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13. (★★)计算:
(1) $\left| -\dfrac{1}{2} \right| + \left| -5 \right|$;
(2) $\left| +10 \right| - \left| -8 \right|$;
(3) $\left| -\dfrac{2}{3} \right| × \left| \dfrac{3}{2} \right|$;
(4) $\left| -16 \right| ÷ \left| 0.5 \right|$;
(5) $\left| -7.25 \right| × \left| -4 \right| + \left| -32 \right| ÷ \left| -8 \right|$;
(6) $( 3\dfrac{1}{2} - \left| -\dfrac{1}{2} \right| + 0.5 ) × \left| -6 \right|$.
(1) $\left| -\dfrac{1}{2} \right| + \left| -5 \right|$;
(2) $\left| +10 \right| - \left| -8 \right|$;
(3) $\left| -\dfrac{2}{3} \right| × \left| \dfrac{3}{2} \right|$;
(4) $\left| -16 \right| ÷ \left| 0.5 \right|$;
(5) $\left| -7.25 \right| × \left| -4 \right| + \left| -32 \right| ÷ \left| -8 \right|$;
(6) $( 3\dfrac{1}{2} - \left| -\dfrac{1}{2} \right| + 0.5 ) × \left| -6 \right|$.
答案
解：
(1) 原式$=\dfrac{1}{2} + 5 = \dfrac{11}{2}$
(2) 原式$=10 - 8 = 2$
(3) 原式$=\dfrac{2}{3} × \dfrac{3}{2} = 1$
(4) 原式$=16 ÷ 0.5 = 32$
(5) 原式$=7.25 × 4 + 32 ÷ 8 = 29 + 4 = 33$
(6) 原式$=(3\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + 0.5) × 6 = 3.5 × 6 = 21$
(1) 原式$=\dfrac{1}{2} + 5 = \dfrac{11}{2}$
(2) 原式$=10 - 8 = 2$
(3) 原式$=\dfrac{2}{3} × \dfrac{3}{2} = 1$
(4) 原式$=16 ÷ 0.5 = 32$
(5) 原式$=7.25 × 4 + 32 ÷ 8 = 29 + 4 = 33$
(6) 原式$=(3\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + 0.5) × 6 = 3.5 × 6 = 21$
解析
【分析】
这组题目均为含绝对值的有理数运算，解题核心思路分两步：第一步先根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉所有绝对值符号，将式子转化为普通的有理数四则运算式；第二步按照有理数四则运算规则计算：有括号先算括号内的，没有括号时先算乘除、后算加减，同级运算从左到右依次计算即可。
【解析】
(1) 先化简绝对值：$\left| -\dfrac{1}{2} \right|=\dfrac{1}{2}$，$\left| -5 \right|=5$，因此原式$=\dfrac{1}{2} + 5 = \dfrac{11}{2}$
(2) 先化简绝对值：$\left| +10 \right|=10$，$\left| -8 \right|=8$，因此原式$=10 - 8 = 2$
(3) 先化简绝对值：$\left| -\dfrac{2}{3} \right|=\dfrac{2}{3}$，$\left| \dfrac{3}{2} \right|=\dfrac{3}{2}$，因此原式$=\dfrac{2}{3} × \dfrac{3}{2} = 1$
(4) 先化简绝对值：$\left| -16 \right|=16$，$\left| 0.5 \right|=0.5$，因此原式$=16 ÷ 0.5 = 32$
(5) 先化简绝对值：$\left| -7.25 \right|=7.25$，$\left| -4 \right|=4$，$\left| -32 \right|=32$，$\left| -8 \right|=8$，再按先乘除后加减的顺序计算：原式$=7.25 × 4 + 32 ÷ 8 = 29 + 4 = 33$
(6) 先化简绝对值：$\left| -\dfrac{1}{2} \right|=\dfrac{1}{2}$，$\left| -6 \right|=6$，先算括号内的运算，再算乘法：原式$=(3\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + 0.5) × 6 = 3.5 × 6 = 21$
【答案】
(1)$\dfrac{11}{2}$；(2)$2$；(3)$1$；(4)$32$；(5)$33$；(6)$21$
【知识点】
绝对值的性质；有理数四则运算
【点评】
本题是绝对值运算的基础题型，重点考察绝对值化简能力和有理数运算规则的应用，只要熟练掌握绝对值的性质，按照运算顺序仔细计算即可得分，是运算类的基础必练题。
【难度系数】
0.8
这组题目均为含绝对值的有理数运算，解题核心思路分两步：第一步先根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉所有绝对值符号，将式子转化为普通的有理数四则运算式；第二步按照有理数四则运算规则计算：有括号先算括号内的，没有括号时先算乘除、后算加减，同级运算从左到右依次计算即可。
【解析】
(1) 先化简绝对值：$\left| -\dfrac{1}{2} \right|=\dfrac{1}{2}$，$\left| -5 \right|=5$，因此原式$=\dfrac{1}{2} + 5 = \dfrac{11}{2}$
(2) 先化简绝对值：$\left| +10 \right|=10$，$\left| -8 \right|=8$，因此原式$=10 - 8 = 2$
(3) 先化简绝对值：$\left| -\dfrac{2}{3} \right|=\dfrac{2}{3}$，$\left| \dfrac{3}{2} \right|=\dfrac{3}{2}$，因此原式$=\dfrac{2}{3} × \dfrac{3}{2} = 1$
(4) 先化简绝对值：$\left| -16 \right|=16$，$\left| 0.5 \right|=0.5$，因此原式$=16 ÷ 0.5 = 32$
(5) 先化简绝对值：$\left| -7.25 \right|=7.25$，$\left| -4 \right|=4$，$\left| -32 \right|=32$，$\left| -8 \right|=8$，再按先乘除后加减的顺序计算：原式$=7.25 × 4 + 32 ÷ 8 = 29 + 4 = 33$
(6) 先化简绝对值：$\left| -\dfrac{1}{2} \right|=\dfrac{1}{2}$，$\left| -6 \right|=6$，先算括号内的运算，再算乘法：原式$=(3\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + 0.5) × 6 = 3.5 × 6 = 21$
【答案】
(1)$\dfrac{11}{2}$；(2)$2$；(3)$1$；(4)$32$；(5)$33$；(6)$21$
【知识点】
绝对值的性质；有理数四则运算
【点评】
本题是绝对值运算的基础题型，重点考察绝对值化简能力和有理数运算规则的应用，只要熟练掌握绝对值的性质，按照运算顺序仔细计算即可得分，是运算类的基础必练题。
【难度系数】
0.8
14. (★★)某登山队6名队员以大本营为基准,向距离大本营500 m的顶峰冲击,由于天气骤变,攀登过程中不得不几次下撤躲避高空风.记向上爬升的海拔为正数,向下撤退时下降的海拔为负数,这次登山的行程记录(单位:m)如下:+175,-30,+210,-50,+150,+30,-35.则他们的总行程为m,他们最终距离顶峰还有m.
答案
680；50
解析
【分析】
解题时首先要区分两个问题的不同含义：①总行程是所有行走路程的总和，和前进方向无关，所以需要对每个行程记录取绝对值后再相加；②最终距离顶峰的距离，需要先计算出队员最终相对于大本营的实际爬升高度，即将所有带正负号的行程记录求和，再用顶峰到大本营的距离500m减去实际爬升高度，就能得到距离顶峰的剩余距离。
【解析】
1. 计算总行程：
总行程为各段行程的绝对值之和，即：
$\begin{aligned}&|+175|+|-30|+|+210|+|-50|+|+150|+|+30|+|-35|\\=&175+30+210+50+150+30+35\\=&680(\mathrm{m})\end{aligned}$
2. 计算最终距离顶峰的距离：
先计算实际相对大本营爬升的总高度：
$\begin{aligned}&+175-30+210-50+150+30-35\\=&(175+210+150+30)-(30+50+35)\\=&565-115\\=&450(\mathrm{m})\end{aligned}$
顶峰距离大本营500m，因此距离顶峰的距离为：$500-450=50(\mathrm{m})$
【答案】
680；50
【知识点】
正负数的实际应用，绝对值的意义，有理数加减运算
【点评】
本题结合登山的生活场景考查正负数的相关应用，解题的核心是区分总行程和实际位移的差异，总行程与运动方向无关，需取绝对值计算，要注意避免混淆两个概念导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要区分两个问题的不同含义：①总行程是所有行走路程的总和，和前进方向无关，所以需要对每个行程记录取绝对值后再相加；②最终距离顶峰的距离，需要先计算出队员最终相对于大本营的实际爬升高度，即将所有带正负号的行程记录求和，再用顶峰到大本营的距离500m减去实际爬升高度，就能得到距离顶峰的剩余距离。
【解析】
1. 计算总行程：
总行程为各段行程的绝对值之和，即：
$\begin{aligned}&|+175|+|-30|+|+210|+|-50|+|+150|+|+30|+|-35|\\=&175+30+210+50+150+30+35\\=&680(\mathrm{m})\end{aligned}$
2. 计算最终距离顶峰的距离：
先计算实际相对大本营爬升的总高度：
$\begin{aligned}&+175-30+210-50+150+30-35\\=&(175+210+150+30)-(30+50+35)\\=&565-115\\=&450(\mathrm{m})\end{aligned}$
顶峰距离大本营500m，因此距离顶峰的距离为：$500-450=50(\mathrm{m})$
【答案】
680；50
【知识点】
正负数的实际应用，绝对值的意义，有理数加减运算
【点评】
本题结合登山的生活场景考查正负数的相关应用，解题的核心是区分总行程和实际位移的差异，总行程与运动方向无关，需取绝对值计算，要注意避免混淆两个概念导致计算错误。
【难度系数】
0.8
15.(★★)若x为有理数，式子2025-|x-2|存在最大值，则这个最大值是。
答案
$\boldsymbol{2025}$
解析
【分析】
要解决这个求式子最大值的问题，首先回忆绝对值的性质：任意有理数的绝对值都是非负数，即$|a|≥0$。观察式子$2025 - |x - 2|$，被减数2025是固定值，根据减法的运算规律：被减数不变时，减数越小，得到的差就越大。因此我们只需要找到减数$|x - 2|$的最小值，代入计算就能得到整个式子的最大值。
【解析】
根据绝对值的非负性可知，对于任意有理数$x$，都有$|x - 2|≥0$，因此$|x - 2|$的最小值为0，此时$x=2$。
将$|x - 2|=0$代入式子$2025 - |x - 2|$计算：
$2025 - 0 = 2025$
因此这个式子的最大值是2025。
【答案】
$2025$
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 代数式最值求解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握绝对值的非负性，结合减法运算中被减数固定时减数越小差越大的规律，即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这个求式子最大值的问题，首先回忆绝对值的性质：任意有理数的绝对值都是非负数，即$|a|≥0$。观察式子$2025 - |x - 2|$，被减数2025是固定值，根据减法的运算规律：被减数不变时，减数越小，得到的差就越大。因此我们只需要找到减数$|x - 2|$的最小值，代入计算就能得到整个式子的最大值。
【解析】
根据绝对值的非负性可知，对于任意有理数$x$，都有$|x - 2|≥0$，因此$|x - 2|$的最小值为0，此时$x=2$。
将$|x - 2|=0$代入式子$2025 - |x - 2|$计算：
$2025 - 0 = 2025$
因此这个式子的最大值是2025。
【答案】
$2025$
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 代数式最值求解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握绝对值的非负性，结合减法运算中被减数固定时减数越小差越大的规律，即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
16. (★★★)已知$|a-2|+|b-3|=0$.
(1)求$a+b$的相反数；
(2)求$|b-a|$的值.
(1)求$a+b$的相反数；
(2)求$|b-a|$的值.
答案
解：
由绝对值的非负性可知，$|a-2|≥0$，$|b-3|≥0$，
又因为$|a-2|+|b-3|=0$，
所以$|a-2|=0$，$|b-3|=0$，
即$a-2=0$，$b-3=0$，
解得$a=2$，$b=3$。
(1) 计算得$a+b=2+3=5$，
所以$a+b$的相反数是$-5$。
(2) 将$a=2$，$b=3$代入$|b-a|$，
得$|b-a|=|3-2|=|1|=1$。
由绝对值的非负性可知，$|a-2|≥0$，$|b-3|≥0$，
又因为$|a-2|+|b-3|=0$，
所以$|a-2|=0$，$|b-3|=0$，
即$a-2=0$，$b-3=0$，
解得$a=2$，$b=3$。
(1) 计算得$a+b=2+3=5$，
所以$a+b$的相反数是$-5$。
(2) 将$a=2$，$b=3$代入$|b-a|$，
得$|b-a|=|3-2|=|1|=1$。
解析
【分析】
解题的核心突破口是绝对值的非负性：任意数的绝对值都是非负数（即大于等于0）。已知两个绝对值的和为0，由于两个非负数相加等于0时，只有这两个非负数各自都等于0这一种可能，因此可以据此列出关于a、b的一元一次方程，解出a、b的取值后，再分别代入两个小问的问题中计算即可。第一问先算出a+b的值，再根据相反数的定义求其相反数；第二问直接代入a、b的值计算绝对值即可。
【解析】
由绝对值的非负性可知，$|a-2|≥0$，$|b-3|≥0$，
又因为$|a-2|+|b-3|=0$，
所以$|a-2|=0$，$|b-3|=0$，
即$a-2=0$，$b-3=0$，
解得$a=2$，$b=3$。
(1) 计算得$a+b=2+3=5$，
根据相反数的定义，5的相反数是$-5$，即$a+b$的相反数是$-5$。
(2) 将$a=2$，$b=3$代入$|b-a|$，
得$|b-a|=|3-2|=|1|=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 相反数的定义
3. 绝对值的运算
【点评】
本题是有理数章节的典型基础题，解题关键是熟练掌握绝对值的非负性，明确“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”的规律，再结合相反数、绝对值的基本运算规则求解即可，主要考查对基础概念和性质的运用能力。
【难度系数】
0.85
解题的核心突破口是绝对值的非负性：任意数的绝对值都是非负数（即大于等于0）。已知两个绝对值的和为0，由于两个非负数相加等于0时，只有这两个非负数各自都等于0这一种可能，因此可以据此列出关于a、b的一元一次方程，解出a、b的取值后，再分别代入两个小问的问题中计算即可。第一问先算出a+b的值，再根据相反数的定义求其相反数；第二问直接代入a、b的值计算绝对值即可。
【解析】
由绝对值的非负性可知，$|a-2|≥0$，$|b-3|≥0$，
又因为$|a-2|+|b-3|=0$，
所以$|a-2|=0$，$|b-3|=0$，
即$a-2=0$，$b-3=0$，
解得$a=2$，$b=3$。
(1) 计算得$a+b=2+3=5$，
根据相反数的定义，5的相反数是$-5$，即$a+b$的相反数是$-5$。
(2) 将$a=2$，$b=3$代入$|b-a|$，
得$|b-a|=|3-2|=|1|=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 相反数的定义
3. 绝对值的运算
【点评】
本题是有理数章节的典型基础题，解题关键是熟练掌握绝对值的非负性，明确“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”的规律，再结合相反数、绝对值的基本运算规则求解即可，主要考查对基础概念和性质的运用能力。
【难度系数】
0.85
17.(★★★)如果点M,N在数轴上表示的数分别是a,b,且$|a|=2,|b|=3$,那么M,N两点之间的距离为多少？
答案
解：
由$|a|=2$可得$a=2$或$a=-2$，由$|b|=3$可得$b=3$或$b=-3$。
数轴上两点的距离等于两点表示数的差的绝对值，即M、N两点的距离为$|a-b|$，分情况计算：
1. 当$a=2$，$b=3$时，$|a-b|=|2-3|=1$；
2. 当$a=2$，$b=-3$时，$|a-b|=|2-(-3)|=5$；
3. 当$a=-2$，$b=3$时，$|a-b|=|-2-3|=5$；
4. 当$a=-2$，$b=-3$时，$|a-b|=|-2-(-3)|=1$。
所以M，N两点之间的距离为1或5。
由$|a|=2$可得$a=2$或$a=-2$，由$|b|=3$可得$b=3$或$b=-3$。
数轴上两点的距离等于两点表示数的差的绝对值，即M、N两点的距离为$|a-b|$，分情况计算：
1. 当$a=2$，$b=3$时，$|a-b|=|2-3|=1$；
2. 当$a=2$，$b=-3$时，$|a-b|=|2-(-3)|=5$；
3. 当$a=-2$，$b=3$时，$|a-b|=|-2-3|=5$；
4. 当$a=-2$，$b=-3$时，$|a-b|=|-2-(-3)|=1$。
所以M，N两点之间的距离为1或5。
解析
