
【解析】
先分别化简p和q：
1. 化简p：
根据异分母分式减法法则，先通分，最简公分母为$(a+1)(b+1)$
$ p = \frac{a}{a+1} - \frac{b}{b+1} = \frac{a(b+1) - b(a+1)}{(a+1)(b+1)} $
展开分子：$ a(b+1) - b(a+1) = ab + a - ab - b = a - b $
因此$ p = \frac{a - b}{(a+1)(b+1)} $
2. 化简q：
同理通分计算q：
$ q = \frac{1}{a+1} - \frac{1}{b+1} = \frac{(b+1) - (a+1)}{(a+1)(b+1)} = \frac{b - a}{(a+1)(b+1)} $
对比p和q的化简结果：$ p = \frac{a - b}{(a+1)(b+1)} = -\frac{b - a}{(a+1)(b+1)} = -q $
因此p和q的关系为$ p=-q $
【答案】
C
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 代数式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式的加减运算规则，除了通分化简的方法外，也可以用代入特殊值的方法快速验证结果，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
10. 如图，把$R_1,R_2$两个电阻并联起来，线路AB上的总电阻为$R_{总}$，$R_1,R_2,R_{总}$满足关系式：$\frac{1}{R_{总}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$，则求得$R_{总}$等于（）。
A.$R_1+R_2$
B.$\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}$
C.$\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
D.$\frac{R_1+R_2}{2}$
A.$R_1+R_2$
B.$\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}$
C.$\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
D.$\frac{R_1+R_2}{2}$
答案
C
解析
【分析】
题目已经给出并联总电阻和分电阻的关系式，我们需要通过分式运算对关系式变形求解$R_{总}$。解题思路分为两步：首先对等式右侧的异分母分式做加法运算，按照异分母分式相加的规则先通分再合并；之后对得到的等式两边同时取倒数，即可得到$R_{总}$的表达式。
【解析】
已知$\frac{1}{R_{总}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$，
先计算右侧异分母分式的和：确定最简公分母为$R_1R_2$，通分后计算得：
$\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_2}{R_1R_2}+\frac{R_1}{R_1R_2}=\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}$，
因此$\frac{1}{R_{总}}=\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}$，
由于电阻$R_1、R_2$均为正数，两边同时取倒数可得：
$R_{总}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加法，代数式变形，倒数的性质
【点评】
本题是结合物理并联电阻情景的基础运算题，核心考查异分母分式的加减运算规则，只要熟练掌握通分、合并分式的方法就能快速求解，体现了不同学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.8
题目已经给出并联总电阻和分电阻的关系式，我们需要通过分式运算对关系式变形求解$R_{总}$。解题思路分为两步：首先对等式右侧的异分母分式做加法运算，按照异分母分式相加的规则先通分再合并；之后对得到的等式两边同时取倒数，即可得到$R_{总}$的表达式。
【解析】
已知$\frac{1}{R_{总}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$，
先计算右侧异分母分式的和：确定最简公分母为$R_1R_2$，通分后计算得：
$\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_2}{R_1R_2}+\frac{R_1}{R_1R_2}=\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}$，
因此$\frac{1}{R_{总}}=\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}$，
由于电阻$R_1、R_2$均为正数，两边同时取倒数可得：
$R_{总}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加法，代数式变形，倒数的性质
【点评】
本题是结合物理并联电阻情景的基础运算题，核心考查异分母分式的加减运算规则，只要熟练掌握通分、合并分式的方法就能快速求解，体现了不同学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.8
11. 计算: ① $\frac{x^2 + y^2}{x - y} + \frac{2xy}{y - x}$; ② $\frac{x^2 - y^2}{4xy} - \frac{x^2 + y^2}{4xy}$; ③ $\frac{a^2}{a - b} + \frac{a^2 - a + b}{b - a}$. 其中结果是整式的是.(填序号)
答案
解：
① 原式$=\frac{x^2+y^2}{x-y}-\frac{2xy}{x-y}$
$=\frac{x^2+y^2-2xy}{x-y}$
$=\frac{(x-y)^2}{x-y}$
$=x-y$，是整式。
② 原式$=\frac{(x^2-y^2)-(x^2+y^2)}{4xy}$
$=\frac{x^2-y^2-x^2-y^2}{4xy}$
$=\frac{-2y^2}{4xy}$
$=-\frac{y}{2x}$，是分式。
③ 原式$=\frac{a^2}{a-b}-\frac{a^2-a+b}{a-b}$
$=\frac{a^2-(a^2-a+b)}{a-b}$
$=\frac{a^2-a^2+a-b}{a-b}$
$=\frac{a-b}{a-b}$
$=1$，是整式。
其中结果是整式的是$\boldsymbol{①③}$。
① 原式$=\frac{x^2+y^2}{x-y}-\frac{2xy}{x-y}$
$=\frac{x^2+y^2-2xy}{x-y}$
$=\frac{(x-y)^2}{x-y}$
$=x-y$，是整式。
② 原式$=\frac{(x^2-y^2)-(x^2+y^2)}{4xy}$
$=\frac{x^2-y^2-x^2-y^2}{4xy}$
$=\frac{-2y^2}{4xy}$
$=-\frac{y}{2x}$，是分式。
③ 原式$=\frac{a^2}{a-b}-\frac{a^2-a+b}{a-b}$
$=\frac{a^2-(a^2-a+b)}{a-b}$
$=\frac{a^2-a^2+a-b}{a-b}$
$=\frac{a-b}{a-b}$
$=1$，是整式。
其中结果是整式的是$\boldsymbol{①③}$。
解析
【分析】
要判断三个分式运算的结果是否为整式，需按分式加减法法则依次计算每个式子的结果：首先将互为相反数的分母统一为同分母，再对分子做加减运算，随后约分得到最简结果，最后根据“整式是单项式、多项式的统称，分母不含字母”的定义判断即可。计算时要注意去括号的符号变化，保证约分正确。
【解析】
① 先将第二个分式的分母$y-x$变形为$-(x-y)$，得：
原式$=\frac{x^2+y^2}{x-y}-\frac{2xy}{x-y}$
同分母分式相减，分子合并得：
$=\frac{x^2+y^2-2xy}{x-y}$
分子用完全平方公式因式分解后约分：
$=\frac{(x-y)^2}{x-y}=x-y$
$x-y$是多项式，属于整式。
② 两个分式为同分母，直接将分子相减：
原式$=\frac{(x^2-y^2)-(x^2+y^2)}{4xy}$
去括号合并同类项：
$=\frac{x^2-y^2-x^2-y^2}{4xy}=\frac{-2y^2}{4xy}$
约分后得：$=-\frac{y}{2x}$
分母含字母$x$，属于分式，不是整式。
③ 先将第二个分式的分母$b-a$变形为$-(a-b)$，得：
原式$=\frac{a^2}{a-b}-\frac{a^2-a+b}{a-b}$
分子合并得：
$=\frac{a^2-(a^2-a+b)}{a-b}$
去括号合并同类项后约分：
$=\frac{a^2-a^2+a-b}{a-b}=\frac{a-b}{a-b}=1$
$1$是单项式，属于整式。
【答案】
$\boldsymbol{①③}$
【知识点】
分式的加减运算；整式的概念；分式的约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查分式加减法的运算能力，解题的关键是正确统一互为相反数的分母的符号，分子运算时注意去括号的符号变化，结果化为最简后再按整式的定义判断即可，熟练掌握运算法则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要判断三个分式运算的结果是否为整式，需按分式加减法法则依次计算每个式子的结果：首先将互为相反数的分母统一为同分母，再对分子做加减运算，随后约分得到最简结果，最后根据“整式是单项式、多项式的统称，分母不含字母”的定义判断即可。计算时要注意去括号的符号变化，保证约分正确。
【解析】
① 先将第二个分式的分母$y-x$变形为$-(x-y)$，得：
原式$=\frac{x^2+y^2}{x-y}-\frac{2xy}{x-y}$
同分母分式相减，分子合并得：
$=\frac{x^2+y^2-2xy}{x-y}$
分子用完全平方公式因式分解后约分：
$=\frac{(x-y)^2}{x-y}=x-y$
$x-y$是多项式，属于整式。
② 两个分式为同分母，直接将分子相减：
原式$=\frac{(x^2-y^2)-(x^2+y^2)}{4xy}$
去括号合并同类项：
$=\frac{x^2-y^2-x^2-y^2}{4xy}=\frac{-2y^2}{4xy}$
约分后得：$=-\frac{y}{2x}$
分母含字母$x$，属于分式，不是整式。
③ 先将第二个分式的分母$b-a$变形为$-(a-b)$，得：
原式$=\frac{a^2}{a-b}-\frac{a^2-a+b}{a-b}$
分子合并得：
$=\frac{a^2-(a^2-a+b)}{a-b}$
去括号合并同类项后约分：
$=\frac{a^2-a^2+a-b}{a-b}=\frac{a-b}{a-b}=1$
$1$是单项式，属于整式。
【答案】
$\boldsymbol{①③}$
【知识点】
分式的加减运算；整式的概念；分式的约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查分式加减法的运算能力，解题的关键是正确统一互为相反数的分母的符号，分子运算时注意去括号的符号变化，结果化为最简后再按整式的定义判断即可，熟练掌握运算法则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
12. 计算:
(1) $\frac{24}{x^2 - 16} + \frac{3}{4 - x}$;
(2) $\frac{a^2}{a - 2} - a - 2$.
(1) $\frac{24}{x^2 - 16} + \frac{3}{4 - x}$;
(2) $\frac{a^2}{a - 2} - a - 2$.
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} + \frac{3}{4-x}\\&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3}{x-4}\\&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{24 - 3x - 12}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{12 - 3x}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{-3(x-4)}{(x+4)(x-4)}\\&=-\frac{3}{x+4}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a^2}{a-2} - (a+2)\\&=\frac{a^2}{a-2} - \frac{(a+2)(a-2)}{a-2}\\&=\frac{a^2 - (a^2 - 4)}{a-2}\\&=\frac{a^2 - a^2 + 4}{a-2}\\&=\frac{4}{a-2}\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} + \frac{3}{4-x}\\&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3}{x-4}\\&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{24 - 3x - 12}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{12 - 3x}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{-3(x-4)}{(x+4)(x-4)}\\&=-\frac{3}{x+4}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a^2}{a-2} - (a+2)\\&=\frac{a^2}{a-2} - \frac{(a+2)(a-2)}{a-2}\\&=\frac{a^2 - (a^2 - 4)}{a-2}\\&=\frac{a^2 - a^2 + 4}{a-2}\\&=\frac{4}{a-2}\end{aligned}$
解析
【分析】
这两道题属于异分母分式的加减法运算，解题思路可按以下步骤展开：①先对分式的分母因式分解，确定最简公分母；②处理特殊分母的符号：若两个分母互为相反数（如第(1)问的$4-x$和$x-4$），可通过提取负号统一分母形式；③若有整式参与运算（如第(2)问的$-a-2$），将整式看作分母为1的分式再进行通分；④通分后按照同分母分式加减法规则，分母不变、分子相加减，最后对分子化简、约分得到最简分式。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} + \frac{3}{4-x}\\&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3}{x-4}\\&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{24 - 3x - 12}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{12 - 3x}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{-3(x-4)}{(x+4)(x-4)}\\&=-\frac{3}{x+4}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a^2}{a-2} - (a+2)\\&=\frac{a^2}{a-2} - \frac{(a+2)(a-2)}{a-2}\\&=\frac{a^2 - (a^2 - 4)}{a-2}\\&=\frac{a^2 - a^2 + 4}{a-2}\\&=\frac{4}{a-2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{3}{x+4}$；(2) $\dfrac{4}{a-2}$
【知识点】
分式的加减法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，易错点为处理互为相反数的分母时符号出错，以及整式和分式相加减时漏乘公分母，运算的最后结果要注意化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.7
这两道题属于异分母分式的加减法运算，解题思路可按以下步骤展开：①先对分式的分母因式分解，确定最简公分母；②处理特殊分母的符号：若两个分母互为相反数（如第(1)问的$4-x$和$x-4$），可通过提取负号统一分母形式；③若有整式参与运算（如第(2)问的$-a-2$），将整式看作分母为1的分式再进行通分；④通分后按照同分母分式加减法规则，分母不变、分子相加减，最后对分子化简、约分得到最简分式。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} + \frac{3}{4-x}\\&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3}{x-4}\\&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{24 - 3x - 12}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{12 - 3x}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{-3(x-4)}{(x+4)(x-4)}\\&=-\frac{3}{x+4}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a^2}{a-2} - (a+2)\\&=\frac{a^2}{a-2} - \frac{(a+2)(a-2)}{a-2}\\&=\frac{a^2 - (a^2 - 4)}{a-2}\\&=\frac{a^2 - a^2 + 4}{a-2}\\&=\frac{4}{a-2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{3}{x+4}$；(2) $\dfrac{4}{a-2}$
【知识点】
分式的加减法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，易错点为处理互为相反数的分母时符号出错，以及整式和分式相加减时漏乘公分母，运算的最后结果要注意化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.7
