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13. 先化简，再求值：
答案
解：
(1) 原式$=\frac{(x-2)^2}{x(x-2)} + \frac{1}{x}$
$=\frac{x-2}{x} + \frac{1}{x}$
$=\frac{x-2+1}{x}$
$=\frac{x-1}{x}$
当$x=\frac{1}{2}$时，
原式$=\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}} = -1$
(2) 原式$=\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} + \frac{b}{a+b}$
$=\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a+b}$
$=\frac{a-b+b}{a+b}$
$=\frac{a}{a+b}$
当$a=-2, b=1$时，
原式$=\frac{-2}{-2+1} = 2$
(1) 原式$=\frac{(x-2)^2}{x(x-2)} + \frac{1}{x}$
$=\frac{x-2}{x} + \frac{1}{x}$
$=\frac{x-2+1}{x}$
$=\frac{x-1}{x}$
当$x=\frac{1}{2}$时，
原式$=\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}} = -1$
(2) 原式$=\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} + \frac{b}{a+b}$
$=\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a+b}$
$=\frac{a-b+b}{a+b}$
$=\frac{a}{a+b}$
当$a=-2, b=1$时，
原式$=\frac{-2}{-2+1} = 2$
解析
【分析】
这两道题属于分式化简求值类题目，遵循“先化简，再代值计算”的思路解题，可大幅降低运算难度：
1. 首先对分式的分子、分母做因式分解，找到公因式后约分，把分式简化；
2. 约分后观察可得两个分式为同分母分式，按照“分母不变，分子相加”的法则计算，得到最简分式；
3. 最后将给定的未知数数值代入最简式，计算得到最终结果。
【解析】
(1) 对原式因式分解并化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x-2)^2}{x(x-2)} + \frac{1}{x} \\&=\frac{x-2}{x} + \frac{1}{x} \\&=\frac{x-2+1}{x} \\&=\frac{x-1}{x}\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$原式=\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}}=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=-1$
(2) 对原式因式分解并化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} + \frac{b}{a+b} \\&=\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a+b} \\&=\frac{a-b+b}{a+b} \\&=\frac{a}{a+b}\end{aligned}$
将$a=-2,b=1$代入化简后的式子：
$原式=\frac{-2}{-2+1}=\frac{-2}{-1}=2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础常规题型，重点考察因式分解在分式约分中的应用，以及同分母分式的加法法则，熟练掌握先化简再代值的解题思路，能有效降低计算量，减少运算错误。
【难度系数】
0.7
这两道题属于分式化简求值类题目，遵循“先化简，再代值计算”的思路解题，可大幅降低运算难度：
1. 首先对分式的分子、分母做因式分解，找到公因式后约分，把分式简化；
2. 约分后观察可得两个分式为同分母分式，按照“分母不变，分子相加”的法则计算，得到最简分式；
3. 最后将给定的未知数数值代入最简式，计算得到最终结果。
【解析】
(1) 对原式因式分解并化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x-2)^2}{x(x-2)} + \frac{1}{x} \\&=\frac{x-2}{x} + \frac{1}{x} \\&=\frac{x-2+1}{x} \\&=\frac{x-1}{x}\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$原式=\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}}=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=-1$
(2) 对原式因式分解并化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} + \frac{b}{a+b} \\&=\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a+b} \\&=\frac{a-b+b}{a+b} \\&=\frac{a}{a+b}\end{aligned}$
将$a=-2,b=1$代入化简后的式子：
$原式=\frac{-2}{-2+1}=\frac{-2}{-1}=2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础常规题型，重点考察因式分解在分式约分中的应用，以及同分母分式的加法法则，熟练掌握先化简再代值的解题思路，能有效降低计算量，减少运算错误。
【难度系数】
0.7
14. 小丽和小明在做一道练习题：
已知$a＞b＞0$，试比较$\frac{b}{a}$与$\frac{b+1}{a+1}$的大小.
小丽说：“当$a=2$，$b=1$时，有$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{b+1}{a+1}=\frac{2}{3}$；因为$\frac{1}{2}＜\frac{2}{3}$，所以$\frac{b}{a}＜\frac{b+1}{a+1}$.”
小明说：“小丽的做法不正确，因为$a=2$，$b=1$只是一个特例，不具有一般性. 可以……”请你将小明的做法补充完整.
已知$a＞b＞0$，试比较$\frac{b}{a}$与$\frac{b+1}{a+1}$的大小.
小丽说：“当$a=2$，$b=1$时，有$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{b+1}{a+1}=\frac{2}{3}$；因为$\frac{1}{2}＜\frac{2}{3}$，所以$\frac{b}{a}＜\frac{b+1}{a+1}$.”
小明说：“小丽的做法不正确，因为$a=2$，$b=1$只是一个特例，不具有一般性. 可以……”请你将小明的做法补充完整.
答案
解：用作差法比较两个分式的大小：
$\begin{aligned}\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1} &= \frac{b(a+1)}{a(a+1)} - \frac{a(b+1)}{a(a+1)} \\&= \frac{ab + b - ab - a}{a(a+1)} \\&= \frac{b - a}{a(a+1)}\end{aligned}$
已知$a＞b＞0$，因此$b-a＜0$，$a＞0$，$a+1＞0$，可得$a(a+1)＞0$，
所以$\frac{b - a}{a(a+1)} ＜ 0$，即$\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1} ＜ 0$。
因此$\frac{b}{a} ＜ \frac{b+1}{a+1}$。
$\begin{aligned}\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1} &= \frac{b(a+1)}{a(a+1)} - \frac{a(b+1)}{a(a+1)} \\&= \frac{ab + b - ab - a}{a(a+1)} \\&= \frac{b - a}{a(a+1)}\end{aligned}$
已知$a＞b＞0$，因此$b-a＜0$，$a＞0$，$a+1＞0$，可得$a(a+1)＞0$，
所以$\frac{b - a}{a(a+1)} ＜ 0$，即$\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1} ＜ 0$。
因此$\frac{b}{a} ＜ \frac{b+1}{a+1}$。
解析
【分析】
要得到两个分式大小关系的一般性结论，不能仅依赖特例验证，可采用作差法这一通用方法：第一步，将两个分式作差，把比较大小的问题转化为判断差的正负问题；第二步，对差进行通分、化简，得到最简形式；第三步，结合已知条件$a＞b＞0$，分别判断差的分子、分母的正负，进而确定差的正负；最后根据差的正负即可得出两个分式的大小关系。
【解析】
用作差法比较两个分式的大小：
$\begin{aligned}\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1} &= \frac{b(a+1)}{a(a+1)} - \frac{a(b+1)}{a(a+1)} \\&= \frac{ab + b - ab - a}{a(a+1)} \\&= \frac{b - a}{a(a+1)}\end{aligned}$
已知$a＞b＞0$，因此$b-a＜0$，$a＞0$，$a+1＞0$，可得$a(a+1)＞0$，
所以$\frac{b - a}{a(a+1)} ＜ 0$，即$\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1} ＜ 0$，
因此$\frac{b}{a} ＜ \frac{b+1}{a+1}$。
【答案】
解：用作差法比较两个分式的大小：
$\begin{aligned}\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1} &= \frac{b(a+1)}{a(a+1)} - \frac{a(b+1)}{a(a+1)} \\&= \frac{ab + b - ab - a}{a(a+1)} \\&= \frac{b - a}{a(a+1)}\end{aligned}$
已知$a＞b＞0$，因此$b-a＜0$，$a＞0$，$a+1＞0$，可得$a(a+1)＞0$，
所以$\frac{b - a}{a(a+1)} ＜ 0$，即$\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1} ＜ 0$。
因此$\frac{b}{a} ＜ \frac{b+1}{a+1}$。
【知识点】
作差法比较大小；分式的加减运算；分式正负性判断
【点评】
本题考查代数式大小的比较，明确特例仅能验证结论、无法证明一般性结论是解题的前提，熟练掌握作差法的步骤、分式的通分化简规则，能结合已知条件判断代数式的正负是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要得到两个分式大小关系的一般性结论，不能仅依赖特例验证，可采用作差法这一通用方法：第一步，将两个分式作差，把比较大小的问题转化为判断差的正负问题；第二步，对差进行通分、化简，得到最简形式；第三步，结合已知条件$a＞b＞0$，分别判断差的分子、分母的正负，进而确定差的正负；最后根据差的正负即可得出两个分式的大小关系。
【解析】
用作差法比较两个分式的大小：
$\begin{aligned}\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1} &= \frac{b(a+1)}{a(a+1)} - \frac{a(b+1)}{a(a+1)} \\&= \frac{ab + b - ab - a}{a(a+1)} \\&= \frac{b - a}{a(a+1)}\end{aligned}$
已知$a＞b＞0$，因此$b-a＜0$，$a＞0$，$a+1＞0$，可得$a(a+1)＞0$，
所以$\frac{b - a}{a(a+1)} ＜ 0$，即$\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1} ＜ 0$，
因此$\frac{b}{a} ＜ \frac{b+1}{a+1}$。
【答案】
解：用作差法比较两个分式的大小：
$\begin{aligned}\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1} &= \frac{b(a+1)}{a(a+1)} - \frac{a(b+1)}{a(a+1)} \\&= \frac{ab + b - ab - a}{a(a+1)} \\&= \frac{b - a}{a(a+1)}\end{aligned}$
已知$a＞b＞0$，因此$b-a＜0$，$a＞0$，$a+1＞0$，可得$a(a+1)＞0$，
所以$\frac{b - a}{a(a+1)} ＜ 0$，即$\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1} ＜ 0$。
因此$\frac{b}{a} ＜ \frac{b+1}{a+1}$。
【知识点】
作差法比较大小；分式的加减运算；分式正负性判断
【点评】
本题考查代数式大小的比较，明确特例仅能验证结论、无法证明一般性结论是解题的前提，熟练掌握作差法的步骤、分式的通分化简规则，能结合已知条件判断代数式的正负是解题的核心。
【难度系数】
0.7
