1. 36 的算术平方根是()

A.$\pm 6$
B.$6$
C.$\pm \sqrt{6}$
D.$\sqrt{6}$

B

【分析】
解题时首先要明确题干考查的是算术平方根，需先区分算术平方根和平方根的概念：平方根是正数开平方后得到的两个互为相反数的数，而算术平方根特指其中非负的那个。接下来根据定义寻找平方后等于36的非负数，即可得出结果。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根。
因为$6^2=36$，且6是正数，符合算术平方根的非负要求，所以36的算术平方根是6。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误选带正负符号的选项，只要准确掌握算术平方根结果为非负数的特点，即可快速得分。
【难度系数】
0.85

2. 下列说法正确的是()

A.4是16的算术平方根
B.0.01是0.1的算术平方根
C.$-6$是$(-6)^2$的算术平方根
D.$\sqrt{4}$的算术平方根是2

A

【分析】
解决本题的核心是掌握算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。解题时只需依据该定义逐个验证每个选项是否符合要求即可。
【解析】
我们根据算术平方根的定义逐一判断选项：
选项A：因为$4^2=16$，且4是正整数，完全符合算术平方根的定义，因此4是16的算术平方根，该选项说法正确。
选项B：因为$0.01^2=0.0001≠0.1$，实际上$0.1^2=0.01$，即0.1是0.01的算术平方根，该选项说法错误。
选项C：算术平方根的结果必须是非负数，-6是负数，不可能是某个数的算术平方根，$(-6)^2=36$，36的算术平方根是6，该选项说法错误。
选项D：先化简$\sqrt{4}=2$，本题实际是求2的算术平方根，2的算术平方根是$\sqrt{2}≠2$，该选项说法错误。
【答案】
A
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点有两个：一是忽略算术平方根的非负性，二是未先化简带根号的数就直接求算术平方根，只要牢记算术平方根的定义和非负性，就能快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.7

3. 下列计算正确的是()

A.$\sqrt{9}=\pm3$
B.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
C.$-1^2=-2$
D.$(-1)^2=1$

D

【分析】
这道题需要我们逐一判断每个选项的计算是否正确，核心要区分两个易混点：一是算术平方根的结果具有非负性，要和平方根的概念区分开；二是有理数乘方运算中，底数带负号加括号和不加括号的运算顺序、符号结果的差异。我们逐个计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，算术平方根的结果是非负的，因此$\sqrt{9}=3$，不是$\pm3$，A计算错误；
B选项：先计算根号内的乘方：$(-3)^2=9$，再计算算术平方根：$\sqrt{9}=3$，不是$-3$，B计算错误；
C选项：$-1^2$的运算顺序是先计算$1^2=1$，再添加负号，结果为$-1$，不是$-2$，C计算错误；
D选项：$(-1)^2$表示2个$-1$相乘，即$(-1)×(-1)=1$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质；有理数乘方运算；符号运算规则
【点评】
本题属于基础概念题，选项针对学生易混淆的知识点设置，做题时要注意区分算术平方根与平方根的差异，明确乘方运算的顺序，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.8

4.若$y=\sqrt{3-5x}+\sqrt{5x-3}+5$，则$xy=$。

3

【分析】
要解决本题，首先需明确二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数。观察题目中的表达式，两个二次根式的被开方数3-5x和5x-3互为相反数，要让两个互为相反数的数同时满足非负，只能二者都等于0，由此可先求出x的值，再代入原式求出y的值，最后计算xy的乘积即可。
【解析】
要使二次根式有意义，需满足被开方数为非负数，据此列不等式组：
$\begin{cases}3-5x≥0 \\5x-3≥0\end{cases}$
解不等式$3-5x≥0$，得$x≤\frac{3}{5}$；
解不等式$5x-3≥0$，得$x≥\frac{3}{5}$；
因此$x=\frac{3}{5}$。
将$x=\frac{3}{5}$代入原式，得：
$y=\sqrt{3-5×\frac{3}{5}}+\sqrt{5×\frac{3}{5}-3}+5=\sqrt{0}+\sqrt{0}+5=5$
则$xy=\frac{3}{5}×5=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，解题关键是熟练掌握二次根式的基本性质，利用“两个互为相反数的非负数只能均为0”的规律快速求出x的值，再代入计算即可，考查学生对基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.8

5.(1)若一个数的算术平方根是$\sqrt{7}$，则这个数是。
(2)若$\sqrt{m+2}=2$，则$(m+2)^2=$。
(3)$\sqrt{16}$的算术平方根是。

(1)7
(2)16
(3)2

【分析】
本题围绕算术平方根的定义和性质展开求解，解题思路如下：
(1) 明确算术平方根与被开方数的关系：若非负数x是a的算术平方根，则a=x²，已知算术平方根求原数，直接对算术平方根平方即可；
(2) 先根据二次根式的等式求出m+2的值，再代入所求平方式计算即可；
(3) 注意运算顺序：先化简√16得到具体数值，再对化简后的结果求算术平方根，避免直接对16求算术平方根的错误。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义，若一个数的算术平方根为$\sqrt{7}$，则这个数为$(\sqrt{7})^2=7$；
(2) 对等式$\sqrt{m+2}=2$两边同时平方，可得$m+2=2^2=4$，将$m+2=4$代入$(m+2)^2$，计算得$4^2=16$；
(3) 先计算$\sqrt{16}=4$，再求4的算术平方根：因为$2^2=4$且2为正数，所以4的算术平方根为2，即$\sqrt{16}$的算术平方根是2。
【答案】
(1)7；(2)16；(3)2
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式运算；根式化简
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对算术平方根定义的理解，第三小题是易错题，解题时需注意先化简$\sqrt{16}$再求其算术平方根，理清运算顺序可有效避免出错。
【难度系数】
0.8

6.计算。
(1)$\sqrt{(-4)^2}$；
(2)$\sqrt{0.09} + \sqrt{0.25}$；
(3)$\sqrt{\frac{4}{9}} + \sqrt{\frac{1}{9}} + \sqrt{1\frac{9}{16}} + \sqrt{2\frac{1}{4}}$。

(1) 解:原式$=4$。
(2) 解:原式$=0.8$。
(3) 解:原式$=3\frac{3}{4}$。

【分析】
本题考查算术平方根的基础运算，解题核心是牢记算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。解题思路如下：(1)先计算被开方数$(-4)^2$的结果，再求其算术平方根即可；(2)分别求出两个被开方数的算术平方根，再做加法运算；(3)先将带分数化为假分数，再分别求出每个根式的算术平方根，最后通分合并求和即可。
【解析】
(1) 先计算被开方数：$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}$，因为$4^2=16$，所以16的算术平方根为4，即原式$=4$。
(2) 分别化简两个根式：因为$0.3^2=0.09$，所以$\sqrt{0.09}=0.3$；因为$0.5^2=0.25$，所以$\sqrt{0.25}=0.5$，则原式$=0.3+0.5=0.8$。
(3) 先将带分数化为假分数：$1\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$，$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，再分别化简各根式：$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$，$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$，$\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$，$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$，再求和：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+\frac{5}{4}+\frac{3}{2}\\&=1+\frac{5}{4}+\frac{6}{4}\\&=1+\frac{11}{4}\\&=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1)$4$；(2)$0.8$；(3)$3\frac{3}{4}$
【知识点】
算术平方根计算、二次根式化简、分数运算
【点评】
本题是平方根章节的基础运算题，重点考查对算术平方根非负性的理解，计算时需注意先化简被开方数，遇到带分数要先转化为假分数再开方，运算时要注意通分规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8

7. 提升题 解答下列问题。
(1)计算下列各式的值,并据此探究问题。
①$\sqrt{4^2}=$;$\sqrt{16^2}=$;
$\sqrt{0^2}=$;$\sqrt{(\dfrac{1}{9})^2}=$。
探究:对于任意非负有理数$a$,
$\sqrt{a^2}=$。
②$\sqrt{(-3)^2}=$;$\sqrt{(-5)^2}=$;$\sqrt{(-1)^2}=$;
$\sqrt{(-2)^2}=$。
探究:对于任意负有理数$a$,
$\sqrt{a^2}=$。
综上可知,对于任意有理数$a$,$\sqrt{a^2}=$。
(2)应用(1)中的结论解决问题:有理数$a,b$在数轴上对应的点的位置如图所示,化简:$\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|$。

[第7(2)题]

(1)①$\sqrt{4^2}=4$;$\sqrt{16^2}=16$;$\sqrt{0^2}=0$;$\sqrt{(\frac{1}{9})^2}=\frac{1}{9}$。
探究:对于任意非负有理数$a$,$\sqrt{a^2}=a$。
②$\sqrt{(-3)^2}=3$;$\sqrt{(-5)^2}=5$;$\sqrt{(-1)^2}=1$;$\sqrt{(-2)^2}=2$。
探究:对于任意负有理数$a$,$\sqrt{a^2}=-a$。
综上可知,对于任意有理数$a$,$\sqrt{a^2}=|a|$。
(2) 解:根据数轴可知,$-2＜a＜-1$,$0＜b＜1$，
所以 $a-b＜0$,$a+b＜0$，
所以 $\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|$
$=|a|-|b|+(a-b)-(a+b)$
$=-a-b+a-b-a-b$
$=-a-3b$。

【分析】
本题分为规律探究和规律应用两部分：
1. 第(1)题先计算具体非负数、负数的平方的算术平方根，从特殊例子推导一般规律，分别得到a为非负有理数、负有理数时$\sqrt{a^2}$的化简结果，最终总结出任意有理数$a$满足$\sqrt{a^2}=|a|$的通用结论。
2. 第(2)题先根据数轴上$a、b$的位置确定二者的取值范围，再判断$a-b、a+b$的正负性，接着套用第(1)题得到的结论将原式转化为绝对值化简问题，最后根据绝对值的性质去符号、合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1)①计算如下：
$\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4$；$\sqrt{16^2}=\sqrt{256}=16$；$\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$；$\sqrt{(\frac{1}{9})^2}=\sqrt{\frac{1}{81}}=\frac{1}{9}$。
观察结果可总结：对于任意非负有理数$a$，$\sqrt{a^2}=a$。
②计算如下：
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$；$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$；$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$；$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$。
观察结果可总结：对于任意负有理数$a$，$\sqrt{a^2}=-a$。
综上可得，对于任意有理数$a$，$\sqrt{a^2}=|a|$。
(2)根据数轴上点的位置可知：$-2＜a＜-1$，$0＜b＜1$，
由此可判断：$a-b＜0$，$a+b＜0$，
结合(1)的结论$\sqrt{x^2}=|x|$化简原式：
$\begin{aligned}&\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|\\=&|a|-|b|-|a-b|+|a+b|\\=&-a - b - [-(a-b)] + [-(a+b)]\\=&-a - b + a - b - a - b\\=&-a-3b\end{aligned}$
【答案】
(1)①$4$；$16$；$0$；$\dfrac{1}{9}$；$a$
②$3$；$5$；$1$；$2$；$-a$；$|a|$
(2) 解:根据数轴可知,$-2＜a＜-1$,$0＜b＜1$，
所以 $a-b＜0$,$a+b＜0$，
所以 $\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|$
$=|a|-|b|+(a-b)-(a+b)$
$=-a-b+a-b-a-b$
$=-a-3b$。
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 绝对值的化简
3. 数轴的应用
【点评】
本题从特殊值计算出发，引导学生探究算术平方根的化简规律，再结合数轴考查规律的实际应用，解题核心是掌握$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，牢记去绝对值前要先判断绝对值内代数式的正负性，能够有效锻炼学生的规律探究能力和代数式化简能力。
【难度系数】
0.7